2022佛山一模答案

高三数学 参考答案与评分标准

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 D 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

题号 答案 9 AD 10 ACD 11 BC 12 ABD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13. −2−8i 14. 35 15. −31 16.0 , − 24四、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(1)依题意,由正弦定理

abc…………………………………………………1分 ==sinAsinBsinC可得sinAcosC=(2sinB−sinC)cosA ……………………………………………………………2分 即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA,即sin(A+C)=2sinBcosA, ………………………3分 又A+C=−B,所以sin(A+C)=sinB,故sinB=2sinBcosA, ………………………………4分 又A,B(0,),所以sinB0,cosA=(2)因为AD=1,故A=. ………………………………………………5分 231AB+AC, …………………………………………………………………………6分 222111所以AD=AB+AC=(b2+c2+2bccosA)=(4+c2+2c)=3, ………………………7分

4442则c+2c−8=0,解得c=2或c=−4(舍去) …………………………………………………………8分

()()所以SABC=113bcsinA=22=3, 222

即ABC的面积为3. ………………………………………………………………………………10分 18.【解析】(1)用频率估计概率,则预测经济前景等级为乐观、尚可、悲观的概率分别为:

10+19+24+174+7+92+3+5=0.7、=0.2、=0.1, ………………………………3分

100100100设两名业内人士分别为甲、乙,

事件A=“甲预测经济前景等级为‘乐观’”；事件B=“乙预测经济前景等级为‘乐观’”； 事件C=“至少有一人预测经济前景等级为‘乐观’”,

由于P(A)=P(B)=0.2,P(A)=P(B)=0.8,且事件A、B相互独立, …………………………4分 方法一：P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.20.2+0.80.2+0.20.8=0.36. 方法二：P(C)=1−P(AB)=1−0.80.8=0.36.

所以估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率为0.36.……………………………………5分 (2)设物联网项目年回报率为随机变量X(%),人工智能项目年回报率为随机变量Y(%),分布列为

X P 12 4 −4 0.2 0.7 0.1

Y P 5 −2 7 0.2 0.7 0.1 ………………………7分

E(X)=120.2+40.7−40.1=4.8,E(Y)=70.2+50.7−20.1=4.7, ………………9分 D(X)=(12−4.8)20.2+(4−4.8)20.7+(−4−4.8)20.1=18.56两者年回报率期望相差无几,方差有显著差别,

建议选择投资平均年回报率稍小,但投资风险小得多的人工智能项目. ……………………………12分 19.【解析】(1)设数列an的公比为q,因为S3,S9,S6成等差数列,所以q1. ……………………1分 且2S9=S3+S6,即263

D(Y)=(7−4.7)20.2+(5−4.7)20.7+(−2−4.7)20.1=5.61,………………………………11分

a1(1−q9)1−q=a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q,…………………………………………3分

化简得2q=1+q. ………………………………………………………………………………………4分 上式两边同乘a1q,得2a1q7=a1q+a1q4,即2a8=a2+a5,所以a2,a8,a5成等差数列. …………5分

3 (2)由(1)可知q1,2q=1+q,解得q=−631,………………………………………………………6分 26an116632+1 因为6=q=(q)=,故数列an是首项为26,公比为的等比数列. ………………………8分

an44 所以Tn=aaa2616263a=(26n6n)14n(n−1)2=2−n2+7n, ……………………………………………10分

当n=3或4时,−n+7n取得最大值为12,所以Tn的最大值为212(或写成4096).………………12分 20.【解析】(1) 当M为BP中点时,直线EM//平面PCD.……………………………………………1分 理由:取PC中点F,连结EM,FM,DF, 在PBC中,因为F,M分别为PC,PB的中点,所以FM//BC,且FM=在矩形ABCD中,E是AD的中点,所以DE//BC,且DE=1BC ………………2分 21BC ………………………………3分 2所以DE//FM,且DE=FM,故四边形DEMF是平行四边形,所以EM//DF, ………………4分 又EM平面PCD,DF平面PCD,所以EM//平面PCD.

z即M为BP中点时,直线EM//平面PCD.………………5分

(2) 不妨设AD=2,则PA=AD=2,AB=22, 又PA⊥PB,所以PB=2

以P为原点,建立空间直角坐标系P−xyz如图所示,……6分 则P(0,0,0),C(2,0,2),E(0,2,1),

yAPMDEFBxCPC=(2,0,2),PE=(0,2,1),……………………………7分

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则nPC=0nPE=0,即2x+2z=0x=2y,解得,

2y+z=0z=−2y令y=−1,得n=(−2,−1,2), ……………………………………………………………………………9分 显然平面PAB的一个法向量为m=(0,0,1),…………………………………………………………10分 所以cosn,m=nm22==,…………………………………………………………………11分 nm3132所以平面PCE与平面PAB所成二面角的正弦值为1−cosn,m=5.……………………12分 33x2x,故可设C的方程为−y2=(0),…2分 21.【解析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=3332又C过点P3,2,所以−3()()22=,解得=1, ………………………………………………3分

x2−y2=1. ……………………………………………………………………………4分 所以C的方程为3 (2)显然直线BQ的斜率不为0,设直线BQ为x=my+1,

B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,−y1),………………………………………………………………………6分 联立x=my+122x−3y=3,消去x整理得m−3y+2my−2=0, ………………………………………7分

2(2)2 依题意得m−30且=4m+8m−30,即m2且m3,

2(2)2222m,.…………………………………………………………………8分 yy=−1222m−3m−3y+y1 直线AD的方程为y+y1=2(x−x1),……………………………………………………………9分

x2−x1 且y1+y2=−x2−x1)y1( 令y=0,得x=+xy2+y1 =1=x1y2+x2y1 ………………………………………………………10分

y1+y2y1+y2(my1+1)y2+(my2+1)y1=2my1y2+(y1+y2) …………………………………11分

y1+y22m−22m−m2−3m2−3=3.

2m−2m−3 =所以直线AD过定点(3,0).………………………………………………………………………………12分 22.【解析】(1) f(x)=因为f(−1)=1x1e−, …………………………………………………………………1分 a21+x110,故点A−1,−不在曲线C上,设切点为T(x0,y0)(x0−1), …………2分

2ae则切线AT的斜率为k=f(x0)=1x01, e−a2x0+111y0+12, ………………………………………………………3分 2,所以1ex0−=又k=ax0+12x0+1x0+1y0+11x011x0+1=y0+,将y0=f(x0)=ex0−x0+1代入得: e(x0+1)−a22a1x011111x0+1=ex0−x0+1+,整理得x0ex0+e(x0+1)−x0+1−1=0,

aa22a211x01xx00=0, 即x0e+=0,所以x0e+aa2x0+1+12x0+1+11x1因为a0,所以e0+0,所以x0=0,……………………………………………4分

a2x0+1+1整理得

()()()()11−.………………………………………………………………5分 a211x(2)①当a=1时,f(x)ax(x−1)e−x−1+x0(x−1).

221+(1+x)111xx1+x, …………………………………7分 由e1+x得e−x1+x,又1+x=222211xx所以e−x1+x,即e−x−1+x0,

221即当a=1且x−1时,f(x)ax(x−1). ………………………………………………………8分

21x121②当0a时,f(x)ax(x−1)e−ax1+x(x−1),

e2a21x1x1令(x)=e−ax−e−x,

22a故切线AT的斜率为k=f(0)=即(x)=1−ax111e+(1−a)x=(1−a)ex+x, a22a1211,所以(x)=(1−a)ex+0,(x)是−1,+)上的增函数,

2ea因为0a11−0,所以(x)(−1)0, ae221x11x故当0a,x−1时,e−axe−x, …………………………………………………10分

ea2211x1x由①知,e−x1+x,所以e−ax1+x(x−1),

2a221即当0a时,f(x)ax(x−1).

e221综上,当a=1或0a时,f(x)ax(x−1). ……………………………………………12分

e2又(−1)=(1−a)