3-RPS型并联机构运动正解的研究

第３２卷第３期　２０１４年０５月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３２　Ｎｏ．３　Ｍａｙ　２０１４　文章编号：１００８—１４０２（２０１４）Ｏ３—０４１２—０３　３一ＲＰＳ型并联机构运动正解的研究①　任文博，颜兵兵，殷宝麟，帅俊峰　（佳木斯大学机械工程学院，黑龙江佳木斯１５４００７）　摘要：　并联机构运动学正解是一个位置和姿态耦合的复杂非线性问题，一般难以求得封闭形　式的解析解．应用解析法对３一ＲＰＳ型并联机构进行运动学正解问题进行了求解，并给出正解方　程通式以及各项系数值，得到封闭形式的解析解．并给出具体数值实例进行求解，得出全部位置　解，同时给出部分机构空间图形验证了解法可靠性．　关键词：３一ＲＰＳ型并联机构；运动学正解；解析法　中图分类号：ＴＰ２４２　文献标识码：Ａ　Ｏ　引　言　并联机构（Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ，简称ＰＭ）¨　Ｊ，　可以定义为动平台和定平台通过至少两个独立的　运动链相连接，机构具有两个或两个以上自由度，　且以并联方式驱动的一种闭环机构．与串联机器人　相同的运动支链连接运动平台与基座．其中第ｉ运　动支链（ｉ＝１，２，３）与基座Ｂｉ点处通过转动副Ｒ　连接，与运动平台　点处通过球面副．ｓ　连接，Ｒ　与　Ｓ　间通过主动移动副Ｐ　连接．设定基座坐标系０　Ｙ　，其中０　位于基座形状中心，　轴、Ｙ　轴　处于基座平面内．设定基座坐标系Ｏ肘一　Ｙ　，　其中０　位于基座形状中心，　轴、Ｙ　轴处于运动　一　相比具有无累积误差、负载力大、工作空间小，并且　结构简单，动态响应好等特点　Ｊ，而被学者广泛　研究．　平台平面内．设定０　Ｂ　与　轴夹角为　且Ｒ　的　轴线与０　Ｂ　垂直，０村Ｍｉ与　Ⅳ轴夹角为　胁．．　机构的运动学分析包括两种问题，即运动学正　解和运动学反解．运动学正解（即已知输入杆长参　运动平　数求出运动平台的位置和姿态）是解决机构速度、　加速度以及其他的受力分析、工作空间分析和机构　综合等问题的基础　．４］，而运动学正解却包含非线　性方程组而十分复杂．求解正解通常采用解析法和　数值法，数值法多采用Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ法、杆长　修正法、同伦连续法等等　Ｊ，但是这种方法不一　定能得到运动学正解的全部解，而且对初值的要求　较高，解析法包括矢量代数法、几何法、矩阵法、对　偶矩阵法、螺旋代数法、四元素代数法等等－ｌ　Ｊ．　本文对３一ＲＰＳ型并联机构进行运动学正解　应用几何解析法进行了求解，得到全部的位置解，　并给出对应空间图形，验证实数解的正确性．　ｆ支链　固定　１　建立坐标系及约束方程　图１　３一ＲＰＳ型并联机构　３一ＲＰＳ型并联机构如图１所示，由三条结构　①　收稿日期：２０１４一ｏ２—２０　基金项目：Ｓｔ育部科学技术研究重点项目（２１２０４２）；黑龙江省教育厅科学技术研究项目（面上）（１２５３１６７１）；黑龙江省普通高等　学校新世纪优秀人才培养计划项目（１２５２一ＮＣＥＴ一０２１）．　作者简介：任文博（１９９１一），男，黑龙江哈尔滨人，硕士研究生，主要从事机器人、复杂系统建模仿真方面研究，通讯作者：颜兵兵　（１９７６一），黑龙江佳木斯人，副教授，工学博士．　第３期　任文博，等：３一ＲＰＳ型并联机构运动正解的研究　４１３　若基座半径为　，运动平台半径为　，设定　一２Ｒ；＋２　；ｓｉｎ　研ｓｉｎ￣ｏ傩　（７）　ｆＭｆ＝ｆｆ，　与０日Ｂｌ间夹角为０　，则Ｂ　点在Ｏ口　Ｋ　＝一２Ｒ口　ｃｏｓ　ｃｏｓ　肼一　一２　ｓｉｎｔｐＢｉｓｉｎｔｐ傩　一　），　中的坐标可表示为　＋２　ＢＺＢｊｓｉｎｑ￣Ｂｊｓｉｎｔｐ雎＋２　２　ｃｏｓ　坷ｃ０ｓ　融　Ｒ　Ｂｅ　￣ｓ￣￣ｅｉ］ｊ　＋２Ｒ　ｃｏｓ　ｃｏｓ　ｍ—ＺＲｎｌｉ＋２　；ｓｉｎ　ｓｉｎ　船　（１）　一　一２Ｒ　一２　ｃｏｓｅＣｃ０ｓ　雎＋２Ｒ日　＋　一２　口　ｓｉｎ　研ｓｉｎ　融　（８）　＝８ｔｉｔ　（９）　乏二　ｊ　＝２Ｒ　ｓｉｎ　巧ｓｉｎ　傩一２‘　ｓｉｎ￣ｊｓｉｎｔｐ　ｉ　２Ｒ口　（２）　＋２Ｒｎｓｉｎ（ｐｃｉｓｉｎｔｐ　一２ｌｌｆ￣ｃｏｓ　坷ｃｏｓ　雎　一２　日　ｃｏｓ　ｃｏｓ　一２ＲＢ　８ｉｒ　毋ｓｉｎ　船　由于几何封闭关系可知，　任意两点间距　＋２　＋２Ｒ　ｃｏｓ　巧ｃｏｓ￣ｐ戤＋２Ｒ口　ｃｏｓｔｐｑｃｏｓ　雎　离不变，其中下标（＿『，ｋ）＝（１，２），（２，３），（１，３），　一２　一ｚ　＋　一　（１ｏ）　即　＝２Ｒｓｌ￣＋２Ｒｎｌ￣一２　；一２Ｒ口　ｃｏｓ　巧ｃｏｓ　雎　（　柳一　胁）　＋（ｙ　一ｙ　）　＋（　一　）　＝　＋２Ｒ；ｓｉｎ　ｓｉｍｐ　一２Ｒ口　ｃｏｓ￣ｓｉｃ０ｓ　雎　（３）　＋２　ｓｉｎ　目ｓｉｎ（ｐ肼＋２Ｒ２　ｃ０ｓ　蟛ｃ０ｓ　雎＋　式中　为　任意两点间距离可表示为　一２Ｒ口　ｓｉｎ　ｓｉｎ（ｐ　＋２　ｃｏｓ　厨ｃＤｓ　戤　一２尺口　ｓｉｎ￣ｅｉｓｉｎ　船一　一　（１１）　＝２Ｒ　ｓ（　）　（４）　通过解方程组（６）可求得　。，　，　，的符号解，　设定　将结果代入式（５）得０　，０２和０，，进一步代入式（２）　ｔａｎ譬　可求得动平台上各球铰在固定坐标系的坐标以及　动坐标系的回转变换矩阵．　则ｃｏｓ　＝｝焉’ｓｉ的　＝　，并将其与式　２　数值实例　（２）一起代人（３）中，得到三个代数方程，即　若３一ＲＰＳ型并联机构的结构参数如下：　＝　Ｋ城　＋　＋　十　＋　＝０（６）　０．１ｍ，ＲＭ＝０．０５ｍ，Ｚ１＝０．２４ｍ，Ｚ２＝０．１８ｍ，Ｚ３＝　式（６）中的各项系数分别为　Ｏ．２ｍ，　肼＝　＝（ｉ－１）丁２　将已知量带人方程　Ｋｌ　＝２尺　ｃｏｓ　巧ｃｏｓ　雎一乎一ｌ　一２Ｒ口１　一２Ｒ口　＋ｔ嚷＋２　ｓｉｎ￣Ｂｊｓｉｎ￣ｅｋ＋２Ｒ　ｓｉｎ　茸　雠　（５），求得１６组解，其中１２组实数解，４组复数解，　＋２Ｒ口Ｚ，ｃｏｓ　琦ｃｏｓ　雎＋２Ｒ口ｌ七ｃｏｓ　ｃｏｓｑ￣ｅｋ　所得结果如表１．　＋２ＲＢ／ｊｓｉｍｐＢｊｓｉｎｔｐＢ　＋２　ｚｋｃｏｓ　Ｂｊｃｏｓ　ｍ　表１　非线性方程组的全部解　Ｎｏ．　Ｉ　２　Ｘ３　Ｎｏ．　０．５８１８９２５４　Ｏ．９４２２２５７２　０．４１１６２３４４　９　０．３９４８２８６４　０．９５８６１９２２　０．５Ｏ２７８７１　１　—０．５８１８９２０４　一Ｏ．９４２２２５７　—０．４１１６２３４９　１０　一０．９５８６１９２２　一Ｏ．５Ｏ２７８７１　１　０．３４８９Ｏ２６６　Ｏ．８６２５３８１３　Ｏ．６６ｏ７５５８０　ｌｌ　Ｏ．３７４３１９３５　Ｏ．４９８５Ｏ８９１　０．８６５６１０８０　——０．３４８９ｏ２６６　—０．８６２５３８１３　一０．６６Ｏ７５５８Ｏ　１２　—０．３７４３１９３５　０．４９８５０８９１　—０．８６５６１０８０　０．５１９４４３５１—　Ｏ．３４８５Ｏ８４９—　０．３４１　１＋　Ｏ．７５０６Ｏ９１２　０．６９３８３３７４　０．８０５３７６５５　３．２３２４９２６６０・１　０．０１３１７２２７９・Ｉ　０．０１５３９０６２４・，　一Ｏ．５ｌ９４４３５１一　—Ｏ．３４８５Ｏ８４９＋　一０．３４１９２２５１—　６　—０．７５０６０９１２　—０．６９３８３３７４　—０．８０５３７６５５　１４　Ｏ．２３２鹌Ｉ２６６０・Ｉ　０．０１３１７２２７９・１　０．０１５３９ｏ６２４＋１　Ｏ．５１９４４３５１＋　０．３４８５Ｏ８４９＋　０．３４１９２２５１７５—０．　７　０．７Ｏ４７３２２５　０．４８３４４５９６　０．８６２００９０３　１５　Ｏ．２３２４９２６６Ｏ・Ｉ　０．０１３１７２２７９・１　１５３９Ｏ６２４３５ｅ一１・Ｉ　４１４　佳木斯大学学报（自然科学版）　２０１４年　一０．５１９４４３５１一　一０．３４８５０８４９一　一Ｏ．３４１９２２５１＋　８　—０．７０４７３２２５　—０．４８３４４５９６　—０．８６２００９０３　１６　０．２３２４９２６６０・１　０．０１３１７２２７９・１　０．０１５３９０６２４十１　表２给出了其中ｌ２组实数解对应的机构第ｉ运动支链与０　Ｂ　间的夹角０　．　表２　并联机构运动学正解实数解（度）　由表１，表２可知ｌ６组解中有１２组实数解，对　下方．前６组实数解对应空间图形，如图２（ａ）至　应于其中的６组解的运动平台位于固定的上方，而　（ｆ）所示．　对应于另外的６组解的运动平台位于固定平台的　Ｂ　，　（ａ）　（ｂ）　Ｂ３　（ｄ）　（ｆ）　图２部分实数解对应的机构空间图形　３　结　论　解１２组，复数解４组，并针对所求得的部分实数解　进行了空间图形验证．结果表明，针对３一ＲＰＳ型　由几何封闭关系建立了３一ＲＰＳ型并联机构　并联机构所建立的运动学正解方程组求解方法精　运动学正解方程，对所建立的非线性方程组进行了　确、可靠．　求解，获得运动学正解方程全部１６组解，其中实数　（下转４２３页）　第３期　李敏，等：基于ＳＴＭ３２和ＬＡＢＶＩＥＷ的电机磁环极对数检测系统设计４２３　件及周边电路质量，同时通过系统进行参数显示及　线检测要求．　报警，并以文字和图形化方式显示传感器输出的波　形的一系列参数，能保存不合格产品信息，信息数　参考文献：　据能以ＥＸＥＣＬ表格形式导出，便于企业产品数据　［１］　王金艳．霍尔传感器转速检测系统的设计与研究［Ｄ］．哈尔　统一管理．系统提高了产品检测效率和管理水平．　滨：黑龙江大学，２ｏ１０．　［２］汪云．基于霍尔传感器的转速检测装置［Ｊ］．传感器技术，　整体性能满足了空调整机厂电机抽检或流水线在　２００３，２２（１０）：４５—４７．　Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　Ｍａｇｎｅｔｉｃ　Ｐｏｌｅ　Ｐａｉｒｓ　Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＳＴＭ３２　ａｎｄ　ＬＡＢＶⅡ　Ｗ　ＬＩ　Ｍｉｎ，ＱＩＡＮ　Ｆｅｎｇ，ＺＨＯＵ　Ｘｉａｎ一厂ｅ　（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈｕ　Ｉｎｓｔｉｕｔｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈｕ　２４１００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　ＳＴＭ３２Ｆ１０１　Ｔ６　ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ　ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ａｓ　ａｎ　ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｍｏｔｏｒ　ｈａｌｌ　ｓｅｎｓｏｒ　ｓｉｇｎａｌ　ｄａｔａ’ｓ　ａｃｑｕｉｓｉｉｔｏｎ　ａｎｄ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｏ　ｔｅｓｔ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ　ａｎｄ　ｐｅｒｉｐｈｅｒａｌ　ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ’ｓｔａｔｕｓ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｃｅｓｓｅｄ　ｄａ－　ｔａ　ｗｅｒｅ　ｓｅｎｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｄｉｓｐｌａｙ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｖｉａ　ｔｈｅ　ｓｅｒｉａｌ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅ．Ｔｈｅ　ｍｏｔｏｒ　ｓｅｔ’ｓ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｐｒｅｐａｒｅｄ　ｉｎ　ａｄｖａｎｃｅ　ｗｅｒｅ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｈｔ　ｔｈｅ　ｍａｇｎｅｔｉｃ　ｐｏｌｅ　ｐａｉｓｒ’ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｔｈｅ　ｍｏｔｏｒ　ｍａｇｎｅｔｉｃ　ｐｏｌｅ　ｐａｉｓｒ’ｅｉＴｏｒ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ＬＡＢＶＩＥＷ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｏｆｔｗａｒｅ，ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｔｅｘｔ　ａｎｄ　ｇｒａｐｈｉｃｓ，ｉｔ　ｃａｎ　ｄｉｓｐｌａｙ　ｔｈｅ　ｆｒｅｑｕｅｎ—　ｃｙ，ｄｕｔｙ　ｃｙｃｌｅ　ａｎｄ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｏｆ　ｓｑｕａｒｅ　ｗａｖｅ　ｓｉｎｇａｌ　ｅｍｉｔｔｅｄ　ｂｙ　ａｎ　ｉｎｔｅｍａｌ　ｍｏｔｏｒ　ｈａｌｌ　ｓｅｎｓｏｒ，ａｌｏｎｇ　ｗｉｔｈ　ｈｔｅ　ｆｕｎｃ—　ｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄａｍａｇｅｄ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｄａｍ’ｓ　ｒｅｃｏｒｄ—ｋｅｅｐｉｎｇ．Ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｕｓｅｄ　ｆｏｒ　ｍｏｔｏｒｓ　ｏｆ　ｏｎ　ｌｉｎｅ　ａｉｒ—ｃｏｎｄｉ—　ｔｉｏｎｅｒｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＬＡＢＶＩＥＷ；ＳＴＭ３２；ｍａｇｎｅｔｉｃ　ｐｏｌｅ　ｐａｉｓｒ；ｈａｌｌ　ｓｅｎｓｏｒ　（上接４１４页）　杆长逼近法［Ｊ］．东北大学学报（自然科学版），２００１，２２　参考文献：　（３）：２８５－２８７．　［１］Ｍｕｒｔｈｙ　Ｖ，Ｗａｌｄｒｏｎ　Ｋ　Ｊ．Ｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｇｅｎｅｒｌａｉｚｅｄ　［９］韩方元，赵丁选，李天宇．３一ＲＰＳ并联机构正解快速数值算　Ｌｏｂｓｔｅｒ　Ａｎｎ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ｓｅｉｒｅｓ—Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｄｕａｌ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｅ—　法［Ｊ］．农业机械学报，２０１１，４２（４）：２２９—２３３．　ｃｈａｎｉｅａｌ　Ｄｅｓｉｇｎ，１９９２，１１４：４０６．　［１Ｏ］刘宏伟，马质璞．３一ＰＲＳ并联机构运动分析及仿真［Ｊ］．机　ｆ２］Ｓｔｅｗａ￣Ｄ　Ａ．Ｐｌａｔｆｏｒｍ　ｗｉｔｈ　６一ＤＯＥ　Ｐｒｏｃ［Ｊ］．Ｏｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ　ｏｆ　械设计与制造，２０１２，（１）：２１１—２１５．　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．１９６５，１８（１）：３７１—３８６．　［１１］Ｗａｄ＆ｏｎ　Ｋ　Ｊ，ｌ￣＃ａｖａｎ　Ｍ，Ｒｕｔｈ　Ｂ．Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｏｆ　ａ　Ｈｙｂｒｉｄ　［３］Ｂｏ．ｎｅｖ　Ｉ．Ｔｈｅ　Ｔｍｅ　Ｏｒｉｓｌｎｓ　ｏｆＰａｒａｌｌｅｌ　Ｒｏｂｏｔｓ［Ｊ］．Ｔｈｅ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｓｅｉｒｅｓ—ＰａｒａｌｌｅｌＭａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＡＳＭＥ　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆＤｒ－　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｃｅｎｔｅｒ．２ｏ０２．　ｎａｍｉｃ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８９，ｌ１１（２）：２ｌ１　［４］黄真，赵永生，赵铁石．高等空间机构学［Ｍ］．北京：高等教　—２２１．　育出版社．２０ｏ６．　［１２］Ｈａｓｈｉｍｏｔｕ　Ｍｉｎｏｍ，Ｉｍａｍｕｒａ　Ｙｕｉｃｈｉ．Ｋｉｎｅｍａｔｉｃ　Ａｎｓｌｙｓｉ８　ｎａｄ　［５］黄真，丁华锋．机构的结构类型综合综述［Ｊ］．燕山大学学　Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ａ　３　ＤＯＦ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｆｏｒ　ａ　Ｐａｓｓｉｖｅ　Ｃｏｍｐｌｉａｎｔ　报，２００３，２７（３）：１８９—１９１．　ｗｒｉ８ｔ　ｏｆ　Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｍ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｊａｐａｎ￥ｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　［６］刘宏伟，马质璞．３一ＰＲＳ并联机构运动分析及仿真［Ｊ］．机　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ，１９９８，Ｃ６４：２　１１６－２１２３．　械设计与制造，２０１２，（Ｉ）：２１１—２１５．　［１３］Ｐｆｉ＇ｅｕｎｄｓｃｈｕｎ　Ｇ　Ｈ，ＫｈｍｅｒＶ，ＴｈｏｍａｓＧ　Ｓ．Ｄｅｓｉｎｇ　ｎａｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　［７］韩先国．陈五一，陈鼎昌．基于路径跟踪原理求解６一ＳＰＳ并　ｏｆ　ａ　３　ＤＯＦ　Ｉｎ—ｐａｒａｌｌｅｌ　Ａｃｕｔａｔｅｄ　Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ［Ｃ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　联机构位置正解［Ｊ］．北京航空航天大学学报，２０ｏ２（６）：　ｏｆ　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｒｏｂｏｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ。　３７０—３７２．　１９９１。２：１　６５９—１６６４．　［８］　李树军，王阴，王晓光．３一ＲＰ￥并联机器人机构位置正解的　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　Ｄｉｒｅｃｔ　Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｆ０ｒ　３一ＲＰＳ　Ｐａｒａｌｌｅｌ　Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　月　ｌⅣ　ｒｅ厅一６０，　４ⅣＢｉｎｇ—ｂｉｎｇ，　删Ｂａｏ—Ｚ　，ｌ，　ＳＨＵＭ　Ｊｕｎ一　ｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ￣ｇｔｎｅｅａｎｇ，Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｍｕｓｉ　１５４００７，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｒｅｃｔ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｏｆ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｉｓ　ａ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａｔｉｔｔｕｄｅ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ａｎｄ　ｐｏｓｉｉｔｏｎ．Ｇｅｎｅｒａｌｌｙ　ｉｔ　ｉｓ　ｄｉｉｆｃｕｌｔ　ｔｏ　ｏｂｔａｉｎ　ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ａｎｄ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｗｅｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　３一ＲＰＳ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｗａｓ　ｓｏｌｖｅｄ　ｂｙ　ａｎａ。　ｌｙｔｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ，ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒｍｕｌａ　ａｎｄ　ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｖａｌｕｅｓ　ｗｅｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ａｎｄ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　ｃｌｏｓｅｄ　—ｏｆｒｍ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ｖｅｒｉｉｆｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｏｌｖｅ　ｓｐｅｃｉｉｆｃ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｎｄ　ｄｒｅｗ　ｐａｒｔ　ｏｆ　ｈｔｅ　ｓｐａｃｅ　ａｇｅｎｃｙ　ｇｒａｐｈｉｃａｌ　ｗｉｔ｝ｌ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｉｔｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　３一ＲＰＳ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｄｉｒｅｃｔ　ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ；ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｍｅｔｌｌ０ｄ