临朐县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临朐县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④负的是（ ） A．①

B．②

C．③

D．④

．其中符号为

2． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）

A.4 能力．

3． 定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＞0的解集为（ ） A．（2，+∞）

B．（0，2） C．（0，4） D．（4，+∞）

4． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

被称为狄利克雷

＜0，且f（2）=4，则不等式f（x）﹣

B.25

C. 5

D. 225

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算

5． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=

函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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精选高中模拟试卷

M-ABD的外接球体积为36p， 6． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC11的中点，若四面体

则正方体棱长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 7． 下列计算正确的是（ ）

A、xxx B、(x)x C、xx231345545445x D、xx0

45458． 已知抛物线x2=﹣2y的一条弦AB的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A．y=x﹣4 B．y=2x﹣3 C．y=﹣x﹣6 D．y=3x﹣2

9． 在抛物线y2=2px（p＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A．x=1 B．x= C．x=﹣1

10．已知等差数列A．

的公差B．

且

成等比数列，则C．

D．

（ ）

D．x=﹣

11．若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α相交但不垂直

12．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A．平行

B．相交

C．异面

D．以上都有可能

二、填空题

13．在矩形ABCD中，

=（1，﹣3），

，则实数k= ．

14．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为

15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

16．已知变量x，y，满足

，则z=log4（2x+y+4）的最大值为

．

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17．曲线y=x+ex在点A（0，1）处的切线方程是 ． 18．计算：

1

×5﹣= ．

三、解答题

19．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn3an3，（nN）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn4n1，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn. an【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.

20．已知等比数列（1）求数列（2）设等差数列

21．已知函数

（1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）的值域．

（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

中，

。

的通项公式;

中，

，求数列

的前项和

.

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22．已知函数f(x)（1）求A（2）若B

23．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．

24．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．

x317x的定义域为集合A，B{x|2x10}，C{x|ax2a1}

B，(CRA)B；

CB，求实数a的取值范围.

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（I）求AM的长；

（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

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临朐县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0， ④∵sin

＞0，cosπ=﹣1，tan

＜0，

∴＞0，

其中符号为负的是②， 故选：B．

【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．

2． 【答案】B

3． 【答案】B

【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：∵f（2）=4，则2f（2）=8， f（x）﹣＞0化简得当x＜2时，

⇒

故得x＜2，

∵定义在（0，+∞）上．

∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）． 故选B．

【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．

4． 【答案】D

成立． ，

＜0．

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2

【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），

∴0＜a＜1，

22

∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D．

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数 大于0条件．

5． 【答案】 D

【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0 ∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1； 当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1

即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=﹣∴A（

，x2=0，x3=

，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0

，0），B（0，1），C（﹣

，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

故选：D．

【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．

6． 【答案】C

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7． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据aa可知，B正确。

考点：指数运算。

8． 【答案】A

22

【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x1=﹣2y1，x2=﹣2y2． 两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2） ∴直线AB的斜率k=1，

∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4．

故选A，

9． 【答案】C

【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，

由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C．

【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．

10．【答案】A

【解析】 由已知，

，

成等比数列，所以

，即

所以

，故选A

答案：A

11．【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥，

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因此l⊥α． 故选：B．

12．【答案】D

【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面． 故选D

【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．

二、填空题

13．【答案】 4 ．

【解析】解：如图所示，

在矩形ABCD中，∴∴

=•

﹣

=（1，﹣3），，

=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），

=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，

解得k=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．

14．【答案】：2x﹣y﹣1=0

解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点， ∴圆心与点P确定的直线斜率为∴弦MN所在直线的斜率为2，

则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0． 故答案为：2x﹣y﹣1=0 15．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=

=

，

=﹣，

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所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

16．【答案】 【解析】解：作

易知可行域为一个三角形， 验证知在点A（1，2）时， z1=2x+y+4取得最大值8， ∴z=log4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．

的可行域如图：

=6．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

17．【答案】 2x﹣y+1=0 ．

xx

【解析】解：由题意得，y′=（x+e）′=1+e，

0

∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e=2，

则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0， 故答案为：2x﹣y+1=0． 基础题．

18．【答案】 9 ．

【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于

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【解析】解：1×5﹣=

×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴

故答案为：9．

1

×5﹣=9，

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）当n1时，2S13a132a1a13；………………1分 当n2时，2Sn3an3,2Sn13an13，

∴当n2时，2Sn2Sn13(anan1)2an，整理得an3an1.………………3分 ∴数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列. ∴数列{an}的通项公式为an3n.………………5分

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20．【答案】

【解析】

解：（1）设等比数列由已知，得

（2）由（1）得设等差数列

21．【答案】

【解析】解：（1）∵函数∴

，

是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

的公比为

的公差为

，则

，解得

，解得

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∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分） 又函数f（x）的图象经过点（1，3）， ∴f（1）=3，∴∴a=2（6分）

（2）由（1）知当x＞0时，即

时取等号（10分）

，∴

，即

时取等号（13分）

（12分）

，当且仅当

（7分） ，

，∵b=0，

当x＜0时，当且仅当

综上可知函数f（x）的值域为

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．

22．【答案】（1）AUB2x10，CRAIBx2x3或7x10；（2）a1或2a【解析】

试题分析：（1）由题可知：9。 2集合B，观察图形可求，AUB2x10，观察数轴，可以求出CRAxx3或x7，则

x30，所以3x7，因此集合Ax3x7，画数轴表示出集合A，

7x0CRAIa2a1，Bx2x3或7x10；CB可得：CB，（2）由BU分类讨论，当B时，

a1a2a19解得：a1，当B时，若CB，则应满足a2，即a2，所以2a，因此满足

22a1109a29BUCB的实数a的取值范围是：a1或2a。

2x30得：

试题解析：（1）：由3x7

7x0A={x|3x<7}

AB{x|2x10}， (CA)B{x|2第 13 页，共 16 页

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（2）当B=时，a2a1,a-1

a2a19当B时，a2，2a

22a110即a-1或2a9 。 2考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。 23．【答案】

【解析】满分（14分）．

解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），

．…（1分）

由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得

．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表： x f′（x） ﹣ f（x） ↘ 故函数f（x）在无极大值．…（4分） （Ⅱ）

，

0 + 极小值 ↗ 单调递减，在

单调递增，…（3分）f（x）有极小值

，

令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．

则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0 当a=0时，方程的解为

，满足题意；…（5分）

，函数h（x）在（0，1）上单调递增，

当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴

且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分） 当a＜0，△=0时，

，此时方程的解为x=1，不符合题意；

当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1， 只需h（1）=2a+1＞0，得综上，

．…（8分）

．…（7分）

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（说明：△=0未讨论扣1分）

（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）由

，故由（Ⅱ）可知，

，

方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，

且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）

又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分） 取t=e﹣3+2a∈（0，1），

则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0， 从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0， 即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，

从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分） 解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分） （Ⅱ）

令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得设

，则m∈（1，+∞），

，

．…（5分）

，…（6分）

的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．

问题转化为直线y=a与函数

又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分） 故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当（Ⅲ）同解法一．

（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）

【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．

24．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点， ∴

； 3分

（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点， 以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系， 可得

，

．…（8分）

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∴设

∴cos＜，

＞=

，

为面BCE的法向量，由

=

，5分 可得=（1，2，﹣

4分

），

，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为

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