高中物理竞赛复赛选拔考试(最新整理)

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第一题（40分）

一物体质量为m=1.0kg，置于水平面上，物体与水平面间的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为0.4，如图所示，在原点有一完全弹性的墙，且物体始终受到F=－20x(N)的水平力，x的单位为米（m）。现将物体于x0=1.1m处静止释放，（g取10m/s2）求：

（1）物体从静止释放到停止运动，共用了多少时间？（2）物体最后停在什么位置？（3）物体克服摩擦力做了多少功？

第二题（40分）

如图所示，1根长为2L的细绳，两端各系1个质量为m的小滑环，滑环套在固定的水平杆上，细绳的中点挂1个质量为M=2m的重物。不计细绳质量和一切摩擦，从细线与滑杆平行位置由静止释放到水平杆与绳夹角为的位置时：

（1）两滑环与重物的速度为多大？

（2）连接滑环与重物的细绳中的张力为多大？

第三题（40分）

右图为一无限多立方“格子”的电阻丝网络电路，每两节点之间电阻丝的电阻均为R，其中A、B两节点位于网络中部。左图电路中的电源电动势（内阻为0）均为，电阻均为r。若其中的a、b两节点分别与左图所示的电路中的A、B两节点相连结，试求流入电阻丝无限网络的电流。

第四题（40分）

1、已知接地金属导体球附近存在1个点电荷时，该系统在球外空间产生的电场可以等效地看成是由原来的点电荷与另1个位于球内适当位置具有适当电量的点电荷q共同产生。设接地导体球半径为R，球外点电荷q距球心距离为d，如左图所示，试确定另一电荷q′的位置和电量？

2、1个由绝缘细线做成的刚性圆形轨道，如右图所示，半径为R，置于水平面上，圆心在O点。1个小球P穿在此轨道上，并可沿轨道无摩擦地滑动，小球带电量为Q。已知在轨道平面内A点（OA=r第五题（40分）

如图所示，为一个英国作家提出的一个登天缆绳的设想：用一根足够长的缆绳，竖在赤道上空，这根绳不会飞离地球，因此可以通过这根缆绳向地球卫星运送物品，甚至沿绳爬到太空去游览。科学家认为这个设想是合理的，但这种缆绳的抗拉力长度（即这样长度的绳子将被自身重力所拉断）极大。

（1）根据力学原理，给出这根缆绳上任一位置r处绳的张力，并确定张力最大的位置。

（2）取地球半径R=6400km，地球同步卫星轨道半径r0=6.6R，估算这种缆绳的抗拉力长度L。

（3）估算这条登天缆绳的长度L0。

第六题（40分）

如图所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器，将其开口向上竖直放置。在气温为27℃、气压为760mmHg、相对湿度为75%时，用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。已知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg，在0℃时为4.5mmHg。

（1）若保持温度不变，想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现，那么容器至少为多长？

（2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低容器温度，当温度降至0℃时，容器内气体压强为多大？

水银活塞第七题（40分）

众所周知，在沙漠中能观察到蜃楼现象，假设在近大地的空气层中，光速按c(z)=c0(1-az)规律变化，式中c0为光沿地面的速度，z为离地高度。试问：观察者观察到蜃楼现象时，估计真实景物离他多远？设观察者身高为h。

i3i2i1 图33-41

n4n3n2n1第八题（40分）

如图所示，光滑水平面上有一个半径为R的固定圆柱，长为2L的匀质细杆AB开始时绕杆中心C旋转，C点靠在圆柱上，且无初速度。假定而后细杆可无相对滑动的绕圆柱外侧运动，直到细杆的B端与圆柱外侧接触后彼此分离，已知细杆和圆柱的摩擦因数μ处处相同，试求μ的取值范围。

第一题（40分）

本题中，物体受耗散力的作用，做减幅振动。

物体在水平方向仅受弹性力F20x和摩擦力、合力为：

F合20xmg物体向左运动时，第二项取正号，向右运动取负号，设弹性力与滑动摩擦力平衡时的位置为a.

20amg0a0.2m显然，物体速度为零时的位置在0x0.2m区间时，静摩擦力能与弹性力平衡，物体将静止。

1、开始时，物体从x0向左运动，受力为：

F合20xmg20(xa)由此可知，物体从x00是作平衡点为x=a的简谐振动的一部分，振幅和周期分别为：

A1x0a0.9m

T2m/k1.4s从x00运动时间为t1，如图所示，物体在x=0处反弹，速度大小不变，方向相反。

2、物体向右运动受力为：

F合20mg20(xa)所以物体向右运动可看成是平衡点为x=－a的简谐振动的一部分，周期不变：

T2xm/k1.4s3、由于在x=0，振动的总能量对于平衡点为a和－a的振动是相等的，所以两振动的振幅一样，即物体从x=0向右运动到x1A1ax02a0.7m处再向左运动，时间为t2（如图）。显然，t1t2T/2

①

同理，物体从x1=0.7m处向左运动（振幅A2x1a0.5m）经碰撞后向右运动至x2x12a0.3m.时间仍为半个周期

②

从x2=0.3m再向左运动，其振幅为A3x2a0.1m，以xa0.2m为平衡点，所以运动至x=0.1m处物体停止，这一段时间也是半个周期。③

所以物体运动的时间为： ④

物体克服摩擦力做功为：

t3(T/2)2.1(s)2A(kx20)/2(kx)/212(J)⑤

评分标准：结果①、8分；②、4分；③、4分；④、4分；⑤、5分。

第二题（40分）如图所示时，设小环与重物的速率分别为v1和v2；加速度大小分别为a1和a2，则

1．由机械能守恒，可得

112MgLsin2mv12Mv222而

①②

v1cosv2sin联立①、②可得（考虑到M=2m）

v12gLsin3v22gLsincos22．由牛顿第二定律：对小环：Tcosma1对重物：Mg2TsinMa③④

小环相对重物与绳的结点作圆周运动，以该结点（即重物）为参照物，则有

vsinv1（v为m相对M的速度）

a1cosa2sinv2/L⑤

⑥

T3mgsin并考虑到M=2m，联立各式得

第三题（40分）

本题可用戴维宁定理求解，图4电路可视为有源二端网络；图3电路可视为无源二端网络。

1、先计算无源二端网络的等效电阻

由对称性可将中间的两根竖直电阻线去掉，简化后的电路如图7（a）所示。电路进一步化简为图（b）、（c）、（d）。（c）由（b）上下对折得到，下面先讨论图（d）所示无限网络，设其电阻为R′。根据无限性，在该网络前再加一级，其电阻仍为R′，即：

可解得：

(R/2)(R/2)RR/(RR)R①②

1(13R)2因此，由图（c）可得A、B间的等效电阻为：

R

RABRR/(RR)3R3③

2、再计算有源二端网络等效电压源的电动势

对图4电路，应用回路电流法或支路电流法，可计算出流经arb支路的电流为

因此：

rUab/3Iarb4/3r④

⑤

3、然后计算有源二端网络等效电压源的内阻r为：

rr/3⑥

4、流入电阻丝无限网络的电流IaA为：

IaAr/(RABr)/(3Rr)⑦

评分标准：①4分；②2分；③、④、⑤、⑥均为4分；⑦3分。第四题（40分）

1.q'是q的球面镜像电荷。如图所示，可以肯定镜像电荷q'一定在对称轴上，设其电量为q'，距球心O的间距为r，则考察对称轴与球面的两交点B、B'的电势，可得

qq'KdRRrqq'U'BKKdRRrUBK而球接触，UBU'0①②③

联立①、②、③得

Rq'qdR2rd2．要使带电小球d能在圆周上做匀速圆周运动，必须使轨道上各点的电势相等。然而由两点电荷（A与A'处的）在空间产生的电场中等势面若是1个球面，则该等势面的电势一定为零。由此可知A与A'互为镜像电荷。

RR2由1的结论易得：qq',rr'r'R2r'R（其中r'OA'），解出：r',q'qqdRr第五题（40分）

解析：设定地球自转角速度为，地球质量为M，绕地球运动轨道高度为r，同步轨道高度为r0，缆绳线密度为，长L。如图所示，取缆绳上距地心r的某微元rLrR,n，其质量mr. 绳元之所以在该高度相对nn地球静止，是因其受力——上、下端绳的张力差Ti与地心引力满足下列关系

GMmTimr2.2r1r2TirGMr2GM2 ①

R2由于3g,而GMR2g，则①式为

r0

1rTirR2gr2r301(Rir)=rR2g3(Rir)2 r0 ②

由②式可知，rr0时，Ti0，绳元上端张力大于下端张力，说明在同步轨道高度以下，缆绳上张力随r增大而增大；rr0时，Ti0，说明在同步轨道高度以上，缆绳上张力随r增大而减小；可见当rr0,Ti0，即处于同步轨道高度处绳的张力最大。下面用数学方法求出此最大值：

n1(Rir)TlimrR2g23ni1r0(Rir)

r(Rir)Rglimr3r0ni1(R(i1)r)(Rir)2n

11111=R2glimRRrRrR2rR2rn

1Rr2r33(123n)Rnrr0r011LRL2=RgRRLr32r3002

11rRR2(rR)2=RgRrr32r3002

1R21r2=RgR2r3r2r300211r211r2上式中括号内减数项为3，注意3项积3为定值，则

2r2r2r02r2r2r0当rr0时，减数项有最小值，张力有最大值Tmax，Tmax1R23r20gR32r0R2长

在同步轨道处缆绳张力最大，抗拉力长度指重力与最大张力相当的缆绳之

，以题给数据估算：

21640023(6.66400)2dgg6400L4957km.32(6.66400)6400最后，缆绳总长只须求T=0处的r：

可得总长L015104km.第六题（40分）

分析：当活塞上加入水银时，密闭管内的空气和水蒸气的压强均增大，当水蒸气的压强达到饱和气压后，管内开始有水珠出现。

1R21r2R2r3r2r30003Rr(Rr)2r011426.63rR2解：（1）灌水银前空气柱中水蒸气的压强为

p汽3p饱4

设容器长为l0，空气柱长度减小到l时，水蒸气达饱和状态，根据玻意耳定律有

l3l04，

p汽l0p饱l，

即

此时活塞上下方压强分别为

1p上760l0mmHg,4

因

p下4p0.3p上p下有 即

14760l0760,43l01013mm.（2）水珠体积可以忽略，开始时，容器内干燥空气压强应为

4p176026.7mmHg986.3mmHg.3

因活塞固定，气体降温过程等容，故有

p1273p1897.5mmHg.27327

容器内气体总压强为

902.1mmHgp2897.54.58pp1第七题（40分）

解：光在沙漠上空气中的传播速度随离地面高度的增加而减少，这意味着贴近地面的空气的折射角比上层空气要小，致使远处来的光线在射向地面时，不断被折射，入射角逐渐增大。当光线射到贴近地面大气层的入射角大于临界角时，就发生全反射现象。

如图33-41所示，将近大地的空气层划分为多个间距很小的层面，每个层面都与大地平行，这样可认为光速在某一层面的不同高度处相同（即可视为折射率相同）。设各层介质的折射率分别为n1、n2、n3…光速与分界面法线的夹角分别为i1、i2、i3…由折射定律可得

n1sini1n2sini2n3sini3常数。

c1n0cz1az，即 nsini常数。而

iLi图33-42

且在地面附近处cc0,i90，故

sini1az由图33-42可见，上式是一个圆方程，这说明光线在不均匀空气中是沿圆弧传播的。设圆半径为R，则

R1asiniRz11zRR故

另由几何关系得

L2RzR22并将z=h代入上式可得

L2hh2a点评：将折射率连续变化的介质分成许多个折射率不相同的层面（层面中折射率相同）是处理本题的关键。第八题（40分）