北京高三理科解三角形大题专题(带答案)

解三角形大题专题

（2014石景山一模）15．（本小题满分13分）

B，C的对边分别为a，b，c，且abc，3a2bsinA． 在△ABC中，角A，（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若a2，b

（2014西城一模）15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2c2a2bc．

（Ⅰ）求A的大小；

7，求c边的长和△ABC的面积．

（Ⅱ）如果cosB6，b2，求△ABC的面积． 3

（2014海淀二模）15.（本小题满分13分）

在锐角ABC中，a27sinA且b21. （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若a3c，求c的值.

（2015西城二模）15．（本小题满分13 分）

在锐角△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7 ，b ＝3，

．

（Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积．

（2013丰台二模）15．（13分）

已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且2sin2(BC)3sin2A. （Ⅰ）求A的度数；

（Ⅱ）若BC7,AC5,求ABC的面积S.

（2014延庆一模）15．（本小题满分13分）

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a2，C（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求ABC的面积．

（2015顺义一模）15.（本小题满分13分）

4，cosB3 ．5在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b32,sinB6, BA. 32(I)求a的值; (II)求cosC的值.

（2016东城一模）（15）（本小题共13分）

在△ABC中，BC22，AC2，且cosAB2． 2（Ⅰ）求AB的长度；

（Ⅱ）若f(x)sin(2xC)，求yf(x)与直线y3相邻交点间的最小距离． 2

（2015延庆一模）15.（本小题满分13分） ABC中，BC2,ABC.

（Ⅰ）若cos225，AB5,求AC的长度； 5 （Ⅱ）若BAC

6，ABf()，求f()的最大值.

（2016西城一模）15．（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设A3，sinB3sinC．

（Ⅰ）若a7，求b的值；

（Ⅱ）求tanC的值．

（2014朝阳二模）15.（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A积为153． 42π，b3，△ABC的面3（I）求边a的边长； （II）求cos2B的值．

（2015东城一模）（15）（本小题共13分）

在△ABC中，b2，cosC（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin2A值．

73，△ABC的面积为．

44

（2015海淀二模）（15）（本小题满分13分）

在ABC中，c5，b26，a36cosA. 2（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求证：B2A.

（2014顺义一模）15.（本小题共13分）

已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足

sinA(3cosAsinA)（1）求角A；

3 2（2）若a22，SABC23，求b、c的值

（2015石景山期末）15．（本小题共13分）

如图所示，在四边形ABCD中，

ABDA，CE7，ADC2；E为AD 3边上一点，DE1，EA2，BEC3.

（Ⅰ）求sin∠CED的值；

（Ⅱ）求BE的长．

（2015朝阳二模）15．（本小题共13分）

在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长； （Ⅱ）求梯形ABCD的高．

（2015丰台二模）15.（本小题共13分）

在△ABC中，A30，BC25，点D在AB边上，且BCD为锐角，CD2，

△BCD的面积为4．

（Ⅰ）求cosBCD的值； （Ⅱ）求边AC的长．

（2016海淀一模）15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且

AD1．记∠ACD＝ ，∠BCD＝． DB3

（Ⅰ）求证：

ACsin ； BC3sin（Ⅱ）若6,2,AB19，求BC 的长．

（2015房山一模）15．（本小题共13分）

已知函数f(x)sin(2x6)2cos2x1(xR).

（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知fA外接圆的半径为3，求a的值.

1，且△ABC2

（2013石景山一模）15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)sin(2x6)cos2x．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知f(A)求△ABC的面积．

3B，,a2，

23

（2013朝阳二模）15.（13分） 在

△

ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

f(A)2cosAAAAsin()sin2cos2.

2222（Ⅰ）求函数f(A)的最大值；

（Ⅱ）若f(A)0,C

,a6，求b的值． 12（2014东城一模）15. （本小题共13分）

在ABC中，

sinA3cosB ab（1）求角B的值；

（2）如果b2，求ABC面积的最大值

（2013东城一模）（15）（13分）

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA3acosB． （Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）若b23，求ac的最大值．

（2014丰台二模）（15）（本小题满分13分）

已知△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边长分别为a,b,c,且abab3,C60o. （Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）求ab的取值范围.

22

（2014石景山一模） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为3a2bsinA，

所以3sinA2sinBsinA，…………………………2分

因为0A，所以sinA0， 所以sinB3， 2………………………… 4分

因为0B，且abc，所以B60．…………………………6分 （Ⅱ）因为a2，b7，

222所以由余弦定理得(7)2c22c解得c3或c1（舍），

1，即c22c30， 2所以c边的长为3．…………………………10分

11333．…………………………13分 SABC=acsinB232222

（2014西城一模） 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为b2c2a2bc，

b2c2a21所以cosA，……………………………… 3分

2bc2又因为A(0,π)，

所以Aπ．……………………………… 5分 3

（Ⅱ）解：因为cosB6B(0,π)，， 33．……………………………7分 3所以sinB1cos2B由正弦定理

ab，………………………………9分 sinAsinB得absinA3．……………………………10分 sinB因为b2c2a2bc，

所以c22c50，

解得c16， 因为c0， 所以c61．……………………………11分

故△ABC的面积S1323．……………………………13分 bcsinA22

（2014海淀二模）

15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得

ab ----------------------------2分 sinAsinB因为a27sinA,b21

所以sinBbsinA21sinA3 ---------------------------5分 a227sinA在锐角ABC中，B60 ---------------------------7分

（Ⅱ）由余弦定理可得b2a2c22accosB ----------------------------9分 又因为a3c

所以219c2c23c2，即c23-------------------------------11分

解得c3 -------------------------------12分

b2c2a210可得A90，不符合题意， 经检验，由cosA2bc27所以c3舍去.--------------------13分

（2015西城二模）

（2013丰台二模）

15．解: （Ⅰ）2sin2(BC)3sin2A.

2sin2A23sinAcosA, ……………………….2分

sinA0,sinA3cosA,tanA3, ……………………….4分

0A,A60°. …………………….6分

（Ⅱ）在ABC中, BCABAC2ABACcos60,BC7,AC5,

22249AB2255AB,AB25AB240,AB8或AB3(舍),………….10分

SABC113ABACsin6058103 . …………………….13分 222

（2014延庆一模） 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）cosB34，sinB……………………1分

55sinAsin(BC)……………………2分

sinBcosCcosBsinC……………………4分

423272……………………6分 525210（Ⅱ）ba……………………8分 sinBsinAb2472， 51082……………………10分 7b1SABCabsinC，……………………11分

21822 2272

8………………………………13分 7（2015顺义一模）

15.解:(I)在ABC中,因为BA2,

所以BA2,即

2B, …….............................................................2分

所以sinAsinBsinBcosB ..........................................4分 2263 ...........................................5分 1sin2B1332由正弦定理,

bsinAab得asinAsinBsinB3263333. ...........................7分

(II)因为BA2,即BA2,

所以B为钝角,A为锐角.

由(I)可知,sinA3, 3236所以cosA1sin2A1. ...........................................9分 3363,cosB, ...........................................10分 33又sinB所以cosCcosABcosAB ...........................................11分 ...........................................12分

cosAcosBsinAsinB6336333322.3

...........................................13分

（2016东城一模） （15）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

cosCcosABcosAB2 2  C45 ……3分

0

BC22，AC2，

222220 ABACBC2AC•BCcosC(22)282cos45 4

AB2 ……7分

（Ⅱ）由f(x)sin(2x3)， 42解得 2x2，kZ ， 2k或2x2k43435或x2k2，k1,k2Z. 2424≥，当k1k2时取等号, 66解得x1k1 因为 x1x2(k1k2)所以 当f(x)3时，相邻两交点间最小的距离为. …………13分 26

（2015延庆一模） 15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）cos225， 5 cos2cos2212(2523)1 …………………2分 55 AC2AB2BC22ABBCcos

254252

17 ……………………5分

35AC17 ……………………6分

（Ⅱ）BAC6,ABC,BCA5………………7分 6

ABBC2451 ……………………9分 sin()sin6625)， 655),(0,) ……………………10分 66AB4sin(f()4sin(

55(0,)， 665时，即时 623当

f()的最大值为4 …………………………13分

（2016西城一模） 15．（本小题满分13分） (1)解：因为sinB3sinC， 由正弦定理

abc，得b3c， sinAsinBsinCπ，a7，得7b2c2bc 3由余弦定理a2b2c22bccosA及Ab2b2所以b()7，解得b3.

332（2）解：由Aπ2π，得BC， 33所以sin(2πC)3sinC． 3即31cosCsinC3sinC， 2235cosCsinC， 22所以

所以tanC

3． 5（2014朝阳二模） 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由SABC11153bcsinA得，SABC3csin． 2234所以c5．

由a2b2c22bccosA得，a35235cos22249， 3所以a7． ……………7分

73ab（Ⅱ）由得，3sinB， sinAsinB233． 142 所以sinB所以cos2B12sinB

（2015东城一模）

71． ……………13分 98

（2015海淀二模） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为 a36cosA， 236b2c2a2所以 a. ………………3分 22bc因为 c5，b26，

所以 3a240a4930.

解得：a3，或a49（舍）. ………………6分 3（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cosA23636. 3 所以 cos2A2cos2A11. ………………9分 3 因为 a3，c5，b26，

a2c2b21. ………………11分 所以 cosB2ac3 所以cos2AcosB. ………………12分 因为 cba， 所以 A(0,3).

因为 B(0,)， 所以

B2A.

另解：因为 A(0,)，

所以 sinA1cos2A33. 由正弦定理得：

26sinB33. 3 所以 sinB223. 所以 sin2A23363223sinB. 因为 cba，

所以 A(0,)，B(0,32). 所以 B2A.

（2014顺义一模）

………………13分

………………12分 13分

………………

即

31sin2Acos2A1sin(2A)1————5分 2260A，由sin(2A62A611 62，A6)1得2A63 ———7分

（2015石景山期末） 15．（本小题共13分）

（Ⅰ）设CED.在CED中，由余弦定理，得

CE2CD2DE22CDDEcosCDE …………………2分

得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)． …………………4分

在CED中，由正弦定理，得sinCED21 …………………6分 7（Ⅱ）由题设知，所以cos（0，）327 …………………8分 7

而AEB2，所以 3cosAEBcos（222）=coscossinsin 333131273217. ………………11分 =cossin22272714在RtEAB中，BE247. …………………13分

cosAEB

（2015朝阳二模） 15．（本小题共13 分） 解：（Ⅰ）在

中，因为

，所以

．由正弦定理得：

，即．

（Ⅱ）在

整理得过点因为在直角

作

中，由余弦定理得：

，解得

于，中，

，则

为梯形，所以

． （舍负）．

的高． ．

，

即梯形

（2015丰台二模） 15.（本小题共13分）

的高为．

解：（Ⅰ）因为SBCD1BCCDsinBCD4， 2

所以sinBCD25． 5因为BCD为锐角，

所以cosBCD1(2525． ………………6分 )5522（Ⅱ）在BCD中，因为DBCDBC2CDBCcosBCD，

所以DB4． 因为DBCDBC， 所以CDB90．

所以ACD为直角三角形．

因为A30，所以AC2CD4，即AC4． ………………13分

（2016海淀一模） 15．解：（Ⅰ）

在ACD中，由正弦定理,有

2222ACAD …………………2分 sinADCsinBCBD …………………4分

sinBDCsin在BCD中，由正弦定理,有

因为ADCBDCπ,所以sinADCsinBDC …………………6分 因为

AD1ACsin, 所以 …………………7分 DB3BC3sin

（Ⅱ）因为ππ，, 62

πAC23 …………………9分 由（Ⅰ）得BC3sinπ26sin设AC2k,BC3k,k0,由余弦定理,

AB2AC2BC22ACBCcosACB …………………11分

代入,得到194k9k22k3kcos222π, 3解得k1,所以BC3. …………………13分

（2015房山一模） 15． （本小题共13分）

31解：（Ⅰ）∵f(x)sin(2x)2cos2x1sin2xcos2xcos2x ………………2分

622 31sin2xcos2x=sin(2x) ………………3分 226 由22k2x622k(kZ)得，3kx6k(kZ) 5分

∴f(x)的单调递增区间是[3k,6k](kZ) ………………7分

（Ⅱ）∵f(A)sin(2A6)1，0A，2A2 2666 于是2A65 6 ∴ A3 ……………10分

∵ABC外接圆的半径为3 由正弦定理

a2R，得 sinA

a2RsinA2333， ……………13分 2

（2013石景山一模） 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)sin(2x6)cos2x

sin2xcos6cos2xsin6cos2x

32sin2x32cos2x 3(12sin2x32cos2x)

3sin(2x3) 令2+2k2x32+2k

512+kx12+k 函数f(x)的单调递增区间512+k，12+k(kZ). （Ⅱ）由f(A)32，sin(2A13)=2，

…………1分

…………3分

…………5分

…………6分

因为A为ABC内角，由题意知0A25，所以2A 3333因此2A5，解得A． …………8分 364ab，得b6， …………10分 sinAsinB由正弦定理

由A4，由B3，可得sinC62 ，…………12分 4∴s1absinC126226233． …………13分

42

（2013朝阳二模）

（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为f(A)2cosAAAAsinsin2cos2 2222sinAcosA2sin(A).

4因为A为三角形的内角，所以0A， 所以. A444所以当A3时，f(A)取得最大值，且最大值为2. ………6分 ，即A4422sin(A)0，所以sin(A)0．

44（Ⅱ）由题意知f(A)又因为A，所以A0，所以A． 44444又因为C，所以B． 123

由正弦定理

abasinB得，bsinAsinBsinA6sinsin433． …………13分

（2014东城一模） 15．（共13分）

解：⑴因为

absinA3cosB，， sinAsinBab所以sinB=3cosB，tanB=3． π)． 因为B(0，所以B=⑵因为B=π． 3π， 3a2c2b21， 所以cosB2ac2因为b2，

所以a2c2=ac42ac，

所以ac4（当且仅当ac时，等号成立）， 1所以S△ABCac，sinB3，

2所以△ABC面积最大值为3．

（2013东城一模） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为bsinA3acosB，

由正弦定理可得sinBsinA3sinAcosB， 因为在△ABC中，sinA0，

所以tanB3. 又0B， 所以B. 3222（Ⅱ）由余弦定理 bac2accosB，

因为B，b23， 322所以12acac.

因为ac2ac， 所以ac12.

当且仅当ac23时，ac取得最大值12.

（2014丰台二模）

22