具有年龄结构的SI传染病模型的分析

第４ｌ卷第８期　东北农业大学学报　４】侣）：１３１～１３４　２０１０年８月　Ａｕｇ．２０１０　具有年龄结构的ＳＩ传染病模型的分析　张剑，张宏民　（齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔　１６１００６）　摘要：研究了具有年龄结构的单种群模型在成年种群间染病的问题，建立并分析了具有成年和幼年两个　年龄结构的ＳＩ传染病模型，利用微分方程定性分析方法讨论了该模型平衡点的存在条件，根据平衡点的系数　矩阵对应的特征方程的特征根的情况，判断出各个平衡点的类型及局部稳定性，同时利用Ｈｕｒｗｉｔｚ判别法得到　模型的唯一正平衡点局部渐近稳定的充分条件。该结论说明在一定的条件下，疾病对生物种群不会造成较大的　影响，不会造成种群的灭绝　关键词：年龄结构，ＳＩ传染病模型；平衡点；渐近稳定　中图分类号：０１７５．１３　文献标志码：Ａ　文章编号：１００５—９３６９（２０１０）０８—０１３１－０４　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｓｔａｇｅ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ＳＩ　ｍｏｄｅｌ／ＺＨＡＮＧ　Ｊｉａｎ，ＺＨＡＮＧ　Ｈｏｎｇｍｉｎ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｉｑｉｈａｒ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｑｉｈａｒ　Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ　１６１００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ，ｉｔ　ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｓｉｎｇｌｅ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｓｔａｇｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍａｔｕｒｅ　ｓｐｅｃｉｅ．Ｉｔ　ａｎａｌｙｓｅｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｇｅ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｙｏｕｎｇ　ａｎｄ　ｍａｔｕｒｅ　ｓｐｅｃｉｅ　ＳＩ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌｓ，ｕｓｅｄ　ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓ’ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｔｏ　ｄｉｆｅｒｅｎｔ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ　ｐａｐｅｒｊｕｄｇｅｄ　ｔｈｅ　ｔｙｐｅｓ　ａｎｄ　ｌｏｃａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓ．Ｆｕｒｌｈｅｒｍｏｒｅ，　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｈｕｒｗｉｔｚ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ，ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｌｏｃａｌｌｙ　ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｔｈａｔ　ｉｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｄｉｓｅａｓｅ　ｃａｎ　ｎｏｔ　ｃａｕｓｅ　ｍｏｒｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂｉｏｌｏｇｉｃ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｘｔｉｎｃｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔａｇｅ—ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ＳＩ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ；ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ；ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　近几年来，随着ＳＡＲＳ，甲型Ｈ１Ｎ１等众多新　型对于种群的生存与发展是至关重要的。众多研　型传染病的出现，使得人们对于传染病的研究又　究考虑了疾病在食饵之间传播的模型，得到疾病　加以关注。传染病的防治是关系到人类健康和国　流行的阈值条件川。分析了捕食者具有疾病的ＳＩ　计民生的重大问题，对疾病流行规律的定量研究　模型，讨论了解有界性和平衡点全局稳定　［２１。并　是防治工作的重要依据，根据疾病的发生、发展　分别对具有年龄结构的ＳＥＩＲ和ＳＩＳ传染病模型进　及环境变化等情况，建立能反映其变化规律的数　行了分析【３卅。但对具有年龄结构的单种群模型，　学模型，通过模型动力学性态的研究来显示疾病　在成年种群染病的ｓＩ问题尚未讨论过。本文根据　的发展过程，预测其流行规律和发展趋势，分析　成年和幼年种群不同的生长特性，以及疾病对不　疾病流行的原因和关键因素，寻求对其进行预防　同年龄结构的两种群的影响，发展规律和传播特　和控制的最优策略，为人们防治决策提供理论基　性等因素研究该类模型，进而可以显示疾病的发　础和数量依据。由此可见，研究种群的传染病模　展过程，揭示其流行规律，为人们防治决策提供　收稿日期：２００９—１０－２９　基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目（１　１５２１３０６）　作者简介：张剑（１９７８一），女，讲师，硕士，研究方向为微分方程理论。Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｊｑｑｈｒ＠１６３．ｃｏｍ　东北农业大学学报　第４ｌ卷　理论基础。　１　模型的建立与假设　具有年龄结构的传染病模型如下：　Ｉ：／＝ａｓ—ｒ１　—Ｔ／ｘ　－／３ｘ　｛ｊ　一ｒ２ｓ一６ｓ，　（１）　＼ｉ＝ｂＳＩ—ｒ　其中，　表示幼年种群数量；ｓ表示易感的成　年种群数量；，表示染病的成年种群数量；　表示　幼年种群的出生率；　／＇２、ｒ３分别表示幼年种群、　易感的成年种群、染病的成年种群的死亡率；叼表　示幼年种群的密度制约系数；　表示幼年种群向成　年种群的转化率；ｂ表示接触率。　根据模型的生态意义，本文在　Ｒ　Ｆ｛（　，ｓ，，）ｅＲ。ｌ　≥０，ｓ≥０，１１＞０　ｌ｝上讨论。　根据模型的实际背景作如下假设：①假设疾　病只在成年种群间传播。②不考虑种群的流动性。　③成年种群患病后不能够治愈；患病后一旦与易　感染者接触即具有一定的传染率。　２模型平衡点的存在性　定理１模型（１）的平衡点存在的条件：　若盟－ｒｌ－￣＞Ｏ成立，则平衡点Ｅ。存在；　若　臼————　——一昔＞一　川肌且’。魁　　则平衡点　存在。　证明：模型（１）的平衡点是满足下面方程组的解。　ｆ∞一ｒ　一　—　＝０　｛　—ｒ　一ｂｓＩ＝Ｏ　（２）　ｌ６ｓ，－ｒ３／－－０　根据方程组（２）可知模型（１）存在三个平衡点　分别是　（０，０，０），Ｅ　（　０）和唯一的正平　衡点　（　，ｓ　，Ｆ）。　其中，　ｏ＝＝　（巫．，　叼　ｒ　（３）　５０＝＝—昼＿（丝　＝＿（ｒ，＋１ｆ）＋ｖ（ｒ，＋１ｆ）２＋４￣／ａｂ：ｒ３　（＼．ｔ／　４）　：　ｒ：　一孕　（５）　根据模型的实际生态意义知（３），（４），（５）各　式应恒大于０，因此得到模型（１）的平衡点存在的　条件是：　若丝－ｒｌ－－ｌｆ＞０成立，则平衡点Ｅ　存在；　若　堡昔＞。魁　则平衡点　存在。　３平衡点的稳定性　定理２当　一ｒ２（ｒ　）＜０时，模型（１）的平衡点　是局部渐近稳定的；当　一ｒ：（ｒ．　）＞０时，平衡　点Ｅ　是局部渐近稳定的。　证明：模型（１）的Ｊａｃｏｂｉ系数矩阵为　Ｉ—ｒｌ一２　０　ｌ　Ａ＝ｌ　卢　一ｒ２－ｂｌ　—ｂ５　Ｉ　（６）　【０　ｂＩ　ｂｓ—ｒ３　Ｊ　下面分别平衡点　和Ｅ　的稳定性进行讨论。　平衡点　（０，０，０）的系数矩阵是　Ｉ—ｒｌ　０　１　Ａ（ｑｑ　ｏ］＝１卢　－ｒ２　０　ｌ　【０　０　－－ｒ３　Ｊ　而其对应的特征方程是　（Ａ＋ｒ１　Ｂ）（Ａ＋ｒ２）（Ａ＋ｒ３）一０　（Ａ＋ｒ３）：０　特征根是Ａ。＝一ｒ３＜Ｏ　Ａ２　３＝　二！！！±　２±　！塑　２　！监！！尘　（７）　２　若盟－ｒＩ　＞０，则Ａ２＞Ｏ，Ａ３＜０，此时Ｅｏ为鞍　，２　点，不稳定，而平衡点Ｅ。存在。　若盟－ｒ￣－ｆｌ＜Ｏ，则Ａ　，是两个具有负实部的特　Ｆ２　征根，此时　是局部渐近稳定的，而平衡点Ｅ。不　存在。　平衡点Ｅ，（　Ｏ）的系数矩阵是　Ｉ—ｒｌ－ｆｌ－２ｒｌＸｏ　Ｏｔ　０　１　０】＝ｌ　卢　－ｒ２　－ｂｓｏ　ｌ　ｌ【　０　０　ｂｓｏ－ｒ３　Ｊｌ　而其对应的特征方程是　（Ａ＋ｒ１＋ｆｌ＋２￣／ｘ０）（Ａ＋ｒ２）（Ａ＋ｒ３一ｂｓｏ）一ｏｔ￣（Ａ＋ｒ３一ｂｓｏ）－－ｏ　（Ａ＋ｒ３一ｂｓ０）【Ａ　＋（ｒｉ＋　＋ｒ２＋２＇　ｏ）Ａ＋　ｒ２（ｒ１－｝　＋２　０）一０　＝０　（８）　第８期　张剑等：具有年龄结构的ｓＩ传染病模型的分析　Ａｌ＝ｂ　（盟Ｉｎ　）　设（Ａ—Ａ。）／　Ａ）＝Ｏ　（９）　其中，　Ａ）＝Ａ　＋（ｒｌ＋　＋ｒ２＋２７／ｘ０）Ａ＋　ｒ２（ｒｌ＋ｆｌ＋２ｒ／ｘｏ）一　０）＝　＿ｒ２（ｒ　）＞０（由Ｅ，的存在性知）　则Ａ　，Ａ　是两个具有负实部的特征根。　故当Ａ。：　（监　）一　＞０时，Ｅ　为鞍点不　稳定，则　存在。　当Ａ，：　（盟＿ｒ】　）－ｒ３＜０时，Ｅ。为局部渐近　稳定。　定　当—－（ｒ，＋ｉｆ）＋￣／　／（ｒ，＋１ｆ　）２＋４ｒｌ　ｂｒ３定理３：当一昔＞一　＞。０　时，模型（１）的唯一正平衡点Ｅ　是局部渐近稳定　的。　证明：　（　，Ｓ　，厂）的系数矩阵是　ｆ—ｑ－２￣？ｘ　书　Ｏｌ　０　ｉ　Ａ（　）＝　卢　一ｒ２一ｂｌ＊一ｂｓ　（１０）　【０　ｂＦ　—ｒ３＋ｂｓ　Ｊ　特征方程为Ａ。　Ａ　２Ａ　，＝０　其中，Ａ　１＝（ｒＩ＋２　）＋ｒ２＋ｂＦ＋ｒ３一ｂｓ　＝ｒｌ＋２　＋　丝　＞０　（１１）　Ａ　２＝（ｒｌ＋２　Ｂ）（ｒ２＋６广）＋（ｒ１＋２ｒ／ｘ　Ｂ）（ｒ３一ｂｓ　）＋　（ｒ２＋ｂＦ）（ｒ３－ｂｓ　）＋６　一　：（ｒ，＋２叼　）丝　一　＋ｂ￣ｘ＊－ｒ２ｒ３＞Ｏ　（１２）　Ａ　（ｒ１＋２ｒ／ｘ　）（ｒ２＋ｂＦ）ｒ３一ｂｓ　）＋　（ｑ＋２７／ｘ＊＋ｆ１）ｂ２Ｆｓ　（ｒ３—６ｓ　）　＝（ｒｌ＋２７／ｘ　）（６　一ｒ２ｒ３）＞Ｏ　（１３）　由Ｅ２的存在性知Ａ　＞０，Ａ　＞０，Ａ　＞０。　设△Ｊ　ｌ＞０　，　：　：（ｒ。＋２ｒ／ｘ　＋　）［（ｒ。＋２　）　一　】＋丝　（　＊－ｒ２ｒ３）　由Ｅ　存在，知６　一ｒ２ｒ　＞０　由Ａ　２＞０知（ｒ　＋２￣７ｘ　）丝　一　，故△　＞０。　△３＝Ａ　３△２＞０。　根据Ｈｕｒｗｉｔｚ判别法知，点Ｅ：对应的特征方程　所有特征根均有负实部，故平衡点　局部渐近稳　定。因此只要正平衡点￡：存在，其必定是局部渐　近稳定的平衡点。　４模型试验验证　由定理２可知，当　一ｒ。－／３＞０时，即幼年种　ｒ２　群的出生率与转化为成年种群的转化率乘积小于幼　年和成年种群的死亡率时，两个年龄结构的种群都　会灭绝，因此平衡点　。是局部渐近稳定的，也就　是两种群都会灭绝。而当　型　－ｒＩ－３＜０时，平衡点　ｒ２　Ｅ　存在并且为局部渐近稳定的，也就是说此时幼　年种群和易感成年数量会接近于　、Ｓ。，而不存在　染病的成年种群。　由定理３可知，当二　：Ｖ　一　竹　＞０时，模型（１）存在唯一的正平衡点Ｅ　并且是　ＵＤ　局部渐近稳定的。说明在定理的条件下，三类种群　数量最终趋近于　，Ｓ　，厂，不会出现任何种群灭　绝的情况。　５　结　论　本文所研究的具有年龄结构的ＳＩ传染病模型，　是将生物个体按其生理年龄进行分类，以便更好地　反映个体的生理特征和影响疾病传播方面的差异，　在疾病在成年种群问传播的假设条件下，得到平衡　点的局部稳定性。当　一　Ｆ２＞０时，Ｅ　是局部渐近　Ｆ３　Ｄ　稳定的。说明此时，模型的唯一正平衡点存在且局　部稳定，也就是说疾病不会造成两个年龄结构的种　群的灭绝。该模型可以用来解释在假设条件下的生　物种群在疾病的发生及种群内的传播等因素，通过　对模型动力学性态的定性、定量分析，能够揭示其　发展变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，　寻求对其预防和控制的最优策略。人们可以利用该　结论，创造良好的环境，使得疾病在生物种群中不　造成较大的影响，不会造成种群的灭绝。这类模型　在描述与年龄有关的疾病的传播规律时将更加有效　・ｌ３４・　东北农业大学学报　第４１卷　和实用。本文的研究结果，对于生物部门控制疾病　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｅｎｇｌｉｓｈ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，１９９９，６（２）：１２８－１３２．　在生物种群间的传播具有一定的参考价值。　［参考文献］　张剑，张宏民，丁丽英．捕食一食饵系统的捕获优化问题ＩＪＪ．东北　农业大学学报，２００７，３８（３）：３８４—３８６．　李益群，任谨慎，李建全．一类带有一般出生率的ＳＩＳ传染病模　型的全局分析【ＪＪ．数学的实践与认　，２００９，３９（２３）：１７６—１８１．　［１］Ｃｈａｔｔｏｐａｄ　Ｊ，Ａｒｉｎｏ　Ｏ．Ａ　ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｅａｓｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｙ［ＪＪ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌ，１９９９，３６：７４９—７６６　陈庚．一类具有年龄结构的传染病模型的持续性质［ｊＪ．高校应　用数学学报：Ａ辑，２００７，２２（３）：２５３—２６２．　何泽荣，雒志学．一类带接种和年龄结构的流行病模型分析一　类带接种和年龄结构的流行病模型分析［Ｊ１．工程数学学报，　２００３，２Ｏ（２）：４１—４５．　【２］张江山，孙树林．捕食者有病的生态流行病模型的分析［Ｊ】＿生物　数学学报，２００５，２Ｏ（２）：１５７—１６４．　［３］王定江．时变年龄结构的ＳＥＩＲ传染病模型解的存在性ｌＪ】．数学　的实践与认识，２００３，３３（８）：９１—９６．　［４］ＥＩ－Ｄｏｍａ　Ｍ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ａｎ　ａｇｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ＳＩＳ　ｅｐｉｄｅｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　王晓燕，杨俊元．具有Ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长和年龄结构的ＳＩＳ模型【Ｊ］．　数学的实践与认识，２００７，３７（１５）：９９—１０３．　ｗｉｔｈ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｔｅ　ｍｉｘｉｎｇ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ［Ｊ］．　Ｍａｔｈ　Ｃｏｍｐｕｔ　Ｍｏｄｅｌ，１９９９，２９：３１－４３．　田灿荣．一类具常数接触率传染病模型的稳定性分析【Ｊ】．生物　数学学报，２００９，２４（１）：４７—５６．　Ａｌｌｅｎ　Ｌ　Ｊ　ｓ．Ｂｕｒｇｉｎ　Ａ　Ｍ．Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ　ａｎｄ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　【５］王静，王克．具有年龄结构的单种群模型单一捕获的优化问题　『Ｊ１．东北师范大报：自然科学版，２００３，３５（２）：１－６．　川　ＳＩＳ　ａｎｄ　ＳＩＲ　ｍｏｄｅｌｓ　ｉｎ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｔｉｍｅ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｂｉｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，　２０００，１６３：１－３３．　Ｄｉｅｋｍａｎｎ　Ｏ．Ｇｙｌｌｅｎｂｅｒｇ　Ｍ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆｇｅｎｅｒｌ　ａ［６】陈兰荪．数学生态学模型与研究方法［Ｍｆ．北京：科学出版社，　１９８８：１５６—１７２．　［７］“Ｙ　Ｆ，Ｗａｎｇ　Ｗ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｍｏｎｏｃｌｏｎａｌ　ａｎｔｉｂｏｄｙ　ａｇａｉｎｓｔ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｓ　ｌＩ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．　Ｍａｔｈ　Ｂｉｏｌｏｇｙ，２００１，４３（２）：１５７—１８９．　ｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓ　ｂｕｒｓａｌ　ｄｉｓｅａｓｅ　ｖｉｒｕｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ　Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｌ　ａ