机械振动教学设计要点

【教学结构】 一、机械振动

物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。

产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。

二、简谐振动

1.定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－kx，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。

2.简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。

3.简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。

三、描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。

1.振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。

2.周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。

四、单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线

的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆

做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力 图1 F

是重力在圆弧切线方向的分力。如图1所示，单摆的周期公 式是T=2L/g。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期

与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。

1

五、振动图象。

简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观 地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。 如图2所示，要把质点的振动过程和振动图象联系起来， 从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、 加速度，回复力等的变化情况。

图2 六、阻尼振动、受迫振动、共振。

简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。

振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动，那么它做受迫振动，受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。

物体做受迫振动的振幅与策动力的周期（频率）和物体的固有周期（频率）有关，二者相差越小，物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。

【解题点要】

例1.物体做简谐振动，下列情况可能出现的是（ ） A. 在某一时刻，它的速度和回复力的方向相同， 与位移方向相反

B. 在某一时刻，它的动量，位移和加速度的方向

都相同

C. 在某一时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大

图3

D. 在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小

分析解答：弹簧振子和单摆是两个典型的简谐振动，可画出一个弹簧振子帮助分析。如图3所示，分析振动的一个周期，O为平衡位置，振子由A—O—B—O—A之间往复运动。在AO和BO阶段中，振子的速度方向跟回复力的方向相同，跟位移方向相反，A选项正确；振子的速度方向由回复力方向决定，它跟位移的方向总是相反的，B选项错；振子在振动过程中回复力大小与位移大小成正比，回复力增大时振动位移也增大，系统的势能增大，动能减小，它的回复力加速度也减小，如AO和BO阶段，选项D正确。

点评：简谐振动的特点在于它是一种周期性的机械运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能势能都随时间周期性变化。应该明白振子在一个周期内不同阶段各物理量的变化规律。这是要特别注意振动位移是以平衡位置为坐标原点的。

例2. 弹簧振子在AB间作简谐振动，O为平衡位置，AB间距离是20厘米，A到B运动时间是2秒，如图3所示，则（ ）

A. 从OBO振子做了一次全振动 B. 振动周期为2S，振幅是10cm

2

C. 从B开始经过6S，振子通过的路程是60cm D. 从O开始经过3S，振子处在平衡位置

分析解答：振子从OBO只完成半个全振动，A选项错误；从AB振子也只是半个全振动，半个全振动是2S，所以振动周期是4S。振幅是振动物体

1离开平衡位置的最大距离，振幅A=10cm。选项B错误；t=6S=1T，所以振子

2经过的路程为4A＋2A=6A=60cm，选项C正确；从0开始经过3S，振子处在极限位置A或B。D选项错误。

点评：在描述振动的物理量中要明确振幅，位移和路程的关系和区别。振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量；位移是物体相对平衡位置的位置变化，是矢量；路程是振动物体运动轨迹的长度，是标量，振幅在数值上等于最大位移的绝对值，振动物体在一个全振动内通过 的路程为振幅的四倍。

例3. 如图4所示，用两根长度都为L的 绳线悬挂一个小球A，绳与水平方向的 夹角为α，使球A垂直于纸面作摆角小于

5°的摆动，当它经过平衡位置的瞬间，

图4

另一小球B从A球的正上方自由下落，并

能击中A球，则B球下落的高度是 。

分析解答：球A垂直于纸面作摆角小于5°的摆动，球A的运动是简谐振动，摆长为Lsinα，周期为T=Lsin/g。球B做自由落体运动，下落时间为t，下

1落高度h=gt2。当球A经过平衡位置的瞬间，B球开始下落，B球若能击中A

2球，B球下落时间应为A球做简谐振动半周期的整数倍，即t=nT/2。则

122Lsin2hn解出B球距A球的高度h=nLsinα(n=1、2、3…) 2gg点评：振动的周期性表现在它振动的状态每隔一个周期的时间重复出现，因

此在讨论某一状态出现的时间时，要注意它的多值性，并会用数学方法表示。如本题中单摆小球从平衡位置出发再回到平衡位置的时间是半周期整数倍的一系列值。

例4. 若单摆的摆长不变，摆角小于5°，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆的振动（ ）

A. 频率不变，振幅不变 B. 频率不变，振幅改变

C. 频率改变，振幅改变 D. 频率改变，振幅不变

分析解答：单摆的周期T=2L/g，与摆球质量和 振幅

无关，只与摆长L和重力加速度g有关。当摆长L和重力加速 度g不变时，T不变，频率f也不变。选项C、D错误。单摆

图5

振动过程中机械能守恒。如图5所示，摆球在极限位置A的重

3

1mυ 2，υ2=2gL(1cos)，当υ减小为υ/2时，cos增大，α减小，振幅A减小，选项B正确。

点评：单摆的周期只与摆长和当地重力加速度有关，而与摆球质量和振动幅无关，摆角小于5°的单摆是简谐振动，机械能守恒。

例5. 一弹簧振子做简谐振动，周期为T，则 （ ）

A. 若t时刻和(t＋t)时刻振子运动位移的

大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍 B. 若t时刻和(t＋t)时刻振子运动位移的大小相等、

图6

方向相反，则t一定等于T/2的整数倍。

C. 若t=T，则在t时刻和(t＋t)时刻振子运动的加速度一定相等 D. 若t=T/2，则在t时刻(t＋t)时刻弹簧的长度一定相等。 分析解答：画出弹簧振子做简谐振动的图象如图6所示，用图象分析较直观，方便。图中A点与B、E、F、I等点的位移相等，方向相同。A点与E、I等点对应的时刻差为T或T的整数倍；A与B、F等点对应时刻差不为T或T的整数倍，选项A不正确。A点与C、D、G、H等点的振动位移大小相等，方向相反，由图可知，A点与C、G等点对应的时刻差为半周期或半周期的奇数倍；A点与D、H等点对应的时刻差不为半周期或半周期的奇数倍，选项B不正确。如果t时刻和(t＋t)相差为T，如图中A、E；E、I，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一定相等，选项C正确。如果t时刻和(t＋t)时刻相差半个周期，如图中A、C；C、E等，则这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，弹簧的形变量大小相同，但一个压缩一个伸长，两弹簧的长度显然不相同，选项D也不正确。

点评：简点做简谐振动的情况要和振动图象结合起来，利用简谐振动的图象分析认识简谐振动的周期性变化更直观、方便。

例6. 如图7所示，A、B、C、D为四个悬挂在水平细线上的单摆，A的质量为2m，摆长为L；B的质量为m，摆长为2L；C的质量为m，摆长为L，D的质量为m，摆长为3L/2，当A振动起来后，通过水平绳迫使B、C、D振动，则下列说法中正确的是（ ）

A. A、B、C、D四个单摆的振动周期相同 B. 只有A、C两个单摆的振动周期相同 C. C的振幅比D的大，D的摆幅比B的大

图7

D. A、B、C、D四个单摆的振幅相同 分析解答：这是一个典型的受迫振动的问题，单摆A以T=2L/g的周期

力势能等于摆球运动到平衡位置的动能，即mgL(1－cosθ)=

振动时，通过悬线以相同的周期对B、C、D提供策动力，使B、C、D发生受迫振动，受迫振动稳定后其周期等于策动力周期，而与受迫振动的物体固有周期无关。所以B、C、D都与A振动的周期相同。选项A正确，B错误；由于C的摆长与A摆长相同，C的固有周期与策动力周期相同，发生共振，振幅最大；由于D的摆长为L/2，B的摆长是2L，所以D的固有周期比B的固有周期更接近策动力周期，故D的振动振幅比B的振动振动幅大。选项C正确，选项D错误。

点评：受迫振动特点是，待振动稳定后，其振动周期和频率等于策动力的周

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期和频率而与振动物体的固有周期和频率无关；当策动力的周期或频率与受迫振动物体的固有周期或频率相差越小，振幅越大，当策动力周期和频率恰好与受迫振动物体的固有周期或频率相等时，受迫振动的振幅最大，叫共振。

【课余思考】

1. 简谐振动的回复力有什么特点。

2. 单摆的回复力是绳的拉力T和重力G的合力吗？单摆在平衡位置时合力为零吗？

3. 从简谐振动图象中直接能得到什么物理量，间接得到什么物理量。

【同步练习】

1. 如图8所示。一弹簧振子做简谐振动，设向右方向为正，O为平衡位置，则（ ）

A. AO时位移为负值，速度为正值 B. OB时位移为正值，加速度为负值 C. BO时位移为负值，速度为负值

图8 D. OA时位移为负值，加速度为正值

2. 下列关于简谐振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是（ ） A. 振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处 B. 周期和频率的乘积为一个常数，

C. 振幅增大，周期也必然增大，而频率减小

D. 做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关

3. 一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的实际时间是（ ）

11A. 小时 B. 小时 C. 2小时 D. 4小时

424. 如图9所示是质点做简谐振动的图象，以下说法正确的是（ ） A. t1、t2时刻的速度上同

B. 从t1到t2这段时间内，速度与加速度 方向同向

C. 从t2到t3这段时间内，速度变大， 图9 加速度变小

D. t1、t3时刻的加速度相同

5. A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为3f的策动力作用下作受迫振动，则（ ）

A. A的振幅较大，频率为f B. B的振幅较大，频率为3f C. A的振幅较大，频率为3f D. B的振幅较大，频率为4f

【参考答案】

1. A、B、D 2. B、D 3. C 4. C、D 5. B

【单元点评】

机械振动是一种机械运动，简谐振动是最简单、最基本的振动，简谐振动的最大特点在于它是一种周期性运动，从公式或图象研究简谐振动时，要着重理解

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其周期性，和运动状态的重复性。

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