初中数学竞赛数论题

数论题练习（一）

222p+p+8=m-2m的所有素数p和正整数m.

2. 对于i=2，=2，3，…，k，正整数

n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值n0满

足20003．满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数解有（ ． 的所有正整数解有（ ） ）

(A)一组(A)一组 (B)一组 (B)二组 (B)二组 (C)二组 (C)三组 (C)三组 (D)三组 (D)四组 (D)四组 四组

4．正整数n分别除以2,3,4,5,6,7,8,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n的最

小值为 小值为 ． ．

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aa2+b25．n是一个三位数,都是整数,是一个三位数,b是一个一位数,是一个一位数,且,都是整数,求a+b的最大值与最小值. 的最大值与最小值.

b

ab+16．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程

(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)(x-a)=200912345的整数根，则b的值

为 ． ．

7．试求出所有这样的正整数a使得关于x的二次方程ax+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根. 有一个整数根.

8．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px-qx+p=0有有理数根？ 有有理数根？

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2222

+n.问m-n是否为完全平方数?是否为完全平方数?并证明你9．已知m、n均为正整数,均为正整数,且m>n,2006m+m=2 007n+n.问

2

的结论. 的结论.

2210．已知10．已知k为常数，关于x的一元二次方程(k-2k)x+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值. 

2

2

2

11．9n-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 已知n为自然数，的最大值为 . 

12．设12．设a是3的正整数次幂，b是2的正整数次幂，试确定所有这样的a,b，使得二次方程

2x-ax+b=0的根是整数. 

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13．是否存在这样的正整数n,使得3n+7n-1能整除n+n+n+1?请说明理由。 请说明理由。

14．使得2n(n+1)(n+2)(n+3)+12可表示为2个正整数平方和的自然数n(  ) 

A 不存在 不存在 B 有1个 C 有2个 D 有无数个 有无数个

232

15．证明：存在无穷多对正整数(m,n)，满足方程m+25n=10mn+7(m+n)。

2216．方程16．方程x3+6x2+5x=y3-y+2的整数解（x，y）的个数是（ ）的个数是（ ）． ）． ）．

（A）0  （B）1  （C）3  （D）无穷多 ）无穷多

217．17．已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x-abx+12(a+b)=0是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明. 否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

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18．18．关于x，y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为 的所有正整数解为 ．

19．设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)=509(4a+511b) 求a，b的值. 

20．已知正整数20．已知正整数a满足192a+191，且a<2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和． 和．

21．试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx

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232+(r+2)x+r-1=0有根且只有整数根。 有根且只有整数根。

22．已知p为质数，使二次方程x-2px+p-5p-1=0的两根都是整数，求出所有可能的p的值。 的值。 23．设23．设[x]为不超过x的最大整数，求方程4x-40[x]+51=0的解。 的解。 222泉州现代中学初中数学竞赛材料训练（cjw） 第6页 共6页