量子力学典型例题分析解答之欧阳美创编

量子力学例题

时间：2021.01.01 创作：欧阳美 第二

章

一．求解一位定态薛定谔方程

1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程: 当

,

故有 处的连续条件

利用波函数在 由由

处连续条件: 处连续条件:

,

给定一个n 值,可解一个为分离能级.

2． 粒子在一维势井中的运动

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数

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[解]体系的定态薛定谔方程为 当

时

对束缚态 解为 在将又

相应归一化波函数为: 归一化波函数为:

处连续性要求 代入得

3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

求束缚态的能级所满足的方程 [解]束缚态下粒子能量的取值范围为 当当

时 时

薛定谔方程为

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令

解为 当

时

令

解为 当

时

薛定谔方程为

令 薛定谔方程为 解为 由

波函数满足的连续性要求,有 要使

有非零解

不能同时为零

则其系数组成的行列式必须为零

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计算行列式,得方程 例题

主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.

一. 有关算符的运算 1.证明如下对易关系

(1)(2) (3) (4)

(5) [证]

(1)

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(2)

(3) 一般地,若算符是任一标量算符,有

(4)

一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有 (5)=0 同理：

。

2. 证明哈密顿算符为厄密算符 [解]考虑一维情况

为厄密算符, 为厄密算符,为实数 为厄密算符

为厄密算符 3已知轨道角动量的两个算符和数完备集为

,

共同的正交归一化本征函

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取: 共同本征函数, 对应本征值 分别为: [证]

。

是的对应本征值为

试证明: 也是和

。

的本征函数

是的对应本征值为

的本征函数

又:

可求出:

二.有关力学量平均值与几率分布方面

1. (1)证明 是的

态中的平均

一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在值

[解] 即

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是的本征函数。本征值

2. 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值 【解】

宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数 注意:是否归一化波函数

能量本征值

出现的几率

, 出现的几率

能量平均值 另一做法

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3 .一维谐振子在时的归一化波函数为

所描写的态中式中，式中量本征函数，求（1）

的数值；2）在

是谐振子的能

态中能量的可能

值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）

时能量的可能值相应的概率及平均值

[解](1) 化，

，

, 归一

，

（2），

，

； ；

，

，；

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（3）时，

所以：

时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。 4． 设氢原子处于状态

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 [解] 能量本征值

能量本征态

当n=2 时 ，

本征值为的

出现的几率为100％

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可能值为出现的几率分别为：。

下,试

5 .在轨道角动量和共同的本征态求下列期望值

(1). [解]： 三 测不准关系

; (2)

.

1.粒子处于状态

的平均值,并计算测不准关系[解]先归一化 (1) 动量平均值 (2) (3)

附: 常用积分式：

式中为常数,求粒子的动量

（1）

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（2）

（3）

第四章 例题 1．力学量的矩阵表示 由坐标算符的归一化本征矢试分别：1）. 求和在态物理意义

【解】（1）. 设态矢

及动量算符构造成算符和

下的期望值；2）. 给出和的

已归一化

（粒子位置几率密度）

（2） （利用 又：

化到坐标表象） ,

上式

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2.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符

（1）. 是厄密算符，（2）. 有

，（3）.

的本征值为0和1

【证】（1）. 厄密算符的定义

(2)

为厄密算符 已归一化

（3）. 由的本征值方程

,

又：即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）

3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）

【解】 所描述的状态，基态波函数

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（1）. 在x表象： （2）. 动量表象：（3）. 能量表象

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的. 4.取和的共同表象，在,,

角动量空间中写出

的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法 ）

【解】 ,的共同本征函数为 在

空间

,

（1）. 同样

（2） 利用:

利用正交归一条件: 同样

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（3）

利用:

矩阵:

矩阵:

5.已知体系的哈密顿量 , 试求出

（1）. 体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组.

（2）.将对角化，并给出对角化的么正变换矩阵 【解】

（1）. 久期方程 解之

,

设正交归一的本征矢

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对应于

本征矢 归一化

对应归一本征矢

同样 :

:

即为的本征函数集

（2）. 对角化后，对角元素即为能量本 转换矩阵为

6． 证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。 【证】

算符的本征矢：

则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：

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对另一表象力学量的本征矢 的本征矢

7.

为厄密算符。

① 求算符

的本征

的矩阵表

值， ②在A 表象下求算符示。

[解]：① 征函数为,

则

设的本征值为,本

又

同理算符

.

的本征值也为

② 在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值，即

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设

利用

B为厄密算符

即

又

第五

取：

章 例

题

重点：微扰论

1． 一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。i) 在小角近似下，求系统能级；ii) 求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级修正。

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解：i ) 势能： 系统的哈密顿量 在小角近似下:

ii )若不考虑小角近似 又 利用公式

,

同样

2.一维谐振子的哈密顿量为态，若在加上一个弹力作用

，假设它处于基

，使用微扰论计算

对能

量的一级修正，并与严格解比较。

解：i )

又

,

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ii) 严格解

发生了变化

3． 已知体系的能量算符为

, 其中

,为轨道的角动量算符。（1）求体系能级的精确

值。（2）视项为微扰项，求能级至二级近似值。 [解]：i) 精确解

令，并在平面上取方向：

与z轴的夹角为，则与

相互对易，它们的本征值分别为

体系能级为 ii)微扰法

的精确解为 本征函数

本征能量

按微扰论 利用了公式

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能量二级修正为 在二级近似下

4． 三维谐振子，能量算符为

，

试写出能级和能量本征函数。如这振子又受到微扰

，

的作用，求最低的两个能级的微扰修正。并

和精确值比较。 [解]： （1设

的能量本征函数为

代入方程

(2).基态的微绕修正 对基态 波函数

基态能级的零级 , 无简并

能量的二级修正:

唯一不等于零的矩阵元为 (3).第一激发态

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三度简并 计算

不为零的矩阵元为

久期方程 可求出能量的一级修正

(4).精确解

令

基态

第一激发态

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5．设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数， 即

试用变分法证明， 在束缚态下，动

能T及势能V的平均值满足下列关系 [证]设粒子所用的态用归一化波函数 取试态波函数为 由归一化条件 当

时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。 应在

时，取极值

（维里定理）

描写则

6. 氢原子处于基态，加上交变电场

,

每秒离几率。

[解]：解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰矩阵元

?

电离能,用微扰论一级近似计算氢原子

初态：氢原子基

态

末态: 自由状态

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为能量为, 在单位立体角的末态密度。

微扰

7．转动惯量为 I, 电偶极矩为 D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为

, 为旋转角(从x轴算起）如果电场

很强，很小，求基态能量近似值。

[解]：方法一

与一位谐振子的能量本征方程有

比较

方法二 用变分法，取归一化的试探波函数 所得结果与方法二一致。 8．设在 其中 [解]：在

表象中，的矩阵表示为

, 试用微扰论求能级二级修正 表象中，

第六

章 例

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题

1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论） 1).(3).(4).设 【证】

; (2).

; 则

，

.

;

（1）.(2).(3).(4).2．证明：【证】 设

的本征函数为

并利用此结论求本征值

则 又

, ,

3．设为常数，证明

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【证】 将

，

展开成为偶数

的幂级数，有 ； 为奇数

上式

4．求自旋角动量在任意方向（方位角为及本征矢（在表象）， 【解】 在表象中

）的投影的本征值

，

，

在表象中的矩阵表示为

设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为

＝

解久期方程

，

将

代入本征方程

由归一化条件

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对应的本征矢为

同样：对应的本征矢为

通过本题讨论我们发现，的本征值为方向上的分量的本征值也是动量算符，如有也为

。

，自旋算符在任意

。也进一步推广，对任一种角

，

的本征值为的本征值的可能值

的本征值为

则在任意方向上的分量

5． 有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正方向，磁作用势为向上，即

求

时的平均值。

，设

时电子的自旋

[解] 设自旋函数 为

体

系

在表象中 的

哈

密

顿

算

符

可

表示

则自旋态所满足的薛定谔方程为 同理 又

，

自旋

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再由 即

6．在自旋态【解】同理

中，求

7．已知电子的态函数为 其中

已归一化

，

，为的几率。

求（1）.同时测量为

（2）.电子自旋向上的几率。 （3）.和

平均值。

[解]首先验证态函数是否归一化[erfwfff1] ①同时测量为

, 为的几率

②电子自旋向上的几率：

③

8．考虑由两个相同粒子组成得体系。设可能的单粒子态为

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，试求体系的可能态数目。分三种情况讨论（1）。粒子为玻色子;（2）粒子为费米子;（3）粒子为经典粒子. [解]①玻色子构成的系统，系统态函数必须是对称的 a. 如两个粒子处于同一单粒子态: b.如两个粒子处于不同一单粒子态共三种,因而，对玻色子可能态数为六种，

①费米子构成的系统，系统态函数必须是反对称的

全同费米子不能处于同一态上（泡利原理）.反对称波函数的形式只能是 共三种.

②对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求

的有三种， 9． 试写出自旋态波函数。

的有六种的共九种。

的两个自由电子所构成的全同体系的状

都可以）

共三种

对称的波函数为

[解]自旋的两电子构成的是费米子体系 ， 体系状态的波函数是反对称的

每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波 它们所构成的对称波函数形式为 它们所构成的反对称波函数形式为

二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：

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总的波函数：

10． 证明： [证]①

组成正交归一系。

②

③

11． 两个自旋为设它们的质量很大，动能可以忽略， 数。

的粒子有磁相互作用，

求此系统的所有能量本征值和本征函

[解]

对两个自旋为数

的系统，总自旋量子

对

本征值为

的本征函数为

能量本征值 对

时间：2021.01.01

的本征函数

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