一、选择题
1．﹣2的相反数是（ ）A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
2．下列运算中，正确的是（ ）A．a2+a3=a5
B．
=±2C．a2•a3=a5
D．（2a）3=6a3
3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．把抛物线y=﹣2x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）
C．（1，﹣4）
D．（1，4）
6．一个盒子中装有2个白球、5个红球，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
8．在△ABC中，D、F、E分别在边BC、AB、AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，
1
则下列说法错误的是（ ）A． =B． =C． =D． =9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（ ）A．a=bsin∠AB．a=bcos∠AC．a=btan∠AD．a=b÷tan∠A10．已知A、B两地相距4km，上午8：00时，亮亮从A地步行到B地，8：20时芳芳从B地出发骑自行车到A地，亮亮和芳芳两人离A地的距离S（km）与亮亮所用时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列四个说法中正确的有（ ）（1）亮亮的速度是4km/h；（2）芳芳的速度是km/min；（3）两人于8：30在途中相遇；（3）芳芳8：45到达A地．A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题11．某单位三月份需要分发绩效工资共计70000元，将670000用科学记数法表示为 ．12．计算﹣的结果是 ．13．在函数y=中，自变量x的取值范围是 ．14．把多项式2x2﹣8y2分解因式的结果是 ．15．不等式组2的解集是 ．16．一个扇形的面积是18πcm2，圆心角是54°，则此扇形的半径是 cm．17．某工厂三月份的利润为90万元，五月份的利润为108.9万元，则平均每月增长的百分率为 ．18．点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，点B在y=（x＞0）的图象上（如图所示），0为坐标原点，AB∥x轴，则△OAB的面积为 ．19．已知△ABC中，AE为BC边上的高线，若∠ABC=50°，∠CAE=20°，则∠ACB= °．20．如图，点A为线段DE上一点，AB=AC=的面积= cm2．，∠D=∠BAC=2∠E=120°，若AE﹣BD=BD﹣CE=1cm，则△ACE 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）21．先化简，再求值：，其中x=2sin45°+°．22．图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为的轴对称图形．23．某学生组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动，八年级一班同学统计了该天本班学生打扫3街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据该班同学所作的两个图形解答：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）求去敬老院服务的学生人数，并补全直方图的空缺部分．（3）若八年级有800名学生，估计该年级去敬老院的人数．
24．已知，△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接DF与EF．（1）如图1，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如图2，连接DE，若AB=5cm，BC=6cm，请直接写出图中所有长为3cm的线段和四边形ADFE的面积．
25．哈市松北区教育局为鼓励先进、倡导绿色出行，组织骑行大赛，并未参赛的部分优秀学生选手购买骑行帽，按原价用规划的2400元可购买这种骑行帽若干个，商场老板也是个自行车运动爱好者，得知情况后，决定给予八折优惠，结果教育局用这规划的2400元购买的骑行帽数量比按原价购买多四个．（1）求这种骑行帽原价多少元一个？
（2）由于宣传到位，参赛同学增多，教育局准备再追加购奖款10000元，用于购买这种骑行帽和防霾口罩共200个，用于奖励参赛学生，商场老板调取订货单查出骑行帽进价80元/个，防霾口罩进价10元/个，商场老板与教育局协商后将防霾口罩按利润率20%的价格出售，骑行帽仍可按八折购买，则教育局用追加购奖款最多可购买多少个骑行帽？
26．已知⊙O中弦AB⊥弦CD，垂足为H．（1）如图1，当AB为直径时，求证：BC=BD；（2）如图2，当tan∠ACD=，且BO=
时，求BC的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=CB，过H作BD的垂线垂足为E，直线HE交AC于点F，交⊙O于点G，求△OFH的面积．
4
27．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，将射线AD沿x轴翻折后交抛物线于点E．（1）如图1，求线段AB的长；（2）如图2，若AE=AD+2
，求抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，延长EA交直线CD于点M，点P为第四象限内抛物线上一点，直线AP交直线CD于点N，当S△PMN=S△OAN时，求点P的坐标．
5
2016年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．﹣2的相反数是（ ）A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．下列运算中，正确的是（ ）A．a2+a3=a5
B．
=±2C．a2•a3=a5
D．（2a）3=6a3
【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，开平方运算，积的乘方等于乘方的积，可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、4的算术平方根是2，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念 对各图形判断即可得解．
6
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，第二个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，所以，共有2个轴对称图形．故选B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】由已知条件可知，俯视图有3行，每行小正方数形数目分别为1，3，1；第一行的1个在中间，第三行的1个在最左边，据此得出答案即可．
【解答】解：由6个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是故选：D．
．
【点评】此题考查简单组合体的三视图，根据看到的小正方形的个数和位置是正确解决问题的关键．
5．把抛物线y=﹣2x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣4）B．（﹣1，4）【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【解答】解：∵将抛物线y=﹣2x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
7
C．（1，﹣4）D．（1，4）
∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣2（x+1）2+1+3，即y=﹣2（x+1）2+4．则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣1，4）．故选B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
6．一个盒子中装有2个白球、5个红球，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
【考点】概率公式．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：根据题意可得：一个盒子中装有2个白球、5个红球，共7个，从这个盒子中随机摸出一个球，是红球的概率为．故选C．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称．
【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α
∠D=100°∵∠A=2∠D=100°
8
∴∠D=50°
∵∠C+∠D+∠DOC=180°
∴100°+50°+80°﹣α=180° 解得α=50°故选A
【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
8．在△ABC中，D、F、E分别在边BC、AB、AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（ ）
A． =B． =C． =D． =
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，即可得到结论．【解答】解：∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF∥AC，DE∥AF，∴
=
，
，故A，B正确，
∵DF∥AC，∴∴
，
，
，故C正确；
∵DF∥AC，∴故选D．
≠
，故D错误；
9
【点评】本题考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，b为∠B的对边，a为∠A的对边，若b与∠A已知，则下列各式正确的是（ ）A．a=bsin∠A
B．a=bcos∠A
C．a=btan∠A
D．a=b÷tan∠A
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．【解答】解：如图所示：tanA=，则a=a=btan∠A．故选：C．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．已知A、B两地相距4km，上午8：00时，亮亮从A地步行到B地，8：20时芳芳从B地出发骑自行车到A地，亮亮和芳芳两人离A地的距离S（km）与亮亮所用时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列四个说法中正确的有（ ）（1）亮亮的速度是4km/h；（2）芳芳的速度是km/min；（3）两人于8：30在途中相遇；（3）芳芳8：45到达A地．
10
A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】（1）让A、B两地的距离，除以亮亮所用时间60即为亮亮步行的速度；（2）让相遇时距离A地的距离，除以亮亮的速度，即为亮亮走到相遇时所用的时间，进而得到芳芳从出发到相遇所用时间即可得芳芳的速度；（3）由（2）可知其相遇时刻；（4）根据（2）得到芳芳的速度，进而得到芳芳走完全程所用的时间，进而得到芳芳到达A地的时刻即可．【解答】解：因为亮亮60分走完全程4千米，所以亮亮的速度是4千米/时，故（1）正确；由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么亮亮此时用了30min，则芳芳用了30﹣20=10min，∴芳芳的速度为： =km/h，故（2）正确；两人于8：30在途中相遇，故（3）正确；∵4÷=20（min），∴芳芳到达A地的时间为8：40，故（4）错误；故选：C．【点评】本题主要考查一次函数图象的应用，根据数形结合得到亮亮、芳芳相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键． 二、填空题11．某单位三月份需要分发绩效工资共计70000元，将670000用科学记数法表示为 6.7×105 ．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：将670000用科学记数法表示为6.7×105，故答案为：6.7×105．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．计算﹣的结果是 2 ．【考点】二次根式的加减法．11【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案．【解答】解：故答案为：2．﹣=3﹣=2，【点评】本题考查了二次根式的加减，合并同类二次根式是解题关键． 13．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 14．把多项式2x2﹣8y2分解因式的结果是 2（x+2y）（x﹣2y） ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：原式=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y），故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 15．不等式组的解集是 ＜x＜2 ．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别解两个不等式得到x＞和x＜2，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．12【解答】解：解①得x＞，解②得x＜2，，所以不等式组的解集为＜x＜2．故答案为＜x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 16．一个扇形的面积是18πcm2，圆心角是54°，则此扇形的半径是 2【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：设这个扇形的半径是rcm， cm．根据扇形面积公式，得解得r=±2则r=2（负值舍去），=18π，cm，．故答案为：2【点评】此题考查了扇形的面积公式，熟记公式是解题的关键． 17．某工厂三月份的利润为90万元，五月份的利润为108.9万元，则平均每月增长的百分率为 10% ．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设该商店平均每月利润增长的百分率是x，那么四月份的利润为90（1+x），五月份的利润为90（1+x）（1+x），然后根据五月份的利润达到108.9万元即可列出方程，解方程即可．【解答】解：设该商店平均每月利润增长的百分率是x，依题意得：90（1+x）2=108.9，∴1+x=±1.1，∴x=0.1=10%或x=﹣2.1（负值舍去）．13即该商店平均每月利润增长的百分率是10%．故答案为：10%【点评】此题主要考查了一元二次方程的知识，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用﹣，难度一般． 18．点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，点B在y=（x＞0）的图象上（如图所示），0为坐标原点，AB∥x轴，则△OAB的面积为 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵AB∥x轴，∴△OAB的面积=×|﹣2|+×3=．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标的性质，三角形的面积公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 19．已知△ABC中，AE为BC边上的高线，若∠ABC=50°，∠CAE=20°，则∠ACB= 70或110 °．【考点】三角形内角和定理．【分析】在△ABE中可求得∠BAE，当∠ACB为锐角时，则在△AEC中由三角形内角和定理可求得∠ACB，当∠ACB为钝角时，在△AEC中，利用三角形外角的性质可求得∠ACB．【解答】解：∵AE⊥BC，∴∠BAE+∠ABC=90°，∴∠BAE=90°﹣50°=40°，当∠ACB为锐角时，如图1，14在△AEC中，∠ACB+∠CAE=90°，∴∠ACB=90°﹣20°=70°，当∠ACB为钝角时，如图2，则∠ACB=∠CAE+∠AEC=20°+90°=110°，故答案为：70或110．【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 20．如图，点A为线段DE上一点，AB=AC=的面积= cm2．，∠D=∠BAC=2∠E=120°，若AE﹣BD=BD﹣CE=1cm，则△ACE【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】作∠AFC=∠D=120°，则∠EFC=60°，由三角形的外角性质得出∠B=∠CAF，∠E=60°，由AAS证明△AFC≌△BDA，得出AF=BD，证明△CEF是等边三角形，得出CE=CF=EF=1cm，求出AF=BD=2cm，得出AE=AF+EF=3cm，作CM⊥AE于M，由等边三角形的性质和勾股定理求出CM=积．【解答】解：作∠AFC=∠D=120°，如图所示：则∠EFC=60°，∵∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠D+∠B，∠D=∠BAC=2∠E=120°，∴∠B=∠CAF，∠E=60°，EM=，即可求出△ACE的面15在△AFC和△BDA中，∴△AFC≌△BDA（AAS），∴AF=BD，
∴AE﹣BD=AE﹣AF=EF=1nm，∵∠EFC=∠E=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=CF=EF=1cm，∴AE﹣BD=BD﹣CE=1cm，∴AF=BD=2cm，∴AE=AF+EF=3cm，作CM⊥AE于M，∵△EFC是等边三角形，∴EM=EF=，∴CM=
EM=
，
=
，
∴△ACE的面积=×3×故答案为：
．
（cm2）；
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角形面积的计算；通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．先化简，再求值：，其中x=2sin45°+°．
【考点】分式的化简求值；二次根式的乘除法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．
【分析】先把分式化简，再将x的值化简后代入求解．
16
【解答】解：
=[﹣]•x
=，
°=
+1．
=﹣
．
x=2sin45°+把x=
+1代入，原式=
【点评】本题主要考查分式的化简求值．解题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
22．图（a）、图（b）是两张形状，大小完全相同的8×8的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（a）、图（b）中分别画出符合要求的图形，要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
（1）以AB为一边，画一个成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；（2）以EF为一边，画△EFP，使其面积为
的轴对称图形．
【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案；利用平移设计图案．【分析】（1）根据平行四边形的底边为4，高为3，进行画图；（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图．【解答】解：（1）如图所示：
四边形ABCD是面积为12的平行四边形；
17
（2）如图所示：
△EFP是面积为的等腰三角形．
【点评】本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算．注意：平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形．
23．某学生组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动，八年级一班同学统计了该天本班学生打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并做了如下直方图和扇形统计图．请根据该班同学所作的两个图形解答：
（1）八年级一班有多少名学生？
（2）求去敬老院服务的学生人数，并补全直方图的空缺部分．（3）若八年级有800名学生，估计该年级去敬老院的人数．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．【分析】（1）参加社区文艺演出的有15人，且占
，即可求得该班的总人数；
（2）求出去敬老院服务的人数即可补全直方图的空缺部分；（3）用样本中去敬老院人数所占百分比乘以总人数800即可得．【解答】解：（1）15÷
=50（人），
答：八年级一班有50名学生；
18
（2）去敬老院服务的学生人数：50﹣25﹣15=10（人），补齐如图，
（3）由样本估计总体得：×800=160（人），
答：八年级大约有160人去敬老院．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．已知，△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接DF与EF．（1）如图1，求证：四边形ADFE是菱形；
（2）如图2，连接DE，若AB=5cm，BC=6cm，请直接写出图中所有长为3cm的线段和四边形ADFE的面积．
【考点】菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理．
【分析】（1）求出AF⊥BC，根据直角三角形的性质求出AD=DF，根据三角形的中位线求出AD=EF，AE=DF，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据三角形的中位线性质得出长为3cm的线段即可；求出△ABC的面积，求出S四边形ADFE=S△ABC，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接AF，∵AB=AC，∴AF⊥BC，
19
∴∠AFB=90°，∵D为AB中点，∴AD=BD=DF，
∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，∴EF=AB=AD，DF=AC=AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AD=DF，
∴四边形ADFE为菱形；
（2）解：长度为3cm的线段有DE，BF，CF，
理由是：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，BC=6cm，∴DE=BF=CF=BC=3cm；∵∠AFB=90°，
∴在Rt△AFB中，由勾股定理得：AF=∴S△ABC=
=
=12（cm2），
=
=4，
∵D为AB的中点，E为AC的中点，
∴S△AFD=S△BFD=S△AFB，S△AFE=S△CFE=S△AFC，∴S四边形ADFE=S△AFD+S△AFE=S△ABC=×12cm2=6cm2，即四边形ADFE的面积为6cm2．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：等底等高的三角形的面积相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
25．哈市松北区教育局为鼓励先进、倡导绿色出行，组织骑行大赛，并未参赛的部分优秀学生选手购买骑行帽，按原价用规划的2400元可购买这种骑行帽若干个，商场老板也是个自行车运动爱好者，得知情况后，决定给予八折优惠，结果教育局用这规划的2400元购买的骑行帽数量比按原价购买多四个．（1）求这种骑行帽原价多少元一个？
（2）由于宣传到位，参赛同学增多，教育局准备再追加购奖款10000元，用于购买这种骑行帽和防霾口罩共200个，用于奖励参赛学生，商场老板调取订货单查出骑行帽进价80元/个，防霾口罩进价10元/个，商场老板与教育局协商后将防霾口罩按利润率20%的价格出售，骑行帽仍可按八折购买，则教育局用追加购奖
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款最多可购买多少个骑行帽？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设这种骑行帽原价x元一个，根据题意列出方程解答；
（2）设购买m个骑行帽，则购买（200﹣m）个口罩，根据题意列出不等式解答即可．【解答】解：（1）设这种骑行帽原价x元一个
，
解得：x=150，
经检验x=150是原方程的解，答：这种骑行帽原价150元一个；
（2）设购买m个骑行帽，则购买（200﹣m）个口罩120m+（1+20%）×10（200﹣m）≤10000解得：m∵m为正整数，∴m最大取70．
答：则教育局用追加购奖款最多可购买70个骑行帽．
【点评】本题考查的是分式方程的运用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出方程和不等式进行求解．
26．已知⊙O中弦AB⊥弦CD，垂足为H．（1）如图1，当AB为直径时，求证：BC=BD；（2）如图2，当tan∠ACD=，且BO=
时，求BC的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=CB，过H作BD的垂线垂足为E，直线HE交AC于点F，交⊙O于点G，求△OFH的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系．
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【分析】（1）由AB为直径，CD为弦，且直径与弦垂直，利用垂径定理得到B为利用等弧对等弦即可得证；
中点，得到两条弧相等，
（2）连接OC，过O作OR垂直于BC，设∠ACD=x，利用同弧所对的圆周角定理得到一对角相等，表示出∠ABD=x，进而表示出∠BDC，进而表示出∠BOC，由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，根据tan∠ACD与BO的值，求出BR的值，利用垂径定理即可确定出BC的值；
（3）连接OF、OH，过O作OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，设AH=x，则有CH=2x，表示出BH，利用勾股定理求出x的值，求出AM与OM长，得出OH的长，进而利用勾股定理求出ON与FH的长，即可求出三角形OFH的面积．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，且AB⊥弦CD，∴
=
，
∴BC=BD；
（2）解：如图2，连接OC，过O作OR⊥BC于点R，设∠ACD=x，∵
=
，
∴∠ACD=∠ABD=x，∵AB⊥CD，∴∠BDC=90°﹣x，∵
=
，
∴∠BOC=2∠BDC=180°﹣2x，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=x，∴tan∠OBC=tan∠ACD=，∵BO=
，
∴BR=2OR=5，∵OR⊥BC，∴BC=2BR=10；
（3）解：如图3，连接OF、OH，过O作OM⊥AB于点M，ON⊥EF于点N，设AH=x，则CH=2x，∵BA=BC=10，
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∴BH=10﹣x，
在Rt△BCH中，由勾股定理解得：x=4，∴AM=5，OM=2.5，∴OH=
，
∵OE⊥BD，
∴∠EHD=∠DBH=∠ACD=∠CHF，∴HF为△ACH的斜边中线，∴HF=AC，∴AC=4
，，
，﹣a，
∴CF=HF=2
在Rt△COF中得OF=令HN=a，则FN=2
由勾股定理：ON2=OF2﹣FN2=OH2﹣NH2，解得：a=∴ON=
，
×2
×=．
，
∴△OFH的面积为
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
27．已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，将射线AD沿x轴翻折后交抛物线于点E．（1）如图1，求线段AB的长；（2）如图2，若AE=AD+2
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，求抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，延长EA交直线CD于点M，点P为第四象限内抛物线上一点，直线AP交直线CD于点N，当S△PMN=S△OAN时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）令y=0，求出点A，B的坐标，从而求出AB的长；
（2）先用三角函数tan∠EAG===a（m﹣3），tan∠ADG===a，由
∠FDA=∠BAD=∠EAG，建立方程a（m﹣3）=a，求出m；（3）先求出PK=
，PH=
（﹣t2+3t+4），从而得出S△DAM=9，再分两种情况进行计算．
【解答】解：（1）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）B（3，0），∴AB=4，（2）如图1，
过A作AF⊥直线CD于点F，过E作EG⊥直线X轴于点G，∴对称轴为直线x=1，∵CD∥X轴，∴D（2，﹣3a），∴DF=3，
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设E[m，a（m+1）（m﹣3）]，
tan∠EAG=tan∠ADG=
==
=a，
=a（m﹣3），
∵∠FDA=∠BAD=∠EAG，∴a（m﹣3）=a，∴m=4，∴AG=5，∴3AE=5AD，∵AE=AD+2∴AD=3
，，
∴AF=3=3a，∴a=1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（3）如图2，
过P作PH⊥X轴交AE于点H，过P作PK⊥直线AE于点E，∴直线AE的解析式为y=x+1，设P（t，t2﹣2t﹣3），
则PH=t+1﹣（ t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t+4，由（2）EG=AG=5，∴∠AEG=45°=∠KHP，∴PK=
，PH=
（﹣t2+3t+4），
∵△AMD为等腰直角三角形，∴AM=AD=3∴S△DAM=9，
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，
情况一：当P1在CD下方时，∵S△PMN=S△DAN，∴S△PMA=S△DAM，∴AM×P1K=18，∴
（﹣t2+3t+4）×3
=18，
解得t1=1，t2=2（舍），∴P（1，﹣4）；
情况二：当P2在CD上方时，同同情况一可得∴S△PMA=S△DAM，∴t3=1，t4=2（舍）
∴满足条件的点P为P（1，﹣4）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了求坐标交点坐标，三角形的面积的计算方法，锐角三角函数的意义，解本题的关键是用三角函数值相等建立方程．
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