3.1 赋范线性空间和Banach空间

3.1 赋范线性空间和Banach空间

3.1.1 赋范线性空间

定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X为是实（或：复）数域F的线性空间，若对xX，存在一个实数x于之对应，且满足下列条件：

(1) x0; 且x0x0； （非负性 (non-negativity)）

(2) xx，F； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) xyxy，x,yX； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x为x的范数(norm)，称(X,简称赋范空间(normed space).

例3.1.1 空间C[a,b]是闭区间[a,b]上的连续函数全体所成的线性空间。对fC[a,b]，规定

)（或：X）为赋范线性空间(normed linear space)，

fmaxf(t), (3.1.1)

t[a,b]易证f是f的范数，则C[a,b]按上述范数成为赋范线性空间。

例3.1.2 设L[a,b]是闭区间[a,b]上的Lebesgue可积函数全体所成的线性空间。对

fL[a,b]，规定

ff(t)dt, (3.1.2)

a若将在[a,b]上满足f(t)g(t)的两个函数f,g视为同一个函数，即将在[a,b]上满足

bf(t)0的函数f视为恒等于零的函数，即f0，则在L[a,b]上，f是f的范数，从而

L[a,b]按上述范数成为赋范线性空间。

例3.1.3 在n维实向量空间Rn或n维复向量空间（称为酉空间）Cn中，对

x(x1,x2,,xn)Rn（或Cn），令

2nxxi， (3.1.3)

i112 1

或

x1xi 或 x2maxxi,

i1n1in它们都是x的范数，称(3.1.3)中的范数为Euclidean范数，Rn按范数(3.1.3)所得到的赋范线性空间称为Euclidean空间。

例3.1.4（空间C(k)[a,b]） C(k)[a,b]是闭区间[a,b]上连续，在[a,b]中处处k次连续可微的函数全体所成的线性空间。对fC(k)[a,b]，令

fmaxf(t),f(t),,f(k)(t)， (3.1.4)

t[a,b]则f是f的范数，C(k)[a,b]按上述范数成为赋范线性空间。 定义3.1.2 设(X,)是赋范线性空间，对x,yX，令

(x,y)xy， (3.1.5)

则称(x,y)为由范数

决定的度量。

注1 易验证(x,y)xy满足度量的3个条件。

注2 我们今后对每个赋范线性空间总是按照(3.1.5)引入度量，使之成为度量空间。这样我们就可以在赋范线性空间中引入极限的概念。

定理3.1.1 设(X,)是线性的度量空间（即：(X,)既是线性空间，又是度量空间），若度量是由某个范数

决定的，则满足：对x,yX，是数，有

(x,y)(xy,0)，(x,0)(x,0). (3.1.6)

反之，若满足(3.1.6)，则x(x,0)就是x的范数。

也就是说：(3.1.6)是线性的度量空间成为赋范线性空间（指范数与度量满足(3.1.5)）的充分必要条件。

证 设度量是由某个范数

决定的，即

(x,y)xy，

则对x,yX，是数，有

(x,y)xy(xy)0(xy,0);

(x,0)x0xxx0(x,0).

反之，若度量满足(3.1.6)，定义

2

x(x,0).

(1) 若x(x,0)0x0；(由度量的定义立得。) (2) x(x,0)(x,0)x. (由(3.1.6)得) (3) xy(xy,0)(x(y),0)(x,y)

(x,0)(y,0)xyx1yxy.

证毕！

注 并不是所有的度量都是由某个范数所决定的。

例如,在数列空间s{x(x1,x2,x3,)xiR1(或C1)}中，度量为

(x,y)i11xiyi， i21xiyi若令

1xi， x(x,)i21xi1i则对常数0，显然它不满足正齐（次）性条件xx.

又如离散度量空间。设X为任一非空集，对(x,y)XX， :XXR1定义如下：

0,xy, (x,y)1,xy.若令

0,x0,， x(x,0)1,x0,则对常数0,1，显然它也不满足正齐（次）性条件xx.

(x(x,0)0,x0(x,0)(x,0)x.)

1,x0由此可知：由范数所决定的度量主要是针对线性空间定义的度量，它除了满足一般度量的3个条件，还必须满足正齐（次）性，这是一般度量所不具备的。

另外，范数是向量长度的推广，因此向量x的长度x当然要满足：xx，而一般度量（距离）却没有这样的要求。 例3.1.5（空间l）

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pl{x(x1,x2,x3,)xi(i1,2,)R(或C),p11xi1pi,p1}

（即p方绝对收敛的实（或：复）数列的全体），lp按照对每个坐标xi(i1,2,)的线性运算成为线性空间。对x(x1,x2,x3,)lp，

xppxii11p

是x的范数，lp按照xp成为赋范线性空间。

例3.1.6（空间l） 设l是有界实（或：复）数列x(x1,x2,x3,)全体按通常的线性运算所成的线性空间（它是s的线性子空间）。

对于x(x1,x2,x3,)l，

xsupxi

i是x的范数，则l按照x成为赋范线性空间。

例3.1.7（空间V[a,b]） 设V[a,b]是区间[a,b]上的实（或：复）有界变差函数的全体，按照通常的线性运算，它是一个线性空间。对fV[a,b]，令

ff(a)V(f)， (3.1.8)

ab则f是f的范数，则V[a,b]按范数f成为赋范线性空间。 令

V0[a,b]{ffV[a,b],f在(a,b)中每点都是右连续的，且f(a)0},

b它是V[a,b]的线性子空间。在V0[a,b]上，范数f等于全变差V(f).

a证 V[a,b]按照通常的线性运算是线性空间，这一点是显然的。今证(3.1.8)定义的范数满足定义3.1.1的3个条件。

(1) 对fV[a,b]，显然f0;

ff(a)V(f)0f(a)0 且 V(f)0f0.

aabb(2)

ff显然；

bbbaaa (3) fgf(a)g(a)V(fg)f(a)g(a)V(f)V(g)fg;

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故由定义3.1.1知：f是f的范数，且V[a,b]按范数f成为赋范线性空间。 证毕！

3.1.2 Banach空间

定义3.1.3 设(X,)是赋范线性空间，xn(n1,2,)、xX，若当n时，

xnx0，

则称点列{xn}依范数

收敛于x ({xn} converges to x in norm)，记作

limxnx (或：xnx(n)).

n并称{xn}为收敛点列 (convergent sequence)，称x为点列{xn}的极限 (limit). 定义3.1.4 设(X,)是度量空间，{xn}是X中的点列。若

对0，存在N()0，当m,nN()时，恒有(xm,xn)，

则称{xn}是X中的基本点列，或Cauchy点列。

定理3.1.2 (1) 度量空间X中的收敛点列{xn}必是基本点列.

(2) 设{xn}是度量空间X中的基本点列，若{xn}有子点列{xn}收敛于X中的点x，则

k{xn}也收敛于x.

定义3.1.5 设(X,)是度量空间，若X中的每个基本点列都收敛，则称X是完备（度量）空间。

若A是度量空间X的子空间，若A作为度量空间是完备的，则称A是X中的完备子空间。

完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach）空间。 注1 一个不完备的度量空间可以有完备的子空间。 注2 完备度量空间X的闭子空间A必是完备的子空间；

任何度量空间X的完备的子空间A必是X的闭子集。 例3.1.8 n维Euclidean空间Rn按范数

12n2xxi，x(x1,x2,,xn)Rn，

i1是Banach空间。 例3.1.9 C[a,b]按范数

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fmaxf(x)x[a,b](fC[a,b])

是Banach空间。

证 在空间C[a,b]中，因为对{fnC[a,b]n1,2,}，

limfnf0  {fn}在[a,b]上一致收敛于f,

n所以由数学分析知：fC[a,b]. 只要证明C[a,b]中的任意基本点列{fn}是[a,b]上的一致收敛点列即可。

In fact 设{fn}是C[a,b]中的任意基本点列，即对0，存在自然数N()0，当

m,nN()时，恒有

(fn,fm)fnfmmaxfn(t)fm(t).

atb从而只要m,nN()，对任何t[a,b]，必有fn(t)fm(t).

由数列的Cauchy收敛条件知：{fn}在[a,b]上收敛于某一个函数f. 再在上式中令m，得

fn(t)f(t)

因此由t[a,b]的任意性得：

atbmaxfn(t)f(t)，

即{fn}在[a,b]上一致收敛于f. 证毕！

]例3.1.10 L[a,b按范数

f是Banach空间。 证 （自证！）

f(t)dt1abfL[a,b]

例3.1.11 若在C[a,b]中定义范数

ff(t)dt(fC[a,b])， 1ab即将C[a,b]看成L[a,b]的子空间，则C[a,b],1是不完备的空间。

In fact 因为C[a,b]按范数

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f1f(t)dt(fC[a,b])

ab在L[a,b]中稠密，又C[a,b]L[a,b]，所以C[a,b]不可能完备。 反例(Counterexample)：任取c(acb), 作函数序列{fn}：

1,fn(t)n(tc),1,证明：上述连续函数序列{fn}按范数

atc1n,1c1ntcn,

c1ntb.（自证！） 1的极限函数不是连续函数。

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