中考 最值问题复习题(带答案)

1. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，点E为边AB上一点，AE=1，平面内动点P满足

1S△PAB=S矩形ABCD，则DPEP的最大值为_____________.

3

2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为 ．

类型二：点到直线距离垂线段最短

3.在平面直角坐标系中，原点O到直线ykx2k4的最大距离为____________. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）

A．2

B．2.2

C．2.4

D．2.5

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）

A．

B．1

C．

D．

6. 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为 ．

7. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（ ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN的最小值是 ．

9. 如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为 ．

类型三、平行线间的距离为最值

10.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为 ．

11. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是 ．

类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值

12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，则线段AB长度的最小值为___________.

13. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．

14. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动

点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ．

类型五、构造圆球最值（圆外一点与圆上点的连线的距离最值问题）

15. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．

16. 在平面直角坐标系xOy中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m）、D（n，0），且m2+n2＝4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为 ．

17. 如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是 ．

18.如图，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点O，连接CO.已知AC=4，则CO的最小值为___________.

类型六、面积、周长最值问题

19. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）

A．2

B．4

C．4

D．8

20. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝135°，AB＝4，点P是菱形ABCD内或边上的一

点，且∠DAP+∠CBP＝90°，连接DP，CP，则△DCP面积的最小值为 ．

21. 如图，sin∠C＝，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC＝5，则△BDE周长的最小值为 ．

类型七、函数最值问题

22.已知y(x3)9(x1)4，则y的最大值为_____________.

23.已知6a2b133c，且b≥0，c≤9,则a3bc的最大值为___________. 24.如图，AB为半圆的直径，点O为圆心，AB=8，若P为AB反向延长线上的一个动点（不与点A重合），过点P作半圆的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，则AC+BD的最大值为_______________.

22

25. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x﹣y）的最大值是 ．

26. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为 ．

27. 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为 （结果留根号）．

类型八、胡不归与阿氏圆问题

28. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值_________.

29. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是 ．

30.如图，点C的坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），圆C的半径为10，点B在圆C上运动，则OB5AB的最小值为_______________. 5

31.如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0），B（0，22），点C是线段OB上的动点，则

3ACBC的最小值为_________,此时点C的坐标为_______________.

【参考答案】 1.【解答】

DPEP≤DE1=2 2. 【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD， ∴AB•h＝AB•AD， ∴h＝AD＝2，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4， ∴BE＝

＝

．

＝

，

即PA+PB的最小值为故答案为：

．

kx2）4过定点（2,4）,OH≤OA，当OA垂直于该3.【解答】直线ykx2k4=y（直线时，距离最大，为25.

4. 【解答】解：连接AP， ∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP，

要使EF最小，只要AP最小即可， 过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，

在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5， 由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP， ∴AP＝2.4， 即EF＝2.4， 故选：C．

5. 【解答】解：如图所示：当PE∥AB．

由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°． ∵PE∥AB， ∴∠PDB＝90°．

由垂线段最短可知此时FD有最小值．

又∵FP为定值， ∴PD有最小值．

又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF， ∴△AFD∽△ABC． ∴

，即

＝

，解得：DF＝3.2．

∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2． 故选：D．

6. 【解答】解：作点D关于x轴对称点D′，过点D′作DC⊥AB于点C，与OA交于点P，则此时PC+PD值最小． 当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴OB＝4；

当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣4， ∴OA＝4．

∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠OBA＝45°． ∵D′C⊥AB，

∴△BCD′为等腰直角三角形， ∴∠BD′C＝45°．

在△OPD′中，∠POD′＝90°，∠OD′P＝45°， ∴∠OPD′＝45°， ∴OP＝OD′＝OD． 又∵点D为线段OB的中点， ∴OD＝2， ∴OP＝2，

∴点P的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）．

7. 【解答】解：如图，连结CE，

∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE， ∴AE＝CE，

设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a， ∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，

∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a， ∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a， ∴∠ECF＝∠EFC， ∴CE＝EF， ∴AE＝EF，

∵AB＝4，∠ABE＝30°， ∴在Rt△ABO中，AO＝2， ∵OA≤AE≤AB， ∴2≤AE≤4，

∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4． 故选：C．

8. 【解答】解：取MN的中点D连接PD， ∵∠MPN＝90°， ∴MN＝2PD，

∴当PD⊥MN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，

∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°， ∴△APD∽△ABC， ∴∴PD＝

，即，

． ．

，

∴MN＝2PD＝2故答案为：2

9. 【解答】解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP， ∵△AMP和△NPB都是等边三角形， ∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．

∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点， 若半径OP最短，则OP⊥AB． 又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6， ∴OA＝OB， ∴AP＝BP＝3，

∴在直角△AOP中，OP＝AP•tan∠OAP＝3×tan30°＝故答案为：

．

，

10. 【解答】解：连接AC，过点A作AE⊥BC于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，

当PM⊥AB，PN⊥AD时，

PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为AE，

•AB•PM+•AD•PN＝AD•AE， PM+PN＝AE，

∵菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4， ∴△ABC是等边三角形， ∴BE＝EC＝2， ∴AE＝故答案为：2

．

＝2

．

11. 【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN的最小值（垂线段最短）．

∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高＝∴PM+MN的最小值为2故答案为2

．

，

×4＝2

，

12. 【解答】线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C，

则AB＝2OC；

当OC＝OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB＝4；

13. 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE． 在直角△ABC中，AB＝

＝

＝10，

∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE＝AB＝5．

∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME＝AD＝2．

∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7． ∴最大值为7， 故答案为：7．

14. 【解答】解：连结AE，如图1， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝∴AB＝AC＝4， ∵AD为直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＝90°，

∴点E在以AB为直径的⊙O上， ∵⊙O的半径为2，

∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2， 在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，

，

∴OC＝

∴CE＝OC﹣OE＝2

＝2，

﹣2，

﹣2．

即线段CE长度的最小值为2故答案为2

﹣2．

15. 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC＝

＝5，

∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2．

16. 【解答】解：由题意CD＝∵E为CD中点， ∴OE＝CD＝1，

∴点E在O为圆心，1为半径的圆上，作点A关于直线y＝2的对称点A′，连接OA′交直线y＝2于B，交⊙O于E．此时BA+BE＝BA′+BE的值最小． 在Rt△OAA′中，OA′＝∴EA′＝5﹣1＝4， ∴BA+BE的最小值为4， 故答案为：4．

＝5，

＝2，

17. 【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，

∵△ABC的重心为G，

∴F为BC的中点， ∴OF⊥BC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOF＝60°， ∴∠OBF＝30°， ∴OF＝OB＝1， ∵△ABC的重心为G， ∴AG＝AF，

在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE， ∵

＝

＝，∠FAO＝∠GAE，

∴△AGE∽△AFO， ∴

＝，

∴GE＝．

∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∴E（，0）， ∴DE＝

∴DG的最小值是故答案为：

＝

， ﹣， ﹣．

18. 【解答】连接OE、OD、OA，∠DAE+∠DOE=180°，所以A、E、O、D四点共圆，所以∠EAO=∠ODE=30°，所以点O在一条直线上运动，过点C向这条直线作垂线CH,所以CO的最小值为CH，最小值为2.

19. 【解答】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、

DA、DB、EA、EB，如图， ∵∠AMB＝45°，

∴∠AOB＝2∠AMB＝90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴AB＝

OA＝2

，

∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，

∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，

即M点运动到D点，N点运动到E点， 此时四边形MANB面积的最大值＝SAB（CD+CE）＝AB•DE＝×2故选：C．

四边形

DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝

×4＝4．

20. 【解答】解：在菱形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠DAP+∠CBP＝90°， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∴AP⊥PB，

∴当△DCP面积的最小时，P到CD的距离最小，即P到AB的距离最大， ∴当Rt△ABP是等腰直角三角形时，即P到AB的距离最大， ∵∠CBA＝45°，

∴点P在BC边上，且AP⊥BC， 过C作CF⊥AB于F，PE⊥AB于E， ∴CF＝

BC＝4，PE＝AB＝2

，

，

∴P到CD的距离＝4﹣2

∴△DCP面积的最小值为：故答案为：8

﹣8．

4×（4﹣2）＝8﹣8，

21. 【解答】解：如图作BK∥CF，使得BK＝DE＝2，作K关于直线CF的对称点G，连接BG交CF于D′，此时△BD′E′的周长最小． 在Rt△BGK中，易知BK＝2，GK＝6， ∴BG＝

＝2

，

∴△BDE周长的最小值为BE′+D′E′+BD′＝KD′+D′E′+BD′＝D′E′+BD′+GD′＝D′E′+BG＝2+2

．

故答案为：2+2

．

22. 【解答】设点C（x,0），A（3,3），B（1,2）

y(x3)9(x1)4(x3)(03)(x1)(02)222222表示

AC-BC的值，且AC-BC≤AB，当A,BC三点共线时，AC-BC取最大值AB，即5.

23. 【解答】6a2b133c，且b≥0，c≤9,得c2a≤9,b3a13≥0，解得 2139391513≤a≤，所以a3bc6a的 取值范围是-≤a3bc≤. 6222224. 【解答】连接BC，易证△ABC∽△CBD，可得BCABBD，设AC=x，在△

2x264x2x8，所以ABC中，BC=64x，所以BD，所以ACBD8822当x4时，取最大值4.

25【解答】解：如图，作直径AC，连接CP，

∴∠CPA＝90°， ∵AB是切线， ∴CA⊥AB， ∵PB⊥l， ∴AC∥PB， ∴∠CAP＝∠APB， ∴△APC∽△PBA， ∴

，

∵PA＝x，PB＝y，半径为4， ∴＝， ∴y＝x2，

∴x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2， 当x＝4时，x﹣y有最大值是2， 故答案为：2．

26. 【解答】过点H作BH⊥MC，易证△BHC∽△CNM，设CM=x，MN=y，由△BHC∽△CNM可得

BCCH, 代入可得y＝x2，所以 MCMNCM-MN= x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2.

27. 【解答】解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°， ∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，

∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°， ∴∠MPN＝60°+30°＝90°，

设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝∴MN＝

＝

，

（4﹣a）， ＝

，

∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2故答案为2

．

28. 【解答】如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F． 可证得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°， ∴∠OEF＝60°， ∴OF＝OA＝3，

∴点P在直线EF上运动， 当OP⊥EF时，OP最小， ∴OP＝OF＝ 则OP的最小值为．

229. 【解答】考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造AD，条件已经足够明显．

3当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在DM2DA． 3CCMDABAMDB

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，则AD+BD=DM+BD≥BM=410. 2BC)，易证得 30. 【解答】连接AC，在AC取一点M使得CM=2(CMr÷△CBM∽CAB，得55AB=BMOB≥OM，当O、B、M三AB=BM，所以OB55点共线时取最小值，由于点M坐标为（3,4），OM=5，所以最小值为5.

31. 【解答】3ACBC=3（AC111故tan=，取点D（1,0），BC),构造sin=，

3322连接BD，作CH⊥BD，故

11BC=CH，所以3ACBC=3（ACBC)ACCH≥3342，3AH，当AH垂直于BD时，取最小值，由等积法可求得垂直时，AH的最小值为

所以3ACBC的最小值为42，由相似可得此时点C的坐标为(0,2). 4