21圆的基本概念及性质

1、（2008庆阳）如图4，AB是O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不．

成立的是（ ） ．．

Ａ．COEDOE Ｂ．CEDE  BDBCＣ．OEBE Ｄ．A O C E B 图4

D

2、

CDAB于点E，（2008江西）21．如图，AB为O的直径，交O于点D，OFAC于点F．

（1）请写出三条与BC有关的正确结论；

（2）当D30，BC1时，求圆中阴影部分的面积．

C F A

O E D B

答案：21．解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：

2①BCBD；②OF∥BC；③BCDA；④△BCE∽△OAF；⑤BCBEAB；

⑥BCCEBE；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．················ 3分 （2）连结OC，则OCOAOB．

C F 222D30，AD30，AOC120． ······· 4分 AB为O的直径，ACB90．

在Rt△ABC中，BC1，AB2，AC3． ·········· 5分

A

O E D B

OFAC，AFCF．

OAOB，OF是△ABC的中位线．

11OFBC．

22S△AOC1113ACOF3． ········································································ 6分 22241S扇形AOCOA2． ··································································································· 7分

33S阴影S扇形AOCS△AOC3． ················································································ 8分 34说明：第（1）问每写对一条得1分，共3分．

(2008甘肃白银)高速公路的隧道和桥梁最多．图7是一个隧道的横截面，若它的形状 是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径 OA=（D）

A．5 B．7 C．

3737 D． 57（2008甘肃兰州）如图3，已知EF是O的直径，把A为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABCE 沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设POFx，则x的取值范围是（A ） B A．30≤x≤60 B．30≤x≤90

E C．30≤x≤120 D．60≤x≤120

（2008甘肃兰州）如图6，在△ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与边AB 相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ D ）

C A．42 B．4.75 C．5 D．48 （2008甘肃兰州）如图9，点A，B是O上两点，AB10，点P是O上的动点（P与（B） O P F 图3 A C

F 图6

A A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点FA ， 则EF ．答案：5

O B E

F

P （2008甘肃兰州）如图18，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD，

图9

垂足为E，DA平分BDE． （1）求证：AE是O的切线； A E （2）若DBC30，DE1cm，求BD的长． D 解：（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA．

B OAOD，ODAOAD．OADEDA．

OA∥CE．

O C 图18

AEDE，AED90，OAEDEA90．

AEOA．

AE是O的切线．

（2）BD是直径，BCDBAD90．

B A E D O C DBC30，BDC60，BDE120． DA平分BDE，BDAEDA60．

ABDEAD30．在

Rt△AED中，

AED90，EAD30，AD2DE．

BD2AD4DE． 在Rt△ABD中，BAD90，ABD30，DE的长是1cm，BD的长是4cm．

（2008甘肃兰州）如图8，在Rt△ABC中，C90，AC3．将其

A B

C

绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环． 则该圆环的面积为 ．答案：9π 图8 1.（2008齐齐哈尔T7）在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为 ． 7．1cm或7cm

2. （2008哈尔滨市T14）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，

且CD＝l，则弦AB的长是 ． 14．6

1．（2008山东济南）如图：点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，

若AOB72，则ACB的度数是（ ） A．18° B．30° C．36° D．72° 答案C 2．（2008山东青岛）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为 ． 【参考答案】2

【解析】连结AE，由于AB＝10，所以⊙O的半径为5，根据垂径定理：可知DE＝

1CD＝4，2在Rt△DOE中，∠DEO＝90°，OD＝5，DE＝4，根据勾股定理得：OE＝3，则求得的AE＝2 如图所示，从垂径定理中可得到下列性质：

COAMDB

（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高.

（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线.

BD，CADBC，ADCBD （3）有3对弧相等：AC（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径（或弦心距），是两种重要的添线方

法.

4．(2008安徽)如图，在O中，ABC50，则AOC等于（ ） A．50

A O B．80

C．90

D．100

B

C 答案D

第4题图

8．(2008芜湖)如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）． A． (45) cm B． 9 cm C． 45cm D． 62cm

答案C

12．(2008芜湖)如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧AD的三等分点， BOC46，则AED的度数为 ． 答案69°

（2008年江苏省无锡市，10T，2分）如图，CDAB于E，若B60，

则A ．答案10．30° （第10题）

（2008年江苏省无锡市，12T，2分）已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为 ．答案12．

（2008青海）7．如图，O的直径CD过弦AB的中点M，ACD25， 则BOD 度． 答案：50

3(ab) 6（第12题）

A

C

O M B

第7题图

D

(2008宁夏)14.制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为3.5cm，侧面母线长为6cm，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 度．210

(2008宁夏)24．如图，梯形ABCD内接于⊙O， BC∥AD，AC与BD相交于点E ，在不添加任何辅助线的情况下：

(1) 图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明． (2) 若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．

解：（1）图中共有三对全等三角形：

DB≌AC②CE ③CB ·①△A△D△ABE≌△D△ABC≌△D······································ 3分

DB≌选择①△A△DAC证明

在⊙O中，∠ABD=∠DCA,∠BCA=∠BDA

CA=∠CAD ∴AD=∠BDA ∵BC∥AD ∴∠B∠C又∵ADAD

DB≌AC ·∴△A△D················································· 5分

（2）图中与△ABE相似的三角形有：

△DCE，△DBA， △ACD． ······························ 8分

（2008年江苏省南通市，22T，8分）已知：如图，M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝43cm. （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数.

ACMONB

22．（1）连结OM.∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB 过点O作OD⊥MN于点D，

ACMODBN

由垂径定理，得MD＝

1MN＝23. 2在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝23，∴OD＝OM2MD2＝2 故圆心O到弦MN的距离为2cm. （2）cos∠OMD＝

MD3， OM2∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°

8．（08南京）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，O的半径为2， 则等边三角形ABC的边长为（ C ） A．3 B．5 C．23

D．25 16．（08南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，

它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装 ．．．这样的监视器 3 台．

[2008福建省南平市]21．（9分）如图，线段AB经过圆心O，交O于点A，C，点D在O65 上，连接AD，BD，AB30．BD是O的切线吗？请说明理由． A （第16题）

21．答：BD是O的切线． ······························································································· 2分 理由1：连接OD，OAOD，ADOA30 ·················································· 4分

AB30，BDA180(AB)120 ················································ 7分 BDOBDAADO90即ODBD

BD是O的切线． ····························································· 9分

理由2：连接OD，OAOD，

ADOA30 ······························································ 4分 BODADOA60 ·············································· 7分 B30，

BDO180(BODB)90，即ODBD

BD是O的切线． ··········································································································· 9分

理由3：连接OD，OAOD，ADOA30 ·················································· 4分 在BD的延长线上取一点E，AB30

ADEAB60 ·································································································· 7分 EDOADOADE90，即ODBD

BD是O的切线． ··········································································································· 9分

理由4：连接OD，OAOD，ADOA30 ·················································· 4分 连接CD，则ADC90 ··································································································· 5分

ODCADCADO60 ····················································································· 6分 ODOC，OCD60

B30，BDCOCDB30 ··································································· 7分 ODBODCBDC90，即ODBD

BD是O的切线． ··········································································································· 9分

18．(08泰州)若O为△ABC的外心，且BOC60，则BAC ．30或150

23．(08泰州)如图，△ABC内接于O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是O的直径，连接BE， △ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

B O E D C A 第23题图

△ABE与△ADC相似．……………………………………………2分

∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°…………………………………… 5分 ∵∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC.……………………………………… 7分 又∵∠AEB=∠ACD, ∴△ABE∽△ADC …………………………………9分

（滨州市2008）12、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）

DCAEOB

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 答案：D

（2008深圳）1、如图１，圆柱的左视图是

图1 A B C D 答案：C

（2008广州）2、命题“圆的直径所对的圆周角是直角”是 命题（填“真”或“假”） 答案：真命题 (2008福州市)

14．如图，AB是O的弦，OCAB于点C，若AB8cm，OC3cm，则O的半径为 cm．

A C B O （第14题）

答案5

(2008龙岩市)

9．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、

40°，则∠1的度数为 . 答案15°

22.与圆有关的位置关系

° °

O （第9题图）

（济宁市二○○八）16．如图，在△ABC中，A90，BC4cm，

分别以B，C为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部 分的面积为 cm．

答案：π

（2008深圳）1、如图2，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点

恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于

Ａ．答案：C

（2008广州）2、如图9，射线AM交一圆于点B、C，射线AN

2ADF Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6432EB图 2C»DE» 交该圆于点D、E，且BC（1）求证：AC=AE

（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE

的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）求证：EF平分∠CEN

图9 答案：（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN证APOAQO由BC＝CD，得CPEQ得证 （2）同AC＝AE得ECMCEN，

由CE＝EF得FCEFEC(2008福州市)

19．（本题满分11分）

11MCECEN得证 22DAB22.5，如图，AB是O的直径，AD是弦，延长AB到点C，使得ACD45．

（1）求证：CD是O的切线； （2）若AB22，求BC的长．

答案19．（1）证法一：如图，连接OD．

DAB22.5，DOC2DAB，