两个数学公式的证明及其它

２００２．３　总第７０期　海军工程大学电子工程学院学报　ＨＡＩＪ￣ＧＯＮＣ，ＣＨＥＮＧ　ＤＡＸＵＥ　ＤＩＡＮＺＩ　ＧＯＮＣ，ＣＨＥＮＧ　ＸＵＥＹＵＡＮ　ＸＵＥＢＡＯ　１７　两个数学公式的证明及其它‘　徐忠昌　（海军工程大学电子工程学院，南京２１１８ｏｏ）　罗　宁　（广东湛江９２１４６部队，湛江５２４００１）　摘要ｉｉＥ￣Ｔ　ｔ一分布的一个极限性质由极坐标方程ｒ＝ｒ（０），ａ≤０≤ｐ给的曲线与两射线０：　０：口所围之　，。　平面图形绕极轴旋转所得旋转体的体积的计算公式。最后指出了大专班《概率统计》教材中的一个错误关键词ｔ分布；　一公式；微元法；正态分布　Ｐｒｏｏｆｏｆ　Ｔｗｏ　ｔｂ旧ｍＩｔｉｃ：ａｌ　Ｆｏｒｍｕｌａｓ　Ｚ＾佣　（Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　Ｅｎｇｉｒｌｅｅ　ＪｌｇＣｏｌｌｅｇｅ，Ｎａｖａｌ　Ｕｎｉｖｅ￣ｔｙ　ｏｆ　Ｅｒｌｇｉｒ　ＩｌｇＮａｎｊｉｎｇ，２１１８ｏｏ）　，册　（Ｕｎｉｔ　９２１４６，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ，Ｇｕａｎｇｏｎｇ，５２４００１）　Ａｂａｍａ：１ｈｉ８　ｐａｐｅｒ　ｐｍｄ　ｏｆ　ａ　ｌｉｍｉｔｅｄ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｓｈａｒｅｄ　ｂｙ　ｔ一曲．　０ｆｌ，ａｎｄ　ｔｈｅ　衄ｌｅ　ｆ０衄ｕｌａ　０ｆ　ｔＩｌｅ　ｉｓ　０ｆｌ　ｏｒＩａｌ　ｂｏ￣ｒｅｄ　ｂｙ　ａ　ｐｏｌａｒ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｃｔｎ＇ｖｅＡ　Ｉｎ，＇ｔａｋｅ　ｉｎ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｔｅｘｔｂｏｏｋ　ａｂｏｕｔ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓ　函　唧　：ｔ一　【仃ｉ　，　ｒｌｉＩｌｇ　Ｆｏｒｍｕｌａ，ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　，　出ｓ　ｅｄ。ｕｔ．　１　ｔ一分布的一个性质　ｔ一分布在统计量的估计与推断中起着重要的作用，自由度是ｎ的ｔ一分布其密度函数为：　ｆ，，１）＝———　／－￣　ｒ（　（＋）—　，ｆ∈（一∞。＋∞）一　　２）　ｎ　一　’。　：　（１１。　ｔ＿２　－ｎ＋ｌ当，ｌ充分大时，ｆ一分布近似于标准正态分布，即　，ｎ）＝　１　ｅ一　ｆ由　现行的许多教材中都给出了这一公式，但都没有给出证明。这儿我们用Ｓｆｉｄｉｎｇ公式来证明一下［１］，Ｓｔｉｌｆｉｎｇ公式为：　．．。（　）＝（　一　１）　－ｘ＋１ｎ２丌＋尺（　）　舯肌）－　１一瓣１　如　）＝　ｎ／　＋　、１　　１　由　公式得：　）＝　丁ｘ＋１）一一　（号　・收稿日期：２０Ｏ２—２—６　维普资讯 http://www.cqvip.com

ＺＩ．Ｉ／Ｚ两个数学公式的证明及其它　总第７０．ｊ　期　！　：．—————————————————————一　（　一　一Ｔｘ＋ｌ＋　妣　州　）一　ｆ腊（专一　专　＋专一Ｉｎ２　一尺（专　１　ｌ：　ｎ（１＋　）　一专一ｌ　ｌｎ２＋尺、ｘ　＋２１）一尺专　厂（　）　１最后由分析中的Ｈｅｉｎｅ定　。，从而　２　（　）：一　１　２　２故　理立得　ｒ（　），　１。　又　（１＋　）一　：　一　。这样我们即有　厂（￡，凡）＝　１　ｅ一，　从而完成了证明。　２掉转体积的极坐标形式　：　。　所围之平面图形绕极轴旋转所得旋转体的体积是什么？其实这一　题征讦多　上百　珀面　缅木：　３（　：　ｒ亲　裂二　…　ｎ　…………………………………………………　¨　但是　一公式是如何得到的，目前的教材及参考书中都未提及。这儿，我们用定积分的微元法给出相应　的证　△ＡＤｃ绕　轴旋转所得旋转体的鐾　体积票誓凳嚣　募　．　，　们给　同　、角　Ｉ９的扇形绕其半径旋转所得旋转体的体积。设扇形的半径长为ｒ，　表示　表示扇形的其余部分绕　轴＿旋转所得腮鞭　州　∥。　／　＼、　则显见：　１　７ｆ（ｒｓｉｎ０）￣ｒｃｏｓ臼＝　１　３ｓｉｎ３　：　＝　７ｆ（ｒ　一Ｘ２）　：　，（，一ｒｃｏｓ　）一詈（ｒ３一ｒ’ｃｏｓ３臼）　＝盯　（１一ｃｏｓ　）一争’（１一ｃｏｓ３　）　从而有：　＝Ｖ１＋Ｖ　ａ＇ｒ３ｓｉｎ￣０ｃｏｓ　＋盯’（１－ｃｏｓＯ）＋　ｌ　’（１一ｃｏｓ￣Ｏ）　１　：一＝吉盯３ｃ０ｓ　＋号，丌３一盯’ｃ０ｓ　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００２．３　总第７Ｏ期　海军工程大学电子工程学院学报　ＨＡＩｊ１５１＇４　ＣＯＮＧＣ｝Ⅱ　Ｇ　ＤＡＸＵＥ　ＤＩＡＮｚＩ　ＣＯＮＧＣＨＩ　Ｇ　Ｘ１　＇］兀ＪＡＮ　ＸＵＥＢＡＯ　１９　＝号舸３舸一了舸ｅ一号舸３ｅ０ｓ　臼　一＝了２舸　（１ｅ０ｓ　）　现在就可以解决一开始我们提出的问题了。设有如　左所示的图形，这时体积元素ｄ　可近似地看作圆心角分　别为０＋　，　的扇形绕极轴旋转所得旋转体的体积的　差。即：　Ｏ　ｄＶ＝　＋　＋　＝专舸　（　）（１一ｃ０ｓ（　＋ｄ）一专舸，（　）（１一ｃｏｓＯ）　＝要舸　（０）（ｃｏｓＯ—ｃｏｓ（０＋ｄＯ））　２：￣‘７ｔ７．３（　）（一２ｓｉｎ（　＋譬）ｓｉｎ（一雩））　２　：￣７ｔ７．３（　）ｓｉｎ（　＋雩）　２　：－－　７１７－３（　）（ｓｉｎＯ＋ｃｏｓ　・　）　……………………………………………………………………（２）　２一‘７ｔ７３（　）ｓｉｎ伽＋　（　）ＣＯＳｏ（ａｏ）　一鲁舸　（０）ｓｉｎＯｄ￣………………………………………………………………………………………（３）　（２）式由微分的近似计算公式可得，由于（　）　是　的高价无穷小，故可省去，从而有（３）式。最后由定　积分的微元法即得（１）式。　３大专班《概率统计》教材中的一个错误　何仁杰、陈恒瑾编写的大专班《概率统计》教材（１９９３，南京大学出版社）以及何仁杰、贺亚平编写的大专　班《线性代数与概率统计》教材（１９９７，东南大学出版社）在讲到一般正态分布的概率计算时都给出了公式：　Ｐ（Ｉ　ｌ＜　）＝２　（堡　）一１………………………………………………………………………………（４）　这一公式当　≠Ｏ时是错误的。例如　—Ｎ（１，４），则由（４）式　Ｐ（１　ｌ＜　）＝２ｑ￣（０）一１＝０　这是不可能的。事实上，　Ｐ（Ｉ　Ｉ＜　）＝Ｐ（一　＜　＜　）＝Ｆ（　）一Ｆ（一　）　＝￣（ｘ－ｙ一　（二　）：　（　）＋　（羔±　）一１　ｄ　．ｄ　ｄ　ｄ　之所以会出现（４）这样的错误，就在于把标准正态分布的密度函数关于Ｙ轴的对称性想当然地套用在　一般正态分布上。众所周知，一般正态分布（　≠Ｏ）的密度函数的对称轴是直线　＝　而不是），轴！　参考文献　［１］菲赫金哥尔茨，微积分学教程［Ｍ］，北京：高等教育出版社。