广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(1)

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

1．设函数f(x)、g(x)在区间(,)内有定义，若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则g[f(x)]为（ B ）.

(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数

2．设函数f(x)是以3为周期的奇函数, 且f(1)1,则f(7)( A ) . (A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 2 3．设f(0)0，且极限limf(x)f(x)存在，则lim=（ C ）.

x0xx0x(A) f(x) (B) f(0) (C) f(0) (D)

1f(0) 24．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(x)<0，若f(b)>0，则在(a,b)内f(x) （ A ）.

(A) 0 (B) 0 (C) f(x)的符号不能确定 (D) 0 5．设F(x)是f(x)的一个原函数，则（ D ）.

(A) F(x)dxf(x) (B) F(x)dxf(x)C (C) f(x)dxF(x) (D) f(x)dxF(x)C

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

x11．极限lim12 1 .

x0x2．已知函数yasinxsin3x（其中a为常数），在x2 . 3．设f(x)ln133

处取得极值，则a

1ln2，则f(1) 1 . x4．设函数yy(x)由方程exeysin(xy)所确定，求隐函数y在x0处的 导数yx0 1 .

45．xxdx

162 . 5

1xsin,三、(10分）设函数f(x)xxe,讨论f(x)在x0处的连续性.

x0x0，根据和的不同情况，

解：limf(x)lim(ex)1,limf(x)limxsin1x；当0时，因为sinx0x0x0x0x0x0x0x011,x且limx0,所以limxsin1f(x)=limf(x)=f(0)0；x0,因此，当=-1时，有lim11当=0时，limxsinlimsin不存在；当0时，limxsin1xxx不存在;x0x0x0所以当0时，y在点x0处不连续；当0且=1时，y在点x0处连续；当0且1时，y在点x0处不连续。

（1x)tan四、(10分）求极限limx12x.

(1x)sin解：原式=limx12xlimsinx12cos2xlimx11xcosx2limxx112sin2x2.

五、(10分） 设函数f(x)在(,)上连续, a为常数, 且对任意x(,), 有

axf(t)dt5x340, 求f(x)和a.

a解:两边求导,得f(x)15x,又因为0=f(t)dt5a340,即a38,所以a2

a212,x0六、(10分）设函数f(x)1x，计算定积分f(x1)dx.

0cosx,x001令tx111解：f(x1)dxf(t)dtdxcosxdxln2sin1 1x10102七、(10分）求c(c0)的值, 使两曲线yx2与ycx3所围成图形的面积等于.

1c23yx2112123 解：由解得x0,x(c0),S(xcx)dx,由S得c1233c12c32ycx0

八、(10分）验证：方程 4x2x有一个根在0与

1之间. 211解：设f(x)2x4x，则f(x)在[0，]上连续，且f(0)=1>0,f()220,由零点定理2211可知，至少存在一点（0，），使f()=0，故方程4x=2x在（0，）内至少有一个根。22

九、(10分）试证: 当x1时, 有2x>31证：令f(x)2x3(x1),x1. xx310,(x1),x2

11f(1)0,f(x)2xx1当x1时f(x)单调递增，f(x)>f(1)=0,即2x>3x