清华附中小升初数学试题与解析

一、填空题Ⅰ 1. 已知

111111A1112324231111120092311 20081111B1111，

2342009那么B与A的差，BA .

【分析】 观察到A的最后一项和B较相似，所以可以从后往前减：

111111111111...1111...1234200920092342008

1111111...1;2342008发现这差又和A的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到A的第一项，则结果为1.

2. 甲、乙两包糖的重量之比是2∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包

糖的重量之比变为7∶5，那么两包糖重量的总和是 克.

【分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。比例从2:1变成7:5，和分别是3和12，

所以统一为12，也就是从8:4变成7:5，所以10克是1份，12份是120克。

3. 某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价

每个减价25元出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价 元.

【分析】 每个减价25元也就是说每个获利润20元，12件获利润240元。按定价的70%出售

10件也获利润240元，所以每个获利润24元，比定价少21元。这21元是定价的30%，所以定价是70元。

4. 如图1，在角MON的两边上分别有A、C、E及

NF并且△OAB、△ABC、△BCD、B、D、f六个点，DB△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的

面积等于 .

MOOB:BDSOCB:SBCD2:1， 【分析】 ACEOD:DFSOED:SDEF4:1

所以

图1

1333DFODBD,SDCFSBCD。

4444

将正整数从1开始依次按如图2所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…….那么在第100个拐角处的数是 .

【分析】

观察可发现，第2n个拐角之前有一个n(n1)的矩形，所以第2n个拐角处的数等于nn1，第100个拐角处

25.

22101112139231481415765162120191817图2

的数为2551。 6. 设1011041072009A10k，这里A，k都是正整数，那么k的最大值

为 .

【分析】 只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多。 101到2009里面共有(2009101)31637个数。其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5。所以，含有5的因子个数为12525514160。 7. 在1，2，3，4，5的所有排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足条件a1a2，a3a2，

a3a4，a5a4的不同排列的个数是 . a2,a4中一定有1，另一个只能是2或3。 【分析】

如果a2,a4是1，2，另外三个数可以任意排列，有2612种； 如果a2,a4是1，3，则3的两侧只能放4和5，有224种。

所以，共有16种。

二、填空题Ⅱ 8. 某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上7∶00开始工作，他们将在上午

11∶00完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚1小时开始，那么他们完成工作的时刻是 ∶ .

【分析】 根据题意，甲晚开始1小时，乙晚开始1个半小时，结果晚完成1小时20分钟，

也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量，乙的工效是甲的2倍。如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10分钟，10:50。

9. 已知正整数N的八进制表示为N（12345654321）8，那么在十进帛下，N除以7的

余数与N除以9的余数之和是 .

(12345654321)8(111111)82。 【分析】

根据n进制的弃n1法，(111111)8被7除余6，所以其平方被7除余1；

9(11)8，显然(111111)8被(11)8整除，所以其平方也被(11)8整除。

因此两个余数之和为1。

10. 如图3，四边形ABCD是矩形，E、F分别是

11AB、BC上的点，且AEAB，CFBC，

34AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则△AEG与△CGF的面积之和为 .

【分析】

AEGBFDC图3

过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HBCF:FB1:3，

112231EB2EH，AG2GF，SAEGSABFS233942同理，过E做AF的平行线交BC于I，则FI:IBAE:EB1:2，

11所以CFFBFI，CGGE，SCGF1SAEG5。

32所以AE所以两三角形面积之和为15。

11. 如图4，在加法算式中，八个汉字“清华附中龙

班大学”分别代表0到9中的某个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“清华附中”的最大值等于 .

【分析】

为避免显示不兼容问题，现用拼音首字母代替汉字。 原式为2009QHFZQHLB1QHDX，

即QHFZ1QHDXQHLB20097991DXLB。 为了使QHFZ最大，则前两位QH先尽量大，最大可能为80。 假设QH80，则继续化简为FZDXLB9。

ABCD10。

2009清华+清华清华附中龙班大学图4

DXLB9最大为9712976，此时出现重复数字，需要进行调整，

9612975，符合题意，所以最大值为8075。

设a，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对（a,b）b是两个正整数，共有 组.

【分析】 9504253311，(a,b)所含2的幂的情况可能是(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5)；

同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共11种，

种，所以总共有1173231种.

13. 某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对

调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到 人.

【分析】

设原人数为abc，则有abcbac180，即ab2。 从大到小尝试，9703626...34，所以所求答案为972。 12.

14.

设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为 种.

【分析】

14. 可以使用递推法。

回到A 跳到B或H 跳到C或G 跳到D或F 停在E 1步 1 2步 2 1 3步 3 1 4步 6 4 2 5步 10 4 6步 20 14 8 7步 34 14 8步 68 48 28 9步 116 48 所以，10步跳到E有96种方法。

三、解答题(请写出详细解题过程)：

15. 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A、B两种产品共50件，已知每生产一

件A产品需甲原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B产品需甲原料4千克和乙原料10千克.现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A、B两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案.

【分析】 设生产A产品x件，则生产B产品(50x)件。 需要甲原料9x4(50x)2005x千克，需要乙原料3x10(50x)5007x千克。

为避免原料不够用，则

2005x360，解得30x32。

5007x29011121如图5，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使

210得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的

93数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖

8整个表盘上的数.并举一个反例说明，作8个扇形将不47能保证上述结论成立.

65【分析】 共有12种可能的扇形，每个数恰好被4个扇形覆盖。这12个图5 扇形分为4组，同一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。所以，

如果去掉3个，则一定还有一组是完整的，这组的3个扇形覆盖整个表盘。另一方面，如果从12个扇形中去掉4个扇形，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被盖住。

16.

17. 对四位数abcd，若存在质数p和正整数k，使abcdpk，且

abcdpp5，求这样的四位数的最小值，并说明理由.

【分析】

17. 因为250，3522，55太大，所以p3。因为abcd是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9。

观察可知恰好有139922，所以最小的这样的四位数是1399。

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