功和功率

第五章 机械能

一、功和功率

1.功：功是力的空间积累效应。它和位移相对应（也和时间相对应）。计算功的方法有两种：

⑴按照定义求功。即：W=Fscosθ。 在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当

0时F做正功，当时F不做功，当时F做负功。

222 这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。

⑵用动能定理W=ΔEk或功能关系求功。当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。 这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。

例1. 如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有

A.FLcos B.FLsin C.FL1cos D.mgL1cos

θ 解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。 F做的功等于该过程克服重力做的功。选D F m ⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。选B

⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D

在第三种情况下，由FLsin=mgL1cos，可以得到F1costan，可见

mgsin2L 在摆角为θ 时小球的速度最大。实际上，因为F与mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终

2 不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。 2.一对作用力和反作用力做功的特点

⑴一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。

⑵一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。

3.功率：功率是描述做功快慢的物理量。

⑴功率的定义式：P

W，所求出的功率是时间t内的平均功率。 t08高考回归课本 2013-8-3 15:01

⑵功率的计算式：P=Fvcosθ，其中θ是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，v取瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。

⑶重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。

v ⑷汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速

a

运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都

F f 是P=Fv和F-f = ma

①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒

定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值vmPmPm。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这

Ff种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。

②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再

PP增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为vmmmvm，此后汽车要想继续加Ff速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs计算，不能用W=Pt计算（因为P为变功率）。 要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。

例2. 质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？

解：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即Pm=fvm，而速度为v时

2

的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s

二、动能定理

1.动能定理的表述：合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=ΔEK

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

和动量定理一样，动能定理也建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。

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2.应用动能定理解题的步骤

⑴确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。

⑵对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。 ⑶写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

⑷写出物体的初、末动能。⑸按照动能定理列式求解。

例3. 将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。

v

f v /

G f G

解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：

11122 mgHmv0和0.8mgfHmv0，可得H=v02/2g，fmg

242再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程

12123重力做的功为零，所以有：f20.8Hmv0mv，解得vv0

522 从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程

简单；有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。

例4. 如图所示，小球以大小为v0的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为vB；若以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为vA。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道。比较vA 、vB的大小，结论是 A.vA>vB B.vA=vB C.vAD B

解：小球向右通过凹槽C时的速率比向左通过凹槽C时的速率大，由向心力方程

mv2可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小NmgRmv2球向右通过凸起D时的速率比向左通过凸起D时的速率小，由向心力方程mgNR可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多。所以小球向右运动全

A

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过程克服阻力做功多，动能损失多，末动能小，选A。 三、机械能守恒定律

1.机械能守恒定律的两种表述

⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

⑵如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能

的总量保持不变。

对机械能守恒定律的理解：

①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。 2.机械能守恒定律的各种表达形式

⑴mgh121mvmghmv2，即EpEkEpEk；

22⑵EPEk0；E1E20；E增E减

用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因

为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。 3.解题步骤

⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。

例5. 如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。

O 开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统

A 由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小

v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大B 速度vm。

解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是

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118gLvB的2倍。2mg2L3mgL2mv23m，解得v 22112⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL(1+sinα)，此式可化简为4cosα-3sinα=3利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°α=16°

⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，

21122m2v3mv2=2mg2Lsinθ22-3mgL(1-cosθ)=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgL，解得vm4gL 11A O O A v1/2 O A α θ θ α B B B v1 ⑴ ⑵ ⑶

本题如果用EP+EK= EP/+EK/这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用ΔE增=ΔE减就要简洁得多。

四、功能关系

做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。

需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。突出：“功是能量转化的量度”这一基本概念。

⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。 ⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理。 ⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其=ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。

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⑷当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。 ⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f d=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。 例6. 质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程

F 中，下列说法中正确的有 v A. 物体的重力势能增加了mgH B.物体的动能减少了FH a B. 物体的机械能增加了FH

G D.物体重力势能的增加小于动能的减少

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„AC

例7. 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是

A.在B位置小球动能最大 B.在C位置小球动能最大

C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

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