高三数学第一轮复习 函数的单调性与最值教案 文

函数的单调性与最值

一、 知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）

1．对于给定区间D上的函数f(x)，对于D上的任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，都有

f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)， 则称f(x)是区间D上减函数.

2．判断函数单调性的常用方法：

（1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法. 3.设x1x2a,b,x1x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增

x1x2函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.

x1x24.设yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

5.如果f(x)和g(x)都是增(或减)函数,则在公共定义域内是数; f(x)g(x)增(或减)函

f(x)增g(x)减,则f(x)g(x)是增函数;f(x)减g(x) 增,则差函数f(x)g(x)是减函数. 6．基本初等函数的单调性 （1）一次函数ykxb. 当k0在,上是增函数；当k0在,上是减函数 （2）二次函数yaxbxc(a0). 2bb,上是减函数；在上是增函数； 2a2abb,当a0在,上是增函数；在上是减函数； 2a2ak（3）反比例函数y(k0).

x当a0在, 当k0在,0上是减函数，在0,上是减函数；当k0在,0上是增函数，在

0,上是增函数。

（4）指数函数ya(a0,a1).当a1在,上是增函数；当0a1在

x,上是减函数。

（5）指数函数ylogax(a0,a1)当a1在0,上是增函数；当0a1在

0,上是减函数。

7.函数的最值

对于函数y=f(x)，设定义域为A，则 （1）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。 （2）、若存在，使得对于任意的，恒有 成立，则称f()是函数f(x)的 。 二、题型探究

【探究一】：判断证明函数的单调性

2x例1：试判断函数f(x)在区间（0，1）上的单调性.

x1

例2：下列函数中，在区间(,0]上是增函数的是（ ） （A）yx4x8（B） ylog1(x) （C）y222 （D）y1x x1探究二：抽象函数的单调性 例3：【2013师大精典题库】定义在R上的函数f(x)，f(0) ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、b，有f(a+b)=f(a)f(b). (1)求证：f(0)=1；

(2)求证：对任意x，f(x)> 0； (3)证明：f(x)是R上的增函数。 例4：函数f(x)对任意a、b，有f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。 (1)证明：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3<3.

探究三：与单调性有关的参数问题

例5：若函数yf(x)在R单调递增，且f(m)f(m)，则实数m的取值范围是（ ） A.,1 B.0, C.1,0 D.,1U0,

探究四、函数的单调性与最值 例6：求下列函数的值域

1、 y＝－x－6x－5 2、 y=x+ 3、

4、 ,表示不超过x的最大整数

2

例7：12．求f(x)＝x－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

22

解：f(x)＝(x－a)－1－a，对称轴为x＝a. w w w .x k b 1.c o m

22

①当a＜0时，由图①可知， f(x)min＝f(0)＝－1， f(x)max＝f(2)＝3－4a.

②当0≤a＜1时，由图②可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(2)＝3－4a.

③当1≤a≤2时，由图③可知， f(x)min＝f(a)＝－1－a2， f(x)max＝f(0)＝－1.

④当a＞2时，由图④可知， f(x)min＝f(2)＝3－4a， f(x)max＝f(0)＝－1.

综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；

2

当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a，f(x)max＝3－4a；

2

当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a，f(x)max＝－1； 当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1. 三、方法提升

1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，函数在给定的区间的单调性反映函数在区间

上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质 ，但不一定是函数在定义域内上的整体性质，函数的单调性是针对某个区间而言的，所以受到区间的限制；

2、 求函数的单调区间，首先请注意函数的定义域，函数的增减区间都是定义域的子区间;

其次，掌握基本初等函数的单调区间，常用的方法有：定义法，图象法，导数法； 3、 利用函数的单调性可以解函数不等式、方程及函数的最值问题。 四、反思感悟

。 五、课时作业

一、选择题

1. 【15高考改编】函数f(x)ln(xx)的定义域为（ ）

A. (,0)(1,) B (,0][1,) C.(0,1) D. [0,1]

2

|x|22. 【15高考改编】已知函数f(x)5，g(x)axx(aR)，若f[g(1)]1，则a（ C ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. -1

3.已知偶函数f(x)在区间0,)单调递增，则满足f(2x1)＜f()的x 取值范围是（A ）

13A．（

122122，） B．（，） C．（，） D．, 3332334.若偶函数f(x)在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是 （D ）

A．f(3)f(1)f(2) B．f(1)f(3)f(2) 2233C．f(2)f(1)f() D．f(2)f()f(1)

225.已知f（x）是R上的奇函数f(x)，且f（2）=0，x为单调增函数，求x f（x）的解集（ ）A．[-2，0] B.

C. D.

6.偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系是（ ）

A．f(a1)f(b2) B．

f(a1)f(b2)

C．f(a1)f(b2) D．f(a1)f(b2)

2

7.设a，b∈R，且a＞0，函数f(x)＝x＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )．

A．4 B．8 C．10 D．16

8.函数f(x)= x+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是( ) A. 3,

B. ,3 C. (－∞,5)

222

D.3,

9.已知函数f(x)log3x2,x[1,9]，则函数y[f(x)]f(x)的最大值是 （ ） A．22 B．13 C．11 D．－3 10.函数f(x)2sin(x242xcosx)2x2x的最大值为M，最小值为m，则

A.Mm4 B.Mm4 C.Mm2 D.Mm2

二、填空题

11.函数f(x)2x6x[1,2] ，则f(x)的最大值、最小值为 x[1,1]x7 。

12. 当x则函数的最大值为 。

13.设x∈R，则函数f (x) =x21(x12)216的最小值为 。

14.已知x2y2+(x8)2(y6)2= 20，则| 3 x – 4 y – 100 |的最大值为 ，最小值为 。

三、解答题

15.求证：函数fxx

16.已知函数. （1）当a1，在区间0,1上是减函数。 x1时，求函数f(x)的最小值； 2 （2）若对任意x[2,),f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。 17.已知函数f(x)12axax(a1) （1）求函数f(x)的值域；

（2）若x[2,1]时，函数f(x)的最小值为7，求a的值和函数f(x) 的最大值。

18.对于定义域为D的函数yf(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把yf(x)（xD）叫闭函数。

（1）求闭函数yx符合条件②的区间[a,b]； （2）判断函数f(x)（3）判断函数yk331x(x0)是否为闭函数？并说明理由； 4xx2是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围。

答案解析 一、选择题

1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.B 9.B 10.D 二、填空题11.10,－1 12. 13.13 14.100 + 253，100 – 253。 三、解答题

15.解析：设x1x20,1则

fx11fx2x1xx121x2 xx2x11x2x

1x2

x11x21x1x2 xxx211x21x1x2x1x2 x1x20 x1x20,1 x1x20 x1x210fx1fx20fx1fx2 fxx1x在区间0,1上是减函数。 16.解析：（1）当a1x23x12时，f(x)xx1x3 易证yf(x)在[2,)上是增函数（须证明一下） f(x)minf(2)2123112 （2）由f(x)0有

x23x2ax0对x[2,)恒成立 2ax23x 令g(x)x23xx[2,) g(x)maxf(2)10 2a10 即a5 （另有讨论法求和函数最值法求）

17.解析：设axt0yt22t1(t1)22

（1）Qt1(0,) yt22t1在(0,)上是减函数y1(,1)

（2）Qx[2,1]a1t[1a2,a] 由t1[1a2,a] 所以值域为

所以yt2t1在[221,a]上是减函数 a2 a2a17a2或a4（不合题意舍去） 当t

111217y()21时有最大值， 即 ymaxa244416ba3a13318.解析：（1）由题意，yx在[a,b]上递减，则ab解得

b1ba所以，所求的区间为[-1，1] （2）取x11,x210,则f(x1)776f(x2)，即f(x)不是(0,)上的减函数。 410取x11133,x2,f(x1)10100f(x2)， 1010040400即f(x)不是(0,)上的增函数 所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。 （3）若ykx2是闭函数，则存在区间[a,b]，在区间[a,b]上，函数f(x)的值域

aka2为[a,b]，即bkb2，a,b为方程xkx2的两个实根，即方程

x2(2k1)xk220(x2,xk)有两个不等的实根。

009当k2时，有f(2)0，解得k2。当k2时，有f(k)0，无解。 综

42k12k12k22上所述，k(

9,2]。 4