概率习题答案

《概率统计》试题（一） 一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生

3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=,P(B)=0.3，P(AA)＝ B)=0.7,则 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)P(A);

（C）P(B|A)P(B); （D）P(BA)P(B)P(A)

2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。

（B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。 5. 若P(BA)1，那么下列命题中正确的是 （A）AB （B）BA （C）AB （D）P(AB)0 三、计算题

1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2． 任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。 1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。

3）两套中至少有一套放在一起。

3． 调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购

买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的.

4． 仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙

厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。 5． 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此

时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6． 有标号1∼n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再

从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

1

二、 证明题

设A，B是两个事件，满足P(BA)P(BA)，证明事件A，B相互独立。

《概率统计》试题（二）

一、 填空题

1） 设离散型随机变量X分布律为P{Xk}5A(1/2)2) 已知随机变量X的密度为f(x)2k(k1,2,)则A=______________

axb,0x1,且P{x1/2}5/8,则a________ b________

0,其它80，则该射手的命中率为_________ 813）设X～N(2,),且P{2x4}0.3,则P{x0} _________ 4) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为

5）若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 二、 选择题

1) 设X～N(,),那么当增大时，P{X}

2 A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

2）设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)f(x)。那么对任意给定的a都有

a1f(x)dx 002 C）F(a)F(a) D） F(a)2F(a)1

A）f(a)1af(x)dx B） F(a)3）下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A）F(x)1111 B） F(x)arctanx x221xx(1e),x0 C）F(x)2 D） F(x)f(t)dt，其中f(t)dt1

0,x04) 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

Aex,x5）已知随机变量X的密度函数f(x)=(>0,A为常数)，则概率P{X<+a}（a>0）的值

0,x A）与a无关，随的增大而增大 B）与a无关，随的增大而减小 C）与无关，随a的增大而增大 D）与无关，随a的增大而减小 三、 解答题

1）从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回 2）设随机变量X的密度函数为f(x)Ae求 (1）系数A, (2) P{0x1} (3) 分布函数F(x)。

3）对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。

4）设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。 5）公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高X度应如何确定？ 6) 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-x). 求：（1）系数A与B；

（2）X落在（-1，1）内的概率；（3）X的分布密度。

2

x (x),

N(168,72),问车门的高

四、证明题

设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y1e在区间（0，1）上服从均匀分布。

《概率统计》试题（三）

一、填空题

1） 设P{X0,Y0}

2X34，P{X0}P{Y0}，则P{max{X,Y}0} 77Y﹨X 01 02） 已知X,Y得分布率为 1/ 3 b a1/61且

{X0}与

{XY1}独立，则 a b

3）用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{aXb,Yc} 4）用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{Xa,Yb}

5）设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 二、选择题

1）X1,X2独立,且分布率为 (i1,2),那么下列结论正确的是 A）X1X2不正确

2）设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 ( X ,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) Xi011P1/21/2P{X1X2}1C）P{X1X2}2P1/61/91/181/3 且X,Y相互独立，则 A） 2/9,1/9 B） 1/9,2/9 C） 1/6,1/6 D） 8/15,1/18 3）若X～(1,1)，Y～(2,2)那么(X,Y)的联合分布为

22 A） 二维正态，且0 B）二维正态，且不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对

4）设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|} C) FZ（z）= FX（z）·FY(z) D)都不是

5）下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

cosx,x,0y1 A）f(x,y)= 220,其他

3

1cosx,x,0y B) g(x,y)=222

0,其他 C)

cosx,0x,0y1

其他0,1cosx,0x,0yD) h(x,y)=2

0,其他(x,y)=三、解答题

1） 把一枚均匀的硬币连抛三次，以X表示出现正面的次数，Y表示正、反两面次数差

的绝对值 ，求(X,Y)的联合分布律与边缘分布。

2） 设二维连续型随机变量

(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)A(Barctan)(Carctan)

23求（1）A、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。

Ae(3x4y),x0,y03）设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=,

其他0,求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0x1,0y2}的概率。 4） 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)Ay(1x),0x1,0yx， （1）求系数A，（2）求(X,Y)的联合分布函数。 5）上题条件下：（1）求关于X及Y的边缘密度。 （2）X与Y是否相互独立？ 6）在第4）题条件下，求f(yx)和f(xy)。

四、证明题：在区间[0,1]上随机地投掷两点，试证这两点间距离的密度函数为

2(1z)0z1. f(z)0其他

《概率统计》试题（四）

一、

填空题

221） 已知X~N(2,0.4)，则E(X3)＝ 2） 设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则3） 设X的概率密度为f(x)D(3XY)

1ex，则D(X)＝ 24） 设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态

分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）= 5）设D(X)25,DY36,xy0.4，则D(XY) 二、 选择题

1）掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A） 50 B） 100 C）120 D） 150 2） 设X1,X2,X3相互独立同服从参数3的泊松分布，令Y

4

1(X1X2X3)，3

则E(Y)

A）1. B）9. C）10. D）6.

3） 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)E(X)E(Y)，则

A）D(XY)D(X)D(Y) B）D(XY)D(X)D(Y) C）X和Y独立 D）X和Y不独立

4）设2P()(Poission分布)，且E(X1)X21，则=

A）1， B）2， C）3， D）0

5) 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(XY)DXDY是X和Y的

A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件； C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件 三、解答题

1） 盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X的数

学期望E(X)和方差D(X)。

2） 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

3） 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

4）设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

5）一袋中有n张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n，从中有放回地抽取出k张来，以X表示所得号码之和，求E(X),D(X)。

6) 设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=求：① 常数k.. ② EXY及D(XY). 四、证明题

设随机变量X的概率密度为f(x)k,0x1,0yx

其他0,1xe，x。证明：（1）2E(X)0,D(X)2,

（2）X与X不相互独立,（3）X与X的协方差为零,X与X不相关。

《概率统计》试题（五）

一、填空题

1）设X1,X2,,Xn,是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当n充分大时,近似有X～ 或

2nX～ 。特别是，当同为正态分布时，对于

任意的n，都精确有X～ 或nX～ .

22）设X1,X2,,Xn,是独立同分布的随机变量序列,且EXi，DXi(i1,2,)

1n2那么Xi依概率收敛于 .

ni12223）设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y(X1X2)(X3X4),

5

则当C 时CY～(2)。 4）设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，5，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

5）设X1,X2,…Xn为来自正态总体2N(,2)的一个简单随机样本，则样本均值

1ni服从

ni1二、选择题

2

1）设X～N(,)其中已知，未知，X1,X2,X3样本，则下列选项中不是统计量

2的是

A）X1X2X3 B）max{X1,X2,X3} C）

i1

3

Xi2

2

D）X1

2）设X～B(1,p) ,X1,X2,,Xn,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是

p(1p) nkkB）P{Xk}Cnp(1p)nk,k0,1,2,,n

kkknkC）P{X}Cnp(1p),k0,1,2,,n

nkknkD）P{Xik}Cnp(1p),1in

A）当n充分大时，近似有X～Np,3）若X～t(n)那么～

A）F(1,n) B）F(n,1) C）(n) D）t(n)

24）设X1,X2,Xn为来自正态总体N(,)简单随机样本，X是样本均值，记

221n1n1n2222S(XiX)，S2(XiX)，S3(Xi)2， n1i1ni1n1i1211nS(Xi)2，则服从自由度为n1的t分布的随机变量是

ni124A) tXS1/n1n B) tXS2/n1 C) tXS3/n2 D) tXS4/n

5）设X1,X2,…Xn，Xn+1, …,Xn+m是来自正态总体N(0,)的容量为n+m的样本，则统计

量Vmi2ni2in1i1nm服从的分布是

A) F(m,n) B) F(n1,m1) C) F(n,m) D) F(m1,n1) 三、解答题

1）设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

2）一系统是由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须

6

至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

3）甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

4）设总体X服从正态分布，又设X与S分别为样本均值和样本方差，又设

2Xn1N(,2)，且Xn1与X1,X2,,Xn相互独立，求统计量

Xn1XSn的分布。 n15) 在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

N(,0.22)，若以Xn表示n次称量结果的算术平均值，为使PXna0.10.95成立，

求n的最小值应不小于的自然数？ 四、证明题

i 设 X1,X2,,Xn是来自总体X的简单样本，E(X)ai(i1,2,3,4)存在

2(a4a20)，证明当n充分大时，

12Xi近似服从正态分布。 n

概率统计》试题（六）

一、填空题

1）设总体X～b(n,p),0p1,X1,X2,,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是 2）设总体X～U0,,(X1,X2,,Xn)是来自X的样本，则的最大似然估计量是 3）设总体X～N(,0.9)，X1,X2,,X9是容量为9的简单随机样本，均值x5，则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是

4） 测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

5） 在上述4）题的条件下，零件尺寸偏差的方差的无偏估计量是 二、选择题

1）设X1,X2,,Xn是取自总体X的一个简单样本，则E(X)的矩估计是 221n1n22(XiX) （B）S2(XiX)2 （A）Sn1i1ni121（C）S1X （D）S2X

22）总体X～N(,)，已知，n 时，才能使总体均值的置信水平为0.9522222的置信区间长不大于L

（A）15/L （B）15.3664/L （C）16/L （D）16

222222 7

)3）设X1,X2,,Xn为总体X的一个随机样本，E(X),D(X2，

C(Xi1Xi)2为 2的无偏估计，C＝

i12n1（A）1/n （B）1/n1 （C） 1/2(n1) （D） 1/n2 4）设总体X服从正态分布N估计为

221n1n1n2XiX （C）Xi （D）X2 （A）XiX （B）ni1n1i1ni1,,X,X,212,Xn是来自X的样本，则2的最大似然

5）在4）题条件下，的无偏估计量是

221n1n1n2XiX （C）Xi （D）X2 （A）XiX （B）ni1n1i1ni12

三、解答题

x1,0x11）设X1,X2,,Xn为总体X的一个样本, X的密度函数f(x)，

其他0,0求参数的矩估计量和最大似然估计量。

2）设X服从参数为的泊松分布，试求参数的矩估计与最大似然估计。

3）随机地从一批零件中抽取16个，测得长度(cm)为：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，

2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设零件长度分布为正态分布，试求总体的90％的置信区间：（1）若0.01(cm)，（2）若未知。 4）某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别以两条流水线上抽取样本：X1,X2,,X12

2及Y1,Y2,,Y17算出X10.6(g),Y9.5(g),S122.4,S24.7，假设这两条流水线上灌装

的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为1,2,设两总体方差

2122，求12置信水平为95％的置信区间；

5）在上述4）题条件下，求1/2的置信水平为95％的置信区间。

四、证明题

为了对一批产品估计其废品率P，随机取一样本X1,X2,,Xn，其中

221,取得废品1nXii1,2,,n,，试证明PXXi是P的无偏估计量。

ni10，取得合格品《概率统计》试题（七）

一、填空题

22

1）设X1,X2,,Xn是来自正态总体N(,)的简单随机样本，和均未知，记

n1n2XXi,S(XiX)2,则假设H0:0的t检验使用统计量T＝

ni1i1 8

1m1n222）设XXi和YYi分别来自两个正态总体N(1,1)和N(2,2)的样本

mi1ni122均值，参数1，2未知，两正态总体相互独立，欲检验H0:12 ，应用 检验法，其检验统计量是

23）设总体X～N(,)，,为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为X，

2修正样本标准差为Sn，在显著性水平下，检验假设H0:80，H1:80的拒绝域

222为 ，在显著性水平下，检验假设H0:0（0已知），H1:10的

*拒绝域为 二、选择题

1）在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用 （A）t检验法 （B）u检验法 （C）F检验法 （D）检验法 2）在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 （A）样本值与样本容量 （B）显著性水平 （C）检验统计量 （D）A,B,C同时成立

3）对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0:0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

（A）必须接受H0 （B）可能接受，也可能拒绝H0 （C）必拒绝H0 （D）不接受，也不拒绝H0

三、解答题

1)设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差150，现从一批产品中随机抽取了26个，测得该项指标的平均值为1637，问能否认为这批产品的该项指标值为1600（0.05）？

2)某台机器加工某种零件，规定零件长度为100cm，标准差不超过2cm，每天定时检查机器运行情况，某日抽取10个零件，测得平均长度X101cm，样本标准差S2cm，设加工的零件长度服从正态分布，问该日机器工作是否正常（0.05）？

3）从某锌矿的东西两支矿脉中，各取容量为9和8的样本分析后，计算其样本含锌量的平均值与方差分别为：东支：x0.230,S120.1337,n19; 西支：y0.26 9 ,2S20.173，6n28;假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，对0.05，问能否

2认为两支矿脉的含锌量相同？ 四、证明题

2设总体X～N(,5)在0.05的水平上检验H0:0,H1:0，若所选取的拒绝域

RX1.96，试证样品容量n应取25。

9

