二项式定理教学案设计

1.3.2杨辉三角与二项式定理的性质导学案 教师：肖燕

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)能写出杨辉三角形，并依据杨辉三角形验证组合数的性质.

(2)会推证并掌握二项式系数的性质.

2.过程与方法：

通过学生参与和探究杨辉三角的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验杨辉三角的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的性质．

难点：二项式定理性质的应用.

三、教学过程

1

（一）提出问题，引入课题

引入：1.二项式定理的展开式(ab)=

n 2.通项公式： Tr1

3.系数与二项式系数的区别

【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

（二）引导探究，发现规律

一.杨辉三角：

1.当n取1,2,3,4, 各项二项式系数如何变化？

合作探究1：（1）写出二项式系数 用组合数表示二项式系数 用数字表示二项式系数

(ab)1

(ab)2

(ab)3

2

(ab)4

(ab)5

(ab)6

问题：你能否写出当n7的时候的二项式系数？

合作探究2： 请问从杨辉三角中你能看出哪些规律？ （1）每一行的数与二项式定理展开式的二项式系数有什么关系？

（2）每一行有几个数？

（3）每行两端的数都是1吗？

（4）二项式系数的对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

用公式表示：

（5）二项式系数的最大项：

如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn12n取得最大值。

3

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn12n,Cn32n同时取得最大值。

（6）从第二行起，每行除1以外的每一个数与它肩上的两个数有什么关系

用公式表示为： （7）

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

7 21 35 35 21 7

4

1 1

123C1n1136C2n11410C3n1 你能否得出一个一般的结论： CrrrrrCr1Cr2Cr3Crr1n1Cn （6） 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6

1 7 21 35 35 21 7 请你在斜行末端标出各行的和，并观察规律

5

1 1

2.二项式定理的性质的应用

题型一.利用二项式系数的对称性

例1：在二项式

(4132nx)3x的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x的项的系数？

题型二.二项式系数的和

n(ab)例2：在二项式定理的展开式中，试求:

（1）

012CnCnCnnCn

（2）

12CnCnnCn

（3）

135CnCnCn2r1Cn

（4）

024CnCnCn2rCn

变式训练：（1）

123C11C11C1111C11

012nCnCnCnCn012n1（2）CnCnCnCn1

题型三.各项系数和：

6

(1x)na0a1xa2x2a3x3例3：

anxn

(1)a0a1a2a3求：

an

(2)a1a2a3a4(3)a0an

(4)a0a2a4an

(5)a1a3a5an

7（1-2x）a0a1xa7x7变式训练：1、已知，求：

（1）

a1a2a7；

（2）

a1a3a5a7；

（3）

a0a1a7(x212x)10.

2、求二项式的展开式中的常数项

7

3、若

(x213x2)n展开式中偶数项系数和为256，求n.

2006在(x2)的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S_____. 4、

设

n（1x）a0a1xanxn，若

a1a2an63，则求展开式中系数最大的项。

(五) 课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

1. 公式：

2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.杨辉三角以及二项式定理的性质

作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3

思维拓展型作业：二项式定理中二项式系数和系数的区别以及分别求最大值．

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