2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题02 函数概念与基本初等函数2(含解析)

第二章 函数概念与基本初等函数2

与指数函数、对数函数数相关的综合问题

【背一背重点知识】

1. 指数函数与对数函数的单调性是由底数a的大小决定的，当0a1时，指数函数与对数函数在定义域上都是单调递减，当a1时指数函数与对数函数在定义域上都是单调递增； 2．指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线yx对称；

３. 画指数函数yax(a0,且a1)的图象，应抓住三个关键点：1,a,0,1,1,画对数ylogax(a0,且a1)函数的图象应抓住三个关键点：a,1,1,0,【讲一讲提高技能】

必备技能：1. 利用指数函数、对数函数的性质比较大小解不等式方法： (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； 底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较；

２．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解；

３．求解指数函数、对数函数有关的复合函数问题，首先熟知指数函数、对数函数的定义域，值域，单调性等相关性质，其次是复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助＂同增异减＂这一性质分析判断，最终将问题转化为内层函数相关问题加以解决； 典型例题：

1，a1,1 ． alog2(1x),x0,例1定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2015)的值为

f(x1)f(x2),x0,（ ）

A．1 B．0 C．1 D．2

【解析】：当x0时，fxfx1fx2,fx1fx2fx3,得出

f(x)fx3,得

fx6fx,周期为

6.f2015f33661f(1)log221,故选C．

1

2xx例2设0a1，函数fxlogaa2a2，则使fx0的x的取值范围是（ ）

A．,0 B．0, C．,loga3 D．loga3,

分析：由0a1，得ylogax在0,上的减函数，若使fx0，则

logaa2x2ax20，从而可得a2x2ax21，令tax，有t0，可转化为

t22t30，解可得t的取值范围，由指数函数的性质，分析可得答案．本题考查指数、

对数函数的运算与性质，解题时，要联想这两种函数的图象，特别是图象上的特殊点，这是解决本题的关键．

【练一练提升能力】

log2x,x01.已知函数f(x)log(x),x0，若af(a)0,则实数a的取值范围是 （ ）

12（，1）（1，）（1,0）（0,1）（1,0）（1，） A. B. C.

（，1）（0,1）D.

【答案】A

【解析】若a0，则af(a)alog1a0log1a00a1；若a0，则

22af(a)alog2(a)0log2(a)00a11a0；综上得，选A.

2. 当0x1时，4xlogax（a0且a1），则a的取值范围是（ ） 2A．(0,22) B．(,1) 22C．(1,2) D．(2,2) 【答案】B

2

函数的图象

【背一背重点知识】

1. 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如yx1的函数； x2. 对于函数的图象要会作图、识图、用图：作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 3. 常见的函数数字特征有：

（1）函数奇偶性：奇函数f(x)f(x)；偶函数f(x)f(x)；

（2）函数单调性：单调递增

f(x1)f(x2)0或(x1x2)(f(x1)f(x2))0；单调递

x1x2增

f(x1)f(x2)0或(x1x2)(f(x1)f(x2))0。

x1x2TT)f(x)； 22（3）函数周期性：周期为T：f(xT)f(x)或f(x（4）对称性：关于y轴对称：f(x)f(x)；关于原点对称：f(x)f(x)；

3

关于直线xa对称：f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)；

关于点(a,b)对称：f(x)2bf(2ax)或f(ax)bbf(ax)。 【讲一讲提高技能】 1.必备技能：

1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．

２．识图：在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系．

３．用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究，有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解，方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 2.典型例题：

例1如图所示，fx是定义在区间c,cc0上的奇函数，令gxafxb，并有关于函数gx的三个论断：

①若a0，对于1,1内的任意实数m,nmn，②函数gx是奇函数的充要条件是b0； ③aR，gx的导函数g'x有两个零点； 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③

分析：①对于c,c内的任意实数m,nmn，

gngm0恒成立；

nmgngm0恒成立，可根据函数

nm 4

的单调性来进行判断；②若b0，则函数gx是奇函数，由函数解析式的形式判断即可；③由gx的极值点的个数，判断导函数g'x有多少个零点．求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用．一般一个一个奇函数乘上一个数仍是奇函数，一个增函数乘上一个正数仍是增函数，一个函数加上一个常数，不改变其单调性，由这些结论即可保证正确做对本题．

例2已知函数f(x)(xa)(xb)（其中ab）的图象如右图所示，则函数g(x)axb的图象是（ )

分析：我们可以利用函数的性质，定义域、值域，及根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．

5

【解析】：由题意得，x=a，x=b为f(x)的零点，由图可知，0exex1. 函数yx的图像大致为（ ） xeey 1O1 A【答案】A

x 1O1xyy1 O1 xO

BCy1 1 xD

2. 若函数ylogaxa0,且a1的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）

【答案】B

x【解析】由函数ylogaxa0,且a1的图象知，a3，则A中，y3，当x1时，

y133，故A错；B中，yx，当x1时，y1，且为奇函数，故B正确；C中，y(x)，3当x1时，y1，故C错；D中，ylog3(x)，当x3时，y1，故D错，故选B．

6

函数零点、方程根的个数 【背一背重点知识】

１．如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有

fafb0，那么，函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b使得fc0，这个c也就是方程fx0的根．

注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． ２．用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 【讲一讲提高技能】 1必备技能：

1．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数fx，gx，即把方程写成fxgx的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．

２．确定函数零点的常用方法：①解方程判定法，若方程易求解时用此法；②零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；③数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．

３．注意：①函数yfx的零点即方程fx0的根，是数不是点；②若函数yfx在闭区间a,b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即

fafb0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，

fafb0，fx在区间a,b上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定

理的条件是充分条件，但并不必要． 2典型例题：

7

例1根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是（ ）

x ex -1 0.37 2 0 1 3 1 2.72 4 2 7.39 5 3 20.08 6 x3 A、 （-1,0）B、（0,1) C、 （1,2）（2,3）D、

【答案】C 【解析】

试题分析：构造函数fxex3，由上表可得f10.3721.630，

xf0132，，

f12.7241.28,f27.3952.390,f320.08614.080f1f20，所以方程的一个根所在区间为1,2，故选C.

例2函数f(x)x12sinx的所有零点之和等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B

8

【练一练提升能力】

21. 实系数一元二次方程xax2b0的一个根在0,1上，另一个根在1,2上，则

b3的取值范围是（ ） a1A．1,3 B．1,3 C．, D．,

2222【答案】D

1313 9

2. 设方程2xx20和方程log2xx20的根分别为p和q，函数

fxxpxq2，则（ ）

A． f2f0f3 B． f0f2f3 C． f3f0f2

D． f0f3f2

【答案】A.

10

（一） 选择题（12*5=60分）

1.函数y2x的图象大致是（ ）

x2

【答案】A 【解析】

2.已知fx=lgx，则y=f1-x的图象是下图中的（ ）

()()

【答案】A 【解析】

试题分析：由于fx=lgx，因此y=f1-x=lg1-x，而当x=1时

()()()y=f(1-x)=lg(1-x)无意义，因此排除选项B,D；当x=0时，y=f(1-0)=lg(1-0)=0，排除选项C；故答案为A

3. 在下列区间中，函数f(x)e4x3 的零点所在的区间为（ ） A. (0,) B. (,) C. (,) D. (,1) 【答案】B.

【解析】根据零点存在性定理分别验证各选项即可，即对于A选项，f(0)1320，

11

x141142132434

11f()e420，所以不能判断(0,)上函数是否有零点；对于B选项，44111f()e420，f()e210，所以在区间(0,)上函数有零点；对于C选项，4241313f()e210，f()e40，所以不能判断(,)上函数是否有零点，所以C选242433项不正确；对于D选项，f()e40，f(1)e10，所以不能判断(,1)上函数是

44否有零点，所以D选项不正确.综上所述，应选B.

(3a)x3(x7)4．已知函数f(x)x6，若数列{an}满足anf(n)，且{an}单调递增，则实

(x7)a313111数a的取值范围为( A．(2,3) 【答案】A

)

C．(,3)

B．(1,3)

94 D．[,3)

943a0【解析】由题设得:a12a3,故选A.

a863a7321xx 15．设函数f(x)，则满足f(x)2的x的取值范围是（ ）

1logxx12A．[-1，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+） 【答案】D 【解析】

6．设f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当

1若在区间(1,3]内关于x的方程f(x)loga(x2)0恰x[1,0]时，f(x)()x1，

2有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ） A．(1,3) B．(2,4) C．(3,5) D．(4,6)

12

【答案】C 【解析】

x22xx0 7．已知函数fx，若fxax，则a的取值范围是（ ）.

lnx1x0A．,0 B．,1 C．[2,1] D．[2,0] 【答案】D

2【解析】当x0时，fxx2x0恒成立，由fxax得，x2xax，整理

2得

x22ax0，由于fxx22ax0恒成立，f00，解得a2，

2a0，

2x0时，由于fx最小值是0，若fxax恒成立，满足ax0，即a0，同时满足

以上两个

条件2a0，故答案为D.

13

0x24|log2x|８．已知函数fx12，若存在实数a,b,c,d满足

x5x12x22fafbfcfd

其中dcba0，则abcd的取值范围是（ ）. A．16,21 B．16,24 C．17,21 D．18,24 【答案】B

９．函数fx2log1x1的零点个数为 （ ）

x2（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4 【答案】B

14

11【解析】由题意得，令2xlog1x10，则log1x，或log1x，又因为

222221函数ylog1x单调递增，图象在第一、四象限，而函数y1为单调递减，则y与y122xxx11在第一象限有交点，即方程log1x有解，同里y与y2在第四象限有交点，

2221故方程log1x有解，所函数fx的零点个数为2个，即正确答案为B.

2210．已知对数函数f(x)logax是增函数（a0且a1），则函数f(|x|1)的图象大致是（ ）

xxx

【答案】B 【解析】

11．设函数f(x)值范围（ ）

4x4(x1)2,若方程f(x)m有三个不同的实数解，求m的取

3x1）x4x（A．m0或m1 B．m1 C．1m0 D．m0 【答案】C 【解析】

15

试题分析：画出分段函数yfx的图像，若ym与其有3个交点时，如图得到m的取值范围是1m0，故选C．

12．已知定义在R上的奇函f(x)的导函数为f’(x)，当x<0时，f（x）满足

2f x xf'(x)xf x，则f(x)在R上的零点个数为( )

A.1 B.3 C. 5 D .1或3

【答案】A

填空题（4*5=20分） 13. 函数f(x)lg(a【答案】-1

【解析】因为函数f(x)lg(a

2)为奇函数，则实数a 。 1x2)为奇函数，所以fxfx，即1x16

lg(a2221)lg(a)aa1. 1x1x1xa21x14．已知log73a，log74b，用a，b表示log4948为 ． 【答案】

a2b 2【解析】

试题分析：log49481111log748log7316(log732log74)(a2b)． 2222x26x6,x015．设函数f(x)，若互不相等的实数x1,x2,x3，满足

x03x4,f(x1)f(x2)f(x3)则x1x2x3的取值范围是 【答案】(11,6) 3 16．给出下列四个命题：

（1）函数f(x)loga(2x1)1的图象过定点（1，0）；

（2）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x(x1)，则f(x)的解析式为f(x)x2x；

17

（3）若loga11（，1）1，则a的取值范围是； 22（4）若2x2ylnxln(y) （x0，y0），则xy0． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】（2）（3）（4） 【解析】

试题分析：（1）函数过定点1，（2）设x0，x0，-1，

2xxx0 ，合并后的函数fxfxxx1xx所以函数是fx2x0xx22是fxxx，（2）正确；（3）首先判断0a1，然后将不等式转化为logaaloga1，2根据单调性解得

1a1，（3）正确，（4）将不等式转化为2xlnx2ylny，因2为函数y2xlnx在定义域内时减函数，所以xy，即xy0，（4）正确．

18