三角函数恒等变换练习题及答案详解(完整资料).doc

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两角和与差的正弦、余弦、正切

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质

2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾

1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (Sα＋β) tan α－tan βtan(α－β)＝ (Tα－β)

1＋tan αtan βtan α＋tan βtan(α＋β)＝ (Tα＋β)

1－tan αtan β2． 二倍角公式

sin 2α＝2sincos；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan αtan 2α＝2. 1－tanα3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式

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的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan α＋tan βtan α－tan βtan αtan β＝1－＝－1.

tanα＋βtanα－β4． 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝

a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变”

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练

21tan α1． 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为_______．

35tan β2． 函数

f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为

______________________．

3． (2012·江苏)设α为锐角，若

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cos＝，则

654

sin α＋cos α1

4． (2012·江西)若＝，则tan 2α等于

sin α－cos α2 ( ) 3

A．－

4

3B. 4

4C．－

3

4D. 3

π1

5． (2011·辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ等于

43 ( ) 7

A．－

9典例分析

题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简：

1B．－

9

1 C. 9

7 D. 9

α1

α

α－tan 2·1＋tan α·tan ； 2tan 

2

(2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280°.

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在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋

2

tan ＋3tan tan 的值为________．

222

题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题

π12例2 (1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α22923＋β)的值；

11

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

27

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ACAC

已知cos α＝1137，cos(α－β)＝14，且 三角变换的简单应用

0<β<α<π

2

，求β.

题型三【最新整理，下载后即可编辑】

例3 已知f(x)＝112

xxsinx－2sin·sin 44tanx(1)若tan α＝2，求f(α)的值； (2)若

已知函数f(x)＝

2x3sin2x＋2sin12(x∈R)． 6ππ



x∈，，求122

f(x)的取值范围．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．

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利用三角变换研究三角函数的性质

典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos x·sinx－1.

6(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间

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,上的最大值和最小值．

64

总结 方法与技巧 1． 巧用公式变形：

和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan xtan y)； 1＋cos 2α1－cos 2α2

倍角公式变形：降幂公式cosα＝，sinα＝；

22

2

αααα2,22

配方变形：1±sin α＝sin±cos1＋cos α＝2cos，1－cos α＝2sin. 2222

2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asin α＋bcos α＝a2＋b2

bsin(α＋φ)(其中tan φ＝)有a2＋b2≥|y|.

a3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变

角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的

和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问

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题简单化．

5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要

熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形． 失误与防范

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，

要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 22．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．

23．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．

过手训练

(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若

( )

θ∈4,2，sin 2θ＝37

，则sin θ等于 8

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3

A. 5

4B. 5

7

C. 4

3D. 4

212． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于

5444 ( ) 13

A. 18

13 B. 22

3 C. 22

1 D. 6

ππ

3． 当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋3cos x的

22 ( )

A．最大值是1，最小值是－1 1B．最大值是1，最小值是－

2C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1

二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos5． 已知

12

，则4

sin 2α＝________.

cos＝，α∈0,，则4413

cos 2α＝________. π＋αsin4

2

2sinx＋16． 设x∈0,，则函数y＝的最小值为________．

2sin 2x三、解答题

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7． (13分)(2012·广东)已知函数f(x)＝2cosx(其中

6ω>0，x∈R)的最小

正周期为10π.

(1)求ω的值； (2)设

π55616α，β∈0，，f5α＋π＝－，f5β－π＝，求236175

cos(α＋β)的值．

课后习题

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1

1． (2012·江西)若tan θ＋＝4，则sin 2θ等于

tan θ ( ) 1

A. 5

1B. 4

1C. 3

1D. 2

32． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α3等于

( )

5

B．－

9

5 C.

9

5D. 3

5

A．－

3

510

3． 已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝， 则α＋β等于

510

( )

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π

A. 4

3πB. 4

π3πD．－和－

44

1

sinα＋cos 2α＝，则tan α的值等于

4

2

π3πC.和 44

4． (2011·福建)若 ( ) 2A. 2

α∈0,，且

23

B. 3

C.2 D.3

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值为________． 6.

3tan 12°－3

＝________. 2

4cos12°－2sin 12°

337． sin α＝，cos β＝，其中α，β∈0,，则α＋β＝____________.

552三、解答题(共22分) 8． (10分)已知

1＋sin α－1－sin α1－sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的

1＋sin αα的取值集合．

9． (12分)已知

α∈，，且

26

sin ＋cos ＝.

222

αα【最新整理，下载后即可编辑】

(1)求cos α的值；

3(2)若sin(α－β)＝－，β∈，，求cos β的值．

52【最新整理，下载后即可编辑】