大学物理第一章 刚体的定轴转动

1． 计算质量为m，长度为L的均匀细棒对通过距一端为a（外侧）且与

棒垂直的轴的转动惯量。

解：

x dx o a L x mdxLmdJx2dmx2dxLdmdxmaL2m1JdJxdxx3LaL31m(L23a23aL)3或用平行轴定理：JJC(aaLam[(aL)3a3]3L

L2)m 22. 如图，一块均匀的长方形薄板，边长为a、b，取中心O为原点，坐标系OXYZ如图所示。设薄板的质量为M。求：薄板对OX轴、OY轴的转动惯量。

解：

y dy b o a dmdSady,MabdJxy2dmay2dy

y x JxdJxa212ay33同理

b2b20y2dy01Mb212z Jy

1

1Ma2 123. 质量为m1的物体置于一张水平桌面上，桌面与该物体间的滑动摩擦系数为µ。用一根不可伸长的细绳一端与m1相连，另一端与质量为m2的物体相连，细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮，如图。定滑轮质量为m，半径为r 。若忽略轴间的摩擦力，求：滑轮与m1之间的绳子张力F1；滑轮与m2之间的绳子张力F2；两物体运动的加速度a（设m2>m1足以使m1向右平移运动）。

解： 由图可得

f F1 m F1m1gm1aF2rF1rJm1 F2 m2 m2g m2gF2m2aa

ar解之，得

1m1(m2m)g2 F11m1m2m2a(m2m1)g 1m1m2m21(m1m1m)m2g2F21m1m2m24. 有一均匀圆盘，质量为m，圆盘半径为R，可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动。圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ。求圆盘转动后受到的摩擦力矩。

解：

任取一半径为r, 宽dr的圆环元，则其dr dF . r 面积为dS2rdr，其质量为

dmdS

式中 m，则2RdmdS2rdr,

dFgdm2grdr摩擦力矩为 dMrdF2gr2dr，方向垂直纸面向外向外。

MdM2gr2dr0R2mgR 方向垂直纸面向外。 35. 一均匀细棒可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为L，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由水平位置自由下摆。求：（1）棒在任意位置时的角加速度。（2）棒摆至铅垂位置时重力矩所做的功。

解：有重力矩，因此角动量不守恒，但机械能

d 守恒. L o  （1）MmgdmgL/2 Lcos 2mg 1MJ,JmL231 mgLcosM23gcos12J2LmL31mgLcosd2(2)dAMd211AdAmgLcosdmgL022

6. 如图，质量为M，长为L的均匀细杆可绕A端的水平轴自由转动，当

杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角为。求：小球击中细杆前的速度。

解:碰撞瞬间，杆尚未摆动，因此角动量守恒；杆摆动起来后，只受

重力，因此能量守恒。 (1) 碰撞前小球的角动量

o L1J11m(La)2L-a vm m . C θ C . vmv(La)La1ML23h 撞瞬间杆的角动量

L2JL1L2mv(La)mg a 1ML2 3

ML2v3m(La)(1)

能量守恒，杆在竖直位置时的转动动能等于杆在最大偏角时的势能，即

EkEp

设杆在竖直位置时质心 C 处为势能零点，则

11EkJ2ML2226 式中 hEpMgh1MgL(1cos) 2LLLcos(1cos) 22211ML22MgL(1cos) 623g(1cos)L(2)

(1)、(2)联立，解之，得

ML3gL(1cos) v3m(La)