2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ） A．零上3℃
B．零下3℃
C．零上7℃
D．零下7℃
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（ ） A．647×108
B．6.47×109
C．6.47×1010 D．6.47×1011
4．（3分）二次根式A．x≥1
中，x的取值范围是（ ）
B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a5+a5=a10
B．a7÷a=a6 C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6
7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表： 得分（分） 60 70 80 90 100 第1页（共33页）
人数（人） 7 12 10 8 3 则得分的众数和中位数分别为（ ） A．70分，70分
B．80分，80分
C．70分，80分
D．80分，70分
8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．﹣
：
9．（3分）已知x=3是分式方程A．﹣1 B．0
C．1
D．2
=2的解，那么实数k的值为（ ）
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0 C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．（4分）（
﹣1）0= ．
12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 ． 13．（4分）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 y2．（填“＞”或“＜”）．
第2页（共33页）
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分） 15．（12分）（1）计算：|（2）解不等式组：16．（6分）化简求值：
﹣1|﹣
+2sin45°+（）﹣2； ． ÷（1﹣
），其中x=
﹣1．
17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
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（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线；
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（2）若A为EH的中点，求的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是 ．
22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a= ．
23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则
= ．
24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2
，则k= ．
25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．
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五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表： 地铁站 x（千米） y1（分钟） A 8 18 B 9 20 C 10 22 D 11.5 25 E 13 28 （1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是
=
=
；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD． ①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF． ①证明△CEF是等边三角形； ②若AE=5，CE=2，求BF的长．
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28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4
，设点F（m，0）是x轴的正半轴
上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
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2017年四川省成都市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ） A．零上3℃
B．零下3℃
C．零上7℃
D．零下7℃
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃． 故选：B．
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看一层三个小正方形， 故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为（ ）
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A．647×108 B．6.47×109 C．6.47×1010 D．6.47×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：647亿=647 0000 0000=6.47×1010， 故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）二次根式A．x≥1
中，x的取值范围是（ ）
B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0， ∴x≥1， 故选：A．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
5．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确． 故选：D．
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【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a5+a5=a10
B．a7÷a=a6 C．a3•a2=a6 D．（﹣a3）2=﹣a6
【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可． 【解答】解：A．a5+a5=2a5，所以此选项错误； B．a7÷a=a6，所以此选项正确； C．a3•a2=a5，所以此选项错误； D．（﹣a3）2=a6，所以此选项错误； 故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及合并同类项等，关键是熟记，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
7．（3分）学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表： 得分（分） 人数（人） 60 7 70 12 80 10 90 8 100 3 则得分的众数和中位数分别为（ ） A．70分，70分
B．80分，80分
C．70分，80分
D．80分，70分
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【解答】解：70分的有12人，人数最多，故众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分． 故选：C．
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【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8．（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3，
∴DA：D′A′=OA：OA′=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2=， 故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
9．（3分）已知x=3是分式方程A．﹣1 B．0
C．1
D．2
﹣
=2的解，那么实数k的值为（ ）
【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值． 【解答】解：将x=3代入∴
解得：k=2， 故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是将x=3代入原方程中，本题
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﹣=2，
属于基础题型．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0 C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜0
【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确． 【解答】解：根据二次函数的图象知： 抛物线开口向上，则a＞0；
抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣抛物线交y轴于负半轴，则c＜0； ∴abc＞0，
∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， 故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．（4分）（
﹣1）0= 1 ．
＞0，即b＜0；
【分析】直接利用零指数幂的性质求出答案． 【解答】解：（故答案为：1．
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﹣1）0=1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键．
12．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为 40° ． 【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4， ∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2x+3x+4x=180°， 解得：x=20°，
∴∠A的度数为：40°． 故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．
13．（4分）如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）．
【分析】由图象可以知道，当x=2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上右， ∴y1＜y2． 故答案为：＜．
【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大
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于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 15 ．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．
【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线， ∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA， ∴∠DAQ=∠DQA， ∴△AQD是等腰三角形， ∴DQ=AD=3． ∵DQ=2QC， ∴QC=DQ=， ∴CD=DQ+CQ=3+=，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（+3）=15． 故答案为：15．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共54分） 15．（12分）（1）计算：|（2）解不等式组：
﹣1|﹣
+2sin45°+（）﹣2； ．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂
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法则计算即可得到结果．
（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可． 【解答】解：（1）原式==
﹣1﹣2
+
+4
﹣1﹣2
+2×
+4
=3；
（2），
①可化简为2x﹣7＜3x﹣3， ﹣x＜4， x＞﹣4，
②可化简为2x≤1﹣3，则x≤﹣1． 不等式的解集是﹣4＜x≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（6分）化简求值：
÷（1﹣
），其中x=
﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x=
﹣1，
=
． ÷（1﹣
）=
•
=
，
∴原式=
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（8分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
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（1）本次调查的学生共有 50 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 360 人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【分析】（1）用“非常了解”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）用总人数乘以“不了解”人数所占的百分比即可得出答案；
（3）先画树状图展示所有12个等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）4÷8%=50（人）， 1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）=360（人）； 故答案为：50，360；
（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个， ∴P（恰好抽到一男一女的）=
=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18．（8分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
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【分析】过B作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长． 【解答】解：过B作BD⊥AC于点D． 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=4×∵△BCD中，∠CBD=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD=BD=2∴BC=
BD=2
（千米）， （千米）．
千米．
=2
（千米），
答：B，C两地的距离是2
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
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【分析】（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得反比例函数的表达式为y=，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，），则C（m，m），根据△POC的面积为3，可得方程m×|m﹣|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y=x，可得a=﹣4， ∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y=，可得k=8， ∴反比例函数的表达式为y=， ∵点B与点A关于原点对称， ∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C， 设P（m，），则C（m，m）， ∵△POC的面积为3， ∴m×|m﹣|=3， 解得m=2∴P（2
，或2，
）或（2，4）．
第18页（共33页）
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
20．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求
的值；
（3）若EA=EF=1，求圆O的半径．
【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：r的值即可．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
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，证明△AEF∽△ODF，列比例式可
，则=，求出
∵OB=OD，
∴△ODB是等腰三角形， ∠OBD=∠ODB①， 在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB②，
由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B， ∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C， ∴△EDC是等腰三角形， ∵DH⊥AC，且点A是EH中点， 设AE=x，EC=4x，则AC=3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD， ∵AB=AC，
∴D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，OD=AC=×3x=∵OD∥AC， ∴∠E=∠ODF， 在△AEF和△ODF中，
∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE， ∴△AEF∽△ODF， ∴∴
=
， =，
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，
∴
=；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r， ∵EF=EA， ∴∠EFA=∠EAF， ∵OD∥EC， ∴∠FOD=∠EAF，
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD， ∴DF=OD=r， ∴DE=DF+EF=r+1， ∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB， ∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE， ∴BF=BD，△BDF是等腰三角形， ∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1， 在△BFD和△EFA中， ∵
，
∴△BFD∽△EFA， ∴∴
=， ，
，r2=
（舍），
．
解得：r1=
综上所述，⊙O的半径为
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【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21．（4分）如图，数轴上点A表示的实数是 ﹣1 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数． 【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为则数轴上点A表示的实数是：故答案为：
﹣1．
﹣1．
=
，
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．
22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a=0的两个实数根，且x12﹣x22=10，则a= ．
【分析】由两根关系，得根x1+x2=5，x1•x2=a，解方程得到x1+x2=5，即x1﹣x2=2，即可得到结论．
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【解答】解：由两根关系，得根x1+x2=5，x1•x2=a， 由x12﹣x22=10得（x1+x2）（x1﹣x2）=10， 若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=25﹣4a=4， ∴a=
，
．
故答案为：
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
23．（4分）已知⊙O的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为P1，针尖落在⊙O内的概率为P2，则
=
．
【分析】直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出P1，P2的值即可得出答案．
【解答】解：设⊙O的半径为1，则AD=故S圆O=π， 阴影部分面积为：π则P1=故
=
，P2=．
．
，
×2+
×
﹣π=2，
，
故答案为：
【点评】此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．
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24．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的“倒影点”，直线y=﹣x+1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y=的图象上．若AB=2
，则k= ﹣ ．
），
【分析】（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，B′（，
），由AB=2
可得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特
征即可得出关于k、a、b的方程组，解之即可得出k值．
（方法二）由一次函数图象上点的坐标特征结合AB的长度可设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，坐标为（
，﹣
），点B′的
），再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于k、
a的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，
），B′（，∵AB=
∴b﹣a=2，即b=a+2．
∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上， ∴
解得：k=﹣．
（方法二）∵直线y=﹣x+1上有两点A、B，且AB=2
，
， ），
=
=
（b﹣a）=2
，
∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，
），点B′的坐标为（
，﹣
）．
∵点A′，B′均在反比例函数y=的图象上，
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∴，
解得：．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k、a、b的方程组是解题的关键．
25．（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为6cm，则FG= cm．
【分析】作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′，首先证明△AKC′≌△GFM，可得GF=AK，由AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N，推出
=
，可得
=
，推出C′K=1cm，在Rt△AC′K中，根据AK=
，求出AK即可解决问题．
【解答】解：作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′， ∵GF⊥AA′，
∴∠AFG+∠FAK=90°，∠MGF+∠MFG=90°， ∴∠MGF=∠KAC′， ∴△AKC′≌△GFM， ∴GF=AK，
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∵AN=4.5cm，A′N=1.5cm，C′K∥A′N， ∴∴
==
， ，
∴C′K=1cm， 在Rt△AC′K中，AK=∴FG=AK=故答案为
cm， ．
=
cm，
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表： 地铁站 x（千米） y1（分钟） A 8 18 B 9 20 C 10 22 D 11.5 25 E 13 28 （1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
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【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y=y1+y2=x2﹣9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
，
解得：
，
故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则 y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27．（10分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD=∠BAC=60°，于是
=
=
；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD． ①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
第27页（共33页）
①证明△CEF是等边三角形； ②若AE=5，CE=2，求BF的长．
【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；
②结论：CD=DH=AD•cos30°=
AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=
AD+BD，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；
②由AE=5，EC=EF=2，推出AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得
=cos30°，由此即可解决问题．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
∵∠BAC=∠DAE=120°， ∴∠DAB=∠CAE，
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在△DAE和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
②解：结论：CD=AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC， ∴BD=CE，
在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=∵AD=AE，AH⊥DE， ∴DH=HE，
∵CD=DE+EC=2DH+BD=
AD，
AD+BD．
拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴△ABD，△BDC是等边三角形， ∴BA=BD=BC，
第29页（共33页）
∵E、C关于BM对称， ∴BC=BE=BD=BA，FE=FC， ∴A、D、E、C四点共圆， ∴∠ADC=∠AEC=120°， ∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE=5，EC=EF=2， ∴AH=HE=2.5，FH=4.5， 在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°， ∴
=cos30°，
=3
．
∴BF=
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
28．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4
，设点F（m，0）是x轴的正半轴
上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
第30页（共33页）
【分析】（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2式为y=ax2+4，把A（2
，0），设抛物线的解析
，0）代入可得a=﹣，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x
﹣2m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛
物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有
，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2解析式为y=ax2+4， 把A（﹣2
，0）代入可得a=﹣，
，0），设抛物线的
∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，
第31页（共33页）
由
，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得2＜m＜2，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2
．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．
理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形， ∴PF=FM，∠PFM=90°，
易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点M在y=﹣x2+4上，
∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=∴m=
﹣3或﹣
﹣3（舍弃），
﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
第32页（共33页）
把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形． 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=
﹣3或6．
【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
第33页（共33页）
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