概率论与数理统计期末考试试卷答案完整版

概率论与数理统计期末

考试试卷答案

HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

《概率论与数理统计》试卷A

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

1、A，B为二事件，则AB

A、AB B、AB C、AB D、AB 2、设A，B，C表示三个事件，则ABC表示

A、A，B，C中有一个发生

B、A，B，C中恰有两个发生

C、A，B，C中不多于一个发生 D、A，B，C都不发生 3、A、B为两事件，若P(AB)0.8，P(A)0.2，P(B)0.4，则成立

A、P(AB)0.32 B、P(AB)0.2 C、P(BA)0.4 D、P(BA)0.48 4、设A，B为任二事件，则

A、P(AB)P(A)P(B) B、P(AB)P(A)P(B)

C、P(AB)P(A)P(B) D、P(A)P(AB)P(AB) 5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是

A、A与B独立 B、A与B独立 C、P(AB)P(A)P(B) D、A与B一定互斥

6、设离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 其分布函数为F(x)，则F(3)

A、0 B、0.3 C、0.8 D、1

0.P 3 5 2 0.0.cx4,x[0,1]7、设离散型随机变量X的密度函数为f(x) ，则常数

其它0,c

11A、 B、 C、4 D、5

541x28、设X～N(0,1)，密度函数(x)e，则(x)的最大值是211 D、

222

A、0 B、1 C、3k39、设随机变量X可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为p(k;3)e,k0,1,2,k!，则

下式成立的是

1A、EXDX3 B、EXDX

3C、EX3,DX11 D、EX,DX9 3310、设X服从二项分布B(n,p),则有

A、E(2X1)2np B、D(2X1)4np(1p)1

C、E(2X1)4np1 D、D(2X1)4np(1p)

11、独立随机变量X,Y，若X～N(1,4)，Y～N(3,16)，下式中不成立的是

A、EXY4 B、EXY3 C、DXY12 D、EY216

12、设随机变量X的分布列

则常数c=X 1 2 3 为：



p 1/c 2 1/4 C、

11 D、 44A、0 B、1

13、设X～N(0,1),又常数c满足PXcPXc,则c等于1 D、-1 2

A、1 B、0 C、

23X214、已知EX1,DX3,则E=

A、9 B、6 C、30 D、36

15、当X服从( )分布时,EXDX。

A、指数 B、泊松 C、正态 D、均匀 16、下列结论中，不是随机变量X与Y不相关的充要条件。

A、E(XY)E(X)E(Y) B、DXYDXDY C、CovX,Y0 D、X与Y相互独立

17、设X～b(n,p)且EX6，DX3.6，则有

A、n10，p0.6 B、n20，p0.3

C、n15，p0.4 D、n12，p0.5

18、设px,y,px,py分别是二维随机变量,的联合密度函数及边缘密度函

数，则是与独立的充要条件。

A、EEE B、DDD

C、与不相关 D、对x,y,有px,ypxpy 19、设是二维离散型随机变量，则X与Y独立的充要条件是

A、E(XY)EXEy B、D(XY)DXDY C、X与Y不相关 D、对X,Y的任何可能取值xi,yj PijPiPj

y14xy，0x，20、设X,Y的联合密度为p(x，， y)其它0，若F(x，y)为分布函数，则F(0.5，2)11 C、 D、1 42

A、0 B、

二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

1、若事件 A与B相互独立，P(A)0.8 P(B)0.6。求：P(AB)和P{A(AB)}

2、设随机变量XN(2，4)，且(1.65)0.95。求P(X5.3)

3、已知连续型随机变量的分布函数为F(x)0,x，41，x00x4，求E和D。 x44、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)ABarctgxx

求： （1）常数A和B；

（2）X落入（-1，1）的概率；

（3）X的密度函数f(x)

2，如果命中了就停止射击， 35、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为

否则一直独立射到子弹用尽。

求：（1）耗用子弹数X的分布列；（2）EX；（3）DX

y14xy，0x，y)6、设,的联合密度为p(x，，

其它0，求：（1）边际密度函数p(x),p(y)；（2）E,E；(3）与是否独立

三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

x1e2、设~f(x,)0x0其它(0) x1,x2,...,xn。为 的一组观察值，求的极

大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

1题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 答案 B D C D D D D C A D 1题号 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C C B B B D C D D B 二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

1、解：∵A与B相互独立

∴P(AB)P(A)P(B)P(AB)………（1分）

又P(AAB)P[A(AB)]………（1分）

P(AB) P(AB)P(A)P(B)………（2分）

P(AB)P(AB) 0.13 ………（1分）

5.3-22、解：P(X5.3)1Φ ………（5分）1Φ(1.65)10.950.05

23、解：由已知有U0,4 ………（3分）则：Eab2 24、解：(1)由F()0，F()1

AB0112 有： 解之有：A，B ………（3分） 2AB12(2)P(1X1)F(1)F(1)1 ………（2分） 2(3)f(x)F(x)1 ………（2分） 2(1x)5、解：(1)

X 1 2 3 ………（3分）

2/P 3 9 9 2/1/22113(2)EXxipi123 ………（2分）

3999i1322123(3) ∵EXxi2pi122232

3999i123∴DXEX2(EX)22313238()………（2分） 998116、解：(1) ∵p(x)p(x，y)dy4xydy2x

02x，0x1 ∴p(x)

0，其它2y，0y1同理：p(x) ………（3分）

0，其它(2) Exp(x)dx2x2dx0122 同理：E

33y)p(x)p(y) ∴与独立 (3) ∵p(x，三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

1、解：x1,x2,...,xn的似然函数为：

1n1L(x1,x2,...,xn，)ei1nxi1nexii1………（3分）

1n解之有：xiX ………（6分）

ni14、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E[(X1)(X2)]1求. 解：E(X)D(X)， …….2分

E[(X1)(X2)]E(X23X2) D(X)[E(X)]3E(X)2122 …….2分

所以210，得1. …….1分 三、（共18分,每题6分)

21、设总体X~N(52,6),现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X落入（50.8，53.8）之间的概率.

解：X~N(52,1)， ……….2分

P{50.8X53.8} =(53.852)(50.852)

(1.8)(1.2)=0.964110.8849 ….3分

0.849 ……….1分

Aex, x0,2、设随机变量X的分布函数为 F(x)B, 0x1,

(x1)1Ae, x1.求：（1）A , B的值；（2）P{X1}. 3 解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得

x0limF(x)F(0)，limF(x)F(1)，

x1AB即 解得AB0.5 ……….3分 B1A （2）P{X11}1F()10.50.5 ……….3分 333、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率. 解：设Ai={从箱子中取到i号袋}，i1,2

B={抽出的是红球}

P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2) ……….2分

11225 ……….1分 33339P(A1)P(B|A1)i1 概率论与数理统计B试题 班级 姓名 学号 第 3 页 P(A1|B)P(Ai)P(B|Ai)2 1 ……….3分 5 Ax, 0x1，f(x)四、（8分） 设随机变量X具有密度函数 0, 其它.求（1）常数A；（2）X的分布函数.

（1）因为f(x)dx1 ……….2分

所以 A0xdx1 得 A2 ……….2分

10, x0,x（2）F(x)02xdx, 0x1,

1, x1.0, x0,2=x, 0x1, ……….4分 1, x1.五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10件，现从中随机抽取一件，记

1, 若抽到i 等品，Xi 求X1，X2的联合分布律.

0, 没有抽到i 等品. 解：设A1,A2,A3分别表示抽到一、二、三等品，

P(X10,X20)P(A3)0.1，P(X11,X20)P(A1)0.6 P(X10,X21)P(A2)0.3，P(X11,X21)0 X1，X2的联合分布律为

X2 0 1 X1 0 0.1 1 0.6 0.0 0.3 ……….8分（每个2分）

六、（10分）设随机变量X和Y的联合概率密度为

（1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量X和Y是否独立.

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

3xy2,f(x,y)20,0x2,0y1，则

其他E(X)=4。

38、随机变量X的数学期望EX，方差DXD(kXb)=k22。

2，k、b为常数，则有E(kXb)= kb,；

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2,

25) 。

10、ˆ1, ˆ2是常数的两个 无偏 估计量，若D(ˆ1)D(ˆ2)，则称ˆ1比ˆ2有效。 1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(AB)=_0.3__。

2、设XB(2,p)，YB(3,p)，且P{X ≥ 1}=5，则P{Y≥ 1}=19。

927

3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。

4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。

5、设随机变量X的概率密度是：

3x2f(x)00x1，且PX其他0.784，则=0.6 。

6、利用正态分布的结论，有

1(x24x4)e2(x2)22dx 1 。

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

3xy2,f(x,y)20,0x2,0y1，则

其他E(Y)= 3/4 。

8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

PYaXb1，则X与Y的相关系数XY-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2,

13) 。

10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“X1/2”出现的次数，则

P{Y2}= 3/8 。

1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则P(AB)0.6 。

2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1,1,1,1，则密码能被译出的概率是

543611/24 。

5、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3PX2PX4，则= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则PX2 0.6247 。

7、随机变量X的概率密度函数f(x)1ex22x1，则E(X)= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则Xi2~x2(n)。

i1

n

9、设T服从自由度为n的t分布，若PT，则PTa。 210、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

xy,f(x,y)0,0x2,0y1，则

其他E(X)= 4/3 。

1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(AB), 则P(B)= 0.4 。

2、设随机变量X与Y相互独立，且

XP10.510.5，

YP110.50.5，则P(X =Y)=_ 0.5_。

3、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。

4、设随机变量X~N(,2)，其密度函数f(x)16ex24x46，则= 2 。

5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y(XEX)/DX，则DY= 1 。

6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从5的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联

e5y合密度函数f (x, y)= 00x5,y0其它。

7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。

8、设X1,X2,,Xn是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则(XiX)2服从的分布为x2(n1)。

i1n1119、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为,,，则目标能被击中的概率是

5433/5 。

4xe2y,0x1,y010、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)，

其它0则EY = 1/2 。

1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6 __。

2、设随机变量X的分布律为

Xp012112，且X与Y独立同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为

ZP014134。

3、设随机变量X ～N (2，2)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。 4、设随机变量X 服从2泊松分布，则PX1=1e2。

5、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X，则Y的概率密度fY(y)为

1yfX()。 226、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X) 2.4 。

7、X1，X2，…，Xn是取自总体N,2的样本，则

(Xi1niX)22～x2(n1)。

4xe2y,0x1,y08、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)，则EX = 2/3 。

其它0ˆ9、称统计量为参数的 无偏 估计量，如果E()=。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。

1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)0.6，则P(AB) 0.3 。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则E(X2) 18.4 。

3、设随机变量X～N (1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“X1/4”出现的次数，则P{Y2}=

5/16 。

4、已知随机变量X服从参数为的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则=23。

5、称统计量ˆ为参数的无偏估计量，如果E()=θ 。

6、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互独立，则

XYn~ t(n) 。

7、若随机变量X～N (3，9)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X－2Y＋2，则Z ～ N (7，

29) 。

8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度

6xe3y,f(x,y)00x1,y0，则

其它EY = 1/3 。

29、已知总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，要检验Ho：20，则采用的统计量是

(n1)S220。

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若PT，则PT1a。 21、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(AB)0.7，则P(AB) 0.55 。

2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。

3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为

37，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 644、设随机变量X的概率分布为P(X1)0.2,P(X2)0.3,P(X3)0.5，则X的期望EX= 2.3。

5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。

6、设(X, Y)的联合概率分布列为

－1 0 4 －2 1/9 1/3 2/9 1 1/18 a b 若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则P2X4 1/2 。

1118、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,，则密码能被译出的概率是3/5 。

5439、若X~N(1,2),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，X,S2分别为样本均值和样本方差，则

t (n-1) 。

(X)n~ S10、ˆ1,ˆ2是常数的两个无偏估计量，若D(ˆ1)D(ˆ2)，则称ˆ1比ˆ2 有效 。 1、已知P (A)=0.8，P (A－B)=0.5，且A与B独立，则P (B) ＝ 3/8 。

2、设随机变量X～N(1，4)，且P{ X a }= P{ X a }，则a ＝ 1 。

3、随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X1)P(Y1)P(XY)0.5。

11，P(X1)P(Y1)，则224xy0x1,0y14、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度f(x,y)，则EY= 2/3 。

0其它5、设随机变量X～N (1，4)，则PX2＝ 0.3753 。（已知(0.5)=0.6915，(1.5)=0.9332）

6、若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，

9) 。

7、设总体X～N(1，9)，X1, X2, , Xn是来自总体X的简单随机样本，X, S2分别为样本均值与样本方差，

1n1n2229）则(XiX)~(8)；；(Xi1)2~（。

9i19i18、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3PX2PX4，则= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。

10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体

当作符合H0而接受。这类错误称为 二 错误。

1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)= 0.4 。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X) 2.4 。

3、设随机变量X的概率分布为

X －1 0 1 2 P 0.1 0.3 0.2 0.4 则PX21= 0.7 。

4、设随机变量X的概率密度函数f(x)1ex22x1，则D(X)=

12 。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次

数为X，则P {X＝10}＝ 0.39*0.7 。

6、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是C540.740.31。

7、设随机变量X的密度函数f(x)1e2(x2)22，且PXcPXc，则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4－9X，V= 8＋3Y，且X与Y的相关系数XY＝1，则U与V的相关系数UV＝－1。

9、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互独立，则

XYn~t (n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。

则P(B) 0.4 。 1、随机事件A与B独立，P(AB)0.7,P(A)0.5，2、设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为

3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则P3X4 0.25 。

4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则EX2=_18.4__。

5、随机变量X~N(,4)，则YX~ N(0,1) 。 26、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能

被击中的概率是 59/60 。

7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是

的个数是 4 。

80，则袋中白球818、已知随机变量U = 1＋2X，V= 2－3Y，且X与Y的相关系数XY ＝－1，则U与V的相关系数UV ＝

1 。

9、设随机变量X～N (2，9)，且P{ X a }= P{ X a }，则a＝ 2 。

10、称统计量ˆ为参数的无偏估计量，如果E()= θ

二、选择题

1、设随机事件A与B互不相容，且P(A)P(B)0，则（ D ）。

Ａ. P(A)1P(B) B. P(AB)P(A)P(B) Ｃ. P(AB)1 Ｄ. P(AB)1

2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

1C2222!2!A. 2 B. 2 C. 2 D.

44!C4P4３、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X，则Y的概率密度fY(y)为（ D ）。

1yy1yA. 2fX(2y) B. fX() C. fX() D. fX()

22222４、设随机变量X~f(x)，满足f(x)f(x)，F(x)是x的分布函数，则对任意实数a有（ B ）。

A. F(a)1f(x)dx B. F(a)0aa1f(x)dx C. F(a)F(a) D. F(a)2F(a)1 20５、设(x)为标准正态分布函数，

100事件A发生；1, ，X100相互独立。令YXi，则由Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.8，X1，X2， 否则；i10，中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y80) C．(16y80) D．(4y80) 4１、设A，B为随机事件，P(B)0，P(A|B)1，则必有（ A ）。

A. P(AB)P(A) B. AB C. P(A)P(B) D. P(AB)P(A)

２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概

率是（ C ）。

32112333212A. B. （）（） C. （） D. C（） 44444443、设X1, X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。

A. 11121323X1X2 B. X1X2 C. X1X2 D. X1X2 223344554、设(x)为标准正态分布函数，

事件A发生；1, ，X100相互独立。令YXi i1, 2,, 100,且P(A)0.1，X1，X2， 否则。0，Xi1100i，则由中心

极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y10) C．(3y10) D．(9y10) 35、设(X1,X2,,Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。

1n1nX12~t(n)； B. (Xi1)~F(n,1)； C. ~N(0,1)； D. (Xi1)2~2(n)； A.

4i14i12/n2/nX1１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。

A. ABC B. ABC C. A+B+C D. ABC

２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。

10xA. F(x),x B. F(x)21x1xx0x0

C. F(x)ex,x D. F(x)31arctgx, x 423、(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y)0不等价的是（ D ）

A. E(XY)E(X)E(Y) B. D(XY)D(X)D(Y) C. D(XY)D(X)D(Y) D. X和Y相互独立

4、设(x)为标准正态分布函数，

100事件A发生1, ，X100相互独立。令YXi，则由Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.2，X1，X2， 否则i10，中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y20) C．(16y20) D．(4y20) 45、设总体X~N(,22)，其中未知，X1,X2,,Xn为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为s2，

则下列各式中不是统计量的是（ C ）。

A. 2X B.

s22 C.

X D.

(n1)s22

1、若随机事件A与B相互独立，则P(AB)＝（ B ）。

A. P(A)P(B) B. P(A)P(B)P(A)P(B) C. P(A)P(B) D. P(A)P(B)

2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的

估计量中最有效的是（ D ）

事件A发生1, 3、设(x)为标准正态分布函数，Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.3，

否则0，X1，X2，，X100相互独立。令YXi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

i1100A. (y) B．(y30y30) C．() D．(y30)

21214、设离散型随机变量的概率分布为P(Xk)k1，k0,1,2,3，则E(X)＝（ B ）。 10A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4

5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A. H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。 B. H1不真时接受H1称为犯第一类错误。 C. 设P{拒绝H0|H0真}，P{接受H0|H0不真}，则变大时变小。

D. 、的意义同（C），当样本容量一定时，变大时则变小。

1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. P(AB)P(A)P(B) B. P(AB)1 C. P(AB)P(A)P(B) D. P(AB)0

2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。

A. BBABA B. BBABA C. BBABA D. B1B

3、设(x)为标准正态分布函数，

事件A发生1, ，X100相互独立。令YXi i1, 2,, 100,且P(A)0.4，X1，X2， 否则0，Xi，则由

i1100中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y40y40) C．(y40) D．()

24244、若E(XY)E(X)E(Y)，则（D ）。

A. X和Y相互独立

D(XY)D(X)D(Y)

B. X与Y不相关 C. D(XY)D(X)D(Y) D.

5、若随机向量（X,Y）服从二维正态分布，则①X,Y一定相互独立； ② 若XY0，则X,Y一定相互独

立；③X和Y都服从一维正态分布；④若X,Y相互独立，则

Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。

A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④

1、设随机事件A、B互不相容，P(A)p, P(B)q，则P(AB)＝（ C ）。

A. (1p)q B. pq C. q D.p

2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. P(AB)P(A)P(B)，其中A，B相互独立 B. P(AB)P(B)P(AB)，其中P(B)0

C. P(AB)P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)P(A)P(BA)，其中P(A)0

3、设(x)为标准正态分布函数，

100事件A发生1, ，X100相互独立。令YXi，则由中Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.5，X1，X2，0， 否则i1心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y50y50) C．(y50) D．() 5254、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X的密度函数为（ B ）

5、设xx是一组样本观测值，则其标准差是（ B ,2,,x1n ）。

1A.

n11n1n1n22(xix) B. (xix) C. (xix) D. (xix) ni1ni1n1i1i1n21、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。

A. P(AB)P(A)P(B) B. P(AB)0 C. P(A|B)P(B|A) D. P(A|B)P(B)

2、若随机事件A,B的概率分别为P(A)0.6，P(B)0.5，则A与B一定（D ）。

A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容

1, 事件A发生3、设(x)为标准正态分布函数，Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.6， 否则0，X1，X2，，X100相互独立。令YXi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（B ）。

i1100A. (y) B．(y60y60) C．(y60) D．()

24244、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记p1P{X9},p2{Y4}，则（ B ）。

A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定

5、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X的密度函数为（ B ）

1、对任意两个事件A和B， 若P(AB)0， 则（ D ）。

A. AB B. AB C. P(A)P(B)0 D. P(AB)P(A)

2、设A、B为两个随机事件，且0P(A)1，0P(B)1， P(B|A)P(B|A)， 则必有（ B ）。

A. P(A|B)P(A|B)

不相容

B. P(AB)P(A)P(B) C. P(AB)P(A)P(B) D. A、B互

3、设(x)为标准正态分布函数，

事件A发生1, ，X100相互独立。令YXi i1, 2,, 100,且P(A)0.7，X1，X2， 否则0，Xi，则由

i1100中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(y70y70) C．(y70) D．()

21214、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)（ A ）。

A. 3 B. 6 C. 10 D. 12

5、设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记p1P{X3},p2{Y5}，则（ B ）。

A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定

1、设A1,A2两个随机事件相互独立，当A1,A2同时发生时，必有A发生，则（ A ）。

A. P(A1A2)P(A) B. P(A1A2)P(A) C. P(A1A2)P(A) D. P(A1)P(A2)P(A)

2、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y2X3，则Y的概率密度fY(y)为（ A ）。

A. 1y31y31y31y3fX() B. fX() C. fX() D. fX() 222222223、两个独立随机变量X,Y，则下列不成立的是（ C ）。

A. EXYEXEY B. E(XY)EXEY C. DXYDXDY D. D(XY)DXDY

事件A发生1, 4、设(x)为标准正态分布函数，Xi i1, 2,, 100,且P(A)0.9，

否则0，X1，X2，，X100相互独立。令YXi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

i1100A. (y) B．(y90y90) C．(y90) D．() 395、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ2，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计

量中最有效的是（ B ）

1、若事件A1,A2,A3两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。

A. A1,A2,A3相互独立

B. A1,A2,A3两两独立

C. P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)

D. A1,A2,A3相互独立

2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。

3、设X1,X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别

为F1(x)和F2(x)，则（ B ）。

A. f1(x)f2(x)必为密度函数 B. F1(x)F2(x)必为分布函数

C. F1(x)F2(x)必为分布函数 D. f1(x)f2(x)必为密度函数

4、设随机变量X, Y相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。

A. X Y B. （X, Y） C. X — Y D. X + Y

5、设(x)为标准正态分布函数，

n事件A发生1, Xi i1, 2,, n,且P(A)p，X1，X2，，Xn相互独立。令YXi，则由中心极

0， 否则i1限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. (y) B．(ynpynp) ) C．(ynp) D．(np(1p)np(1p)三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三

厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少

解 设Ai表示产品由第i家厂家提供，i=1, 2, 3；B表示此产品为次品。

则所求事件的概率为

10.02P(A1|B)P(A1)P(B|A1)2P(A1|B) ＝0.4

111P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.020.020.04244答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、

0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少

解：设A1，A2，A3表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为

（2）P(A1|B)P(A2)P(B|A2)0.350.02 = 0.38

P(B)0.0185答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工

零件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。

解：设C1，C2，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为

（2）机床停机时正加工零件A的概率为

三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加

工的零件合格率依次为94％，90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解 设A1，A2，A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）

则所求事件的概率为

10.06P(A1|B)P(A1)P(B|A1)32P(A1|B)3 ＝

P(B)0.50.060.30.100.20.057P(Ai)P(B|Ai)i1答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、

50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 （10分）

解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。

则P(A2|B)P(A2|B)P(A)P(B|A2)0.150.342 ＝0.209

P(B)0.0500.150.30.30.40.50.1P(Ai)P(B|Ai)i1答：此人乘坐火车的概率为0.209。

三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、

50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。

解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。

则P(B)P(Ai)P(B|Ai) 0.0510.150.70.30.60.50.90.785

i14答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X的概率密度函数为

求（1）A； （2）X的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。

AA（）1 f(x)dxAxdxx2|11 00解： 22 A2 1 (3) P（1/2四（2）、已知连续型随机变量X的概率密度为

求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5 k2f(x)dx(kx1)dx(x2x)|02k21 0解： 2 k1/2 (1) 2(3) P（1.5四（3）、已知连续型随机变量X的概率密度为

求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。

2f(x)dxaxdxa1 0解： 3 a3/2 (1) 1(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8

四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为

求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 ）

解：

(1) f(x)dx2xdxA21 0A

A1 (3) P（-0.5四（5）、已知连续型随即变量X的概率密度为

求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。

解：

(1) 1-x2 c1/ 1f(x)dx 1cdxcarcsinx|11c1

(3) P（-0.5四（6）、已知连续型随机变量X的分布函数为

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1(1) lim F(x)A1 x解： lim F(x)AB0x0

B1 (3) P（1四（7）、已知连续型随机变量X的分布函数为

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1(1) lim F(x)Ax2B1 B0解： lim F(x)Ax2 A1/2, B1/

(3) P（01arctan2

四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为

求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。

（2）解：

(1) lim F(x)A1 x11 , 0x1 f(x) F(x) 2x A1 0, 其他(3) P（0四（9）、已知连续型随机变量X的分布函数为

求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

（2）、解：

(1) lim F(x)1A/40 x28 3, x2 A4 f(x) F(x)x0, x2(3) P（0四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为

求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。

（2）当x0时， F(x)f(t)dt0 x2xx(1) f(x)dx 2dx1 当x时， F(x)0解：f(t)dt1 a 0, x02x 故 F(x)2, 0x 1, xa2tx2 当0x时， F(x)f(t)dt2dt2 0xx(3) P（-0.5142

五（1）、设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为,()的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。

显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0；

当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)

＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝exdxeydy＝(1ez)(1ez)。

00zz因此，系统L的寿命Z的密度函数为

ezez()e()z, z0df Z (z)＝FZ(z)

dz0, z0五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 2的密度函数。

解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X 2≤y)＝0；

当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X 2≤y)＝P(yXy)

＝y12yex2/2dx2y120ex2/2dx

ey/2, y0,d因此，f Y (y)＝FY(y)2 y

dy0, y0. 五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为,()的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。

显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝0；

当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝1－P (min (X, Y)>z)

＝1－P (X>z, Y>z)＝1－P (X>z)P (Y>z)＝1exdxeydy＝1e()z。

zz因此，系统L的寿命Z的密度函数为

()e()z, z0df Z (z)＝FZ(z)

dz z00, 五（4）、已知随机变量X～N（0，1），求Y＝|X|的密度函数。

解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝0；

当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝P(yXy)

＝y12yex2/2dx2y120ex2/2dx

2y2/2 y0,de因此，f Y (y)＝FY(y)

dy0, y0. 五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为

Ae(2x3y), x0,y0 ;f(x, y)= 

其它.0, （1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。

解：（1）由1＝f(x,y)dxdy00Ae(2x3y)dxdyAe02xdxe3ydy＝

01A(e2x201)(e3y3)0A, 6 可得A＝6。

（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

2e2x, x0 ;3e3y, y0 ;fX (x)＝ 和 fY (y)＝  ，

其它. 其它.0, 0, 则对于任意的(x,y)R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。

（3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝21006e(2x3y)dxdy2e2xdx3e3ydy

0021 ＝(e2x)(e3y)(1e4)(1e3).

0021五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为

Ae(3x4y), x0,y0 ;f (x, y)= 

其它.0, （1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}。

解：（1）由1＝f(x,y)dxdy00Ae(3x4y)dxdyAe03xdxe4ydy

01 ＝A(e3x301)(e4y4)0A, 可得A＝12。 12 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

3e3x, x0 ;4e4y, y0 ;fX (x)＝ 和 fY (y)＝  ，

其它. 其它.0, 0, 则对于任意的(x,y)R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。

（3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝12e(3x4y)dxdy3e3xdx4e4ydy

000011 ＝(e3x1)(e4y1)(1e300)(1e4).

五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)= 6x, 0xy1 ;0, 其它.

（1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由。

解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0；

当0≤x≤1时，fX (x)＝f(x,y)dy1x6xdy6x(1x).

因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度f6x6x2, 0x1,X (x)＝0, 其它.

当y<0或y>1时，fY (y)＝0；

当0≤y≤1时，fyY (y)＝f(x,y)dx06xdx3x2|y03y2. 因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度f(y)＝3y2, 0y1,Y 0, 其它.

（2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2) 所以，X与Y不独立。

五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为

，

ey, 0xy ;f (x, y)=

其它.0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X与Y是否相互独立，并说明理由。

解：（1）当x≤0时，fX (x)＝0；

当x>0时，fX (x)＝f(x,y)dyxeydyex.

因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fex, x0,X (x)＝0, 其它.

当y≤0时，fY (y)＝0；

当y>0时，fyY (y)＝f(x,y)dx0eydxyey.

因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fyey, y0,Y (y)＝ 0, 其它.

（2）因为f (1, 2)＝e-2，而fX (1) fY (2)＝e-1*2e-2＝2 e-3≠f (1, 2) 所以，X与Y不独立。 五（9）、设随机变量X的概率密度为

设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。 解：当y<0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝0； ，

当y>1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝1；

当0≤y≤1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P ((F(X )≤y)＝P(XF1(y))

＝F(F1(y))y

因此，f Y (y)＝

0y1,1, d FY(y)dy其它. 0, 五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为

0xy1 ;8xy, f(x, y)= 

0, 其它.

（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。

解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0；

2当0≤x≤1时，fX (x)＝f(x,y)dy8xydy4xy2|1x4x(1x).

x14x4x3, 0x1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝

0, 其它.当y<0或y>1时，fY (y)＝0；

y4y3. 当0≤y≤1时，fY (y)＝f(x,y)dx8xydx4yx2|00y4y3, 0y1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝

其它.0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)，

所以，X与Y不独立。

V为7 6六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵6 9

求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2 X， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 28 -2所以，（＋Y-2 49 2六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为2 1

求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6

 和

1 -128 -128 1

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8

414 81 21所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为  和  8 64六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为 9 －6－6 6

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3 X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 27 3所以，（X—Y，3 3）的协方差矩阵V为 4 －5六（4）、已知随机向量（X，Y－5 9

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23 D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5

 和

21 1

1 13 13 1

-523 -51 69所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为  和  -5 13-5 169，Y）的协方差矩阵V为 1 －1六（5）、已知随机向量（X－1 4

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3

所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 7 -31 -3 3 和 -321 1求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1

七（1）、设总体X的概率密度函数是

其中0为未知参数。x1, x2, , xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

-321 解：似然函数Lxii1n1xii1nn1 lnLnln(1)lnxi

i1n

七（3）、设总体X的概率密度函数是

>0为未知参数，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：似然函数L(2xiexp{xi})(2xiexp{xi}) lnLnln(2)lnxixi2

2nn2i1i1i1i1i1nnnnn 七（4）、设总体的概率密度函数是

其中>0是未知参数，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：似然函数L(3xexp{xi})(3xiexp{xi}) lnLnln(3)lnxixi3

i12i3nn232i1i1i1i1nnnnn 七（5）、设总体X服从参数为的泊松分布P()x1,x2,x3,xx!e（x=0，1， ），其中0为未知参数，

,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：似然函数Li1nxixi!enxii1nenxi!i1 lnLxilnln(xi!)n

i1i1nn 七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=px(1-p)1-x,x0,1。 设x1,x2,x3,本，试用最大似然估计法求p的估计值。

,xn为总体X的一组简单随机样

解：Lpi1nxi1p1xinn lnLxilnpnxiln1p

i1i1 七（7）、设总体X服从参数为

1的指数分布，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解： Lei1n11xi1xi11n1i1 lnLnlnxi ei1nn 七（8）、设总体X服从参数为的指数分布，x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计。

解：似然函数Lei1nnxiexini1n lnLnlnxi

i1n七（9）、设总体X的概率密度函数是

x1,x2,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计

解：似然函数

七（10）、设总体X的概率密度函数是

x1,x2,x3,,xn是一组样本值，求参数的最大似然估计

解：似然函数

八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：

6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.0251.960 )

、解：由于零件的长度服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95 /n所以的置信区间为(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i6

1 的置信度为0.95的置信区间为 (61.9613,61.963) 即(5.347，6.653)

八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单

位：毫米 ）：

14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径的置信度为0.95的置信区间。

解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95 /n所以的置信区间为：(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i14.911

的置信度为0.95的置信区间为

(14.9111.960.053,14.9111.960.053) 即(14.765，15.057)

八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(,2),现从某日生产的零件中随机抽出

9个,分别测得其口径如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7

已知零件口径X的标准差0.15，求的置信度为0.95的置信区间。

解：由于零件的口径服从正态分布,所以Ux~N(0,1) P{|U|u0.025}0.95 /n所以的置信区间为：(xu0.025n,xu0.025n) 经计算 x19xi19i14.9

0.15  的置信度为0.95的置信区间为 (14.91.960.153,14.91.963) 即(14.802 ,14.998)

八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分

布，求这种炮弹的炮口速度的方差2的置信度为0.95的置信区间。

因为炮口速度服从正态分布，所以

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

2的置信度0.95的置信区间为 8989, 即4.106,33.028

17.5352.180八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：

x162.67cm, s4.20cm。求该校女生身高方差2的置信度为0.95的置信区间。

解：因为学生身高服从正态分布，所以

(n1)S284.2284.22(n1)S22的置信区间为：2n1,2n1 的置信度0.95的置信区间为 17.535,2.180 即

0.9750.0252

8.048,64.734

八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x16.10cm, s2.10cm。设螺丝钉的长度服

从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差2的置信度为0.95的置信区间。

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

82.10282.102的置信度0.95的置信区间为 , 即2.012,16.183

17.5352.1802

八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x32.58，样本方差

S20.097。假定该产品的尺寸X服从正态分布N(,2),其中2与均未知。求2的置信度为0.95

的置信区间。

(已知：0.0252(20)34.17, 0.9752(20)9.591；0.0252(19)32.852, 0.9752(19)8.907)解：由于该产品的尺寸服

从正态分布，所以

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：2n1,2n1

0.9750.0252

190.097190.097,2的置信度0.95的置信区间为  即0.056,0.207

32.8528.907八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(,2)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为

8.069。求2的置信度为0.95的置信区间。

2222(9)19.023, 0.975(9)2.7，0.025(8)17.535, 0.975(8)2.180） （已知：0.025解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

88.069288.0692的置信度为0.95的置信区间为, ，即 29.705,238.931

17.5352.1802

八（9）、设总体X ～N(,2)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S20.07，试求总体方差的置

信度为0.95的置信区间。

(已知：0.0252(16)28.845, 0.9752(16)6.908；0.0252(15)27.488, 0.9752(15)6.262)解：由于 X～N,2，

所以

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n122的置信度0.95的置信区间为 150.07150.07,，即0.038,0.168

27.4886.262八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(,2)，取样本观测值16个，得样本方差S20.04，

试求2的置信度为95%的置信区间。

(已知：0.0252(16)28.845, 0.9752(16)6.908；0.0252(15)27.488, 0.9752(15)6.262)解：由于 X ~

N,2，所以

(n1)S2(n1)S2的置信区间为：(2,2)

0.025n10.975n12

2的置信度0.95的置信区间为：150.04150.04, 即0.022,0.096 6.26227.488九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得

x287.5, (xix)2160.5。假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显着水平0.1下，是否可以

i110相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16

(n1)S2解：待检验的假设是 H0:16 选择统计量 W22 在H0成立时 W~2(9)

取拒绝域w ={W16.92,W3.33}

由样本数据知(n1)S2160.5 W160.510.03 16.9210.033.33 16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽

测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显着水平0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显着差异

(n1)S2解：待检验的假设是 H0:0.03 选择统计量 W22 在H0成立时 W~2(9)

取拒绝域w ={W19.023,W2.700}

由样本数据知 W(n1)S2290.037511.25

0.03 接受H0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显着差异。

九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(,0.92)，现从一批产品中抽测20

个样本，测得样本标准差S=1.2。问在显着水平0.1下，该批产品的标准差是否有显着差异？

(n1)S2解：待检验的假设是 H0:0.9 选择统计量 W2 在H0成立时 W~2(19)

取拒绝域w ={W30.114,W10.117}

由样本数据知 W(n1)S22191.2233.778 33.77830.114 20.9 拒绝H0，即认为这批产品的标准差有显着差异。

九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4.55,0.112)。现抽测了9炉铁

水,算得铁水含碳量的平均值x4.445，若总体方差没有显着差异，即20.112，问在0.05显着性水平下，总体均值有无显着差异

解：待检验的假设是 H0:4.55 选择统计量 UX 在H0成立时 U~N(0,1) /nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

由样本数据知 UX4.4454.552.864 U1.960 拒绝H0，即认为总体均值

0.11/3/n有显着差异。

九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X ～N(,2)，其中=15，20.09，技术革新后，改用新机器

包装。抽查9个样品，测定重量为（单位：克）

14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1

已知方差不变。问在0.05显着性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15

解：待检验的假设是 H0:15 选择统计量 UX 在H0成立时 U~N(0,1) /nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

经计算 x19xi14.967 Ui19X14.967150.33 U1.960

0.3/3/n 接受H0，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

九（6）、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20, 1)。在某天的生

产过程中，随机抽查4只表壳，测得直径分别为: 19.5 19.8 20.0 20.5.

问在0.05显着性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常

解： 待检验的假设为 H0: 20 选择统计量Ux 当H0成立时， U～N0,1

n19.95200.111取拒绝域w={|U|1.960} 经计算 xxi19.95 24i1U1.9604U接受H0，即认为表壳的均值正常。

九（7）、某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为

0.15cm。今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为x=10.48cm。假设方差不变，问在

0.05显着性水平下，该切割机工作是否正常

解： 待检验的假设为 H0: 10.5选择统计量Ux 当H0成立时， U～ N0,1

nP{|U|u0.025}0.05 取拒绝域w={|U|1.960}

由已知

Uxn10.4810.580.5330.1515 接受H0，即认为切割机工作正常。

4U1.960九（8）、某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为0.13厘米。如

果从某日生产的这种零件中任取9件测量后得x=0.146厘米，S =0.016厘米。问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样

（ 已知：0.05, t0.05(9)2.262, t0.05(8)2.306, u0.0251.96 ）

解： 待检验的假设为 H0: 0.13选择统计量Tx 当H0成立时， T～t(8) SnP{|T|t0.05(8)}0.05 取拒绝域w={|T|2.306} 由已知

Tx0.1460.133S0.016 拒绝H0，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有显着差异。

3nT2.306九、某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取9个样本，测得其平均寿命

为1070小时，样本标准差S109小时。问在0.05显着性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显着变化？

解： 待检验的假设为 H0: 1120

选择统计量Tx 当H0成立时， T～t(8) P{|T|t0.05(8)}0.05 Sn取拒绝域w={|T|2.306} 由已知

Tx107011201.376S109 接受H0，即认为检测灯泡的平均寿命无显着变化。

3nT2.306九、正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为（次/分）：

68 65 77 70 64 69 72 62 71