多面体截面的画法

多面体截面的画法

在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错.

用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F面体的截面的边数，最多不会超过F，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边形、四边形或三角形，决不可能是七边形.

画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法.

一、直接法

由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1

例1.求作过立方体棱上三个已知点A、B、C（图1）的截面. 画法：连接AB、BC、CA便得所求截面ABC.

从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三个已知点A、B和C的位置如图2所示，这时AC就不是截交线.因为面EF∥面GH，所以只要过C作CD∥BA交EI于D，连AD，便得所求截面ABCD.

二、三面共点法

利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点法.

例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A、B和C（图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM、面LM交于一点，然后采用截平面与面SMN、面LM交于一点作出截面.具体画法如下：

（1）作直线AB，交MK的延长线于F，连接FC交LK于E，交MN的延长线于Q. （2）连接QB，交SN于D，又连接CD、AE便得所求截面ABDCE.

图3 图4

例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A、B和C（图4）的截面.

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画法：（1）作直线AB与MM1和MN的延长线分别交于点M2和P. （2）作直线PC交棱LK于D，交MK的延长线于Q. （3）连接QM2与棱KK1和K1M1分别交于点E和F.

（4）连结BC、DE和FA，则ABCDEF为所求作的截面.

5 图6

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