线性代数课程中“逆矩阵”的教学设计与思考

高等教育　２Ｏｌ５．０４　线性代数课程中“逆矩阵”的教学设计与思考　文／涂正文吴艳秋彭扬　摘要：线性代数是一门内容抽象的课程，与高等数学相比较，线性代数课程的内容是学生在中学阶段不　曾接触过的，学生学习难度较大，本文就本课程中“逆矩阵”这一小节的内容，结合自己的教学实践浅谈如何　处理这一小节内容。　关键词：线性代数；逆矩阵；教学设计　中图分类号：Ｏ１５１　文献标志码：Ａ　文章编号：２０９５—９２１４（２０１５）０４—００９１—０１　次变号”，教会学生快速写出２阶方阵的逆矩阵。　逆矩阵是线性代数中非常抽象的概念，学生学习难度较大　本　文结合笔者的教学实践，浅谈逆矩阵的教学设计。　一、引入　例ｓ设…＝　判定Ａ是否可逆？若可逆，求　在数的运算中我们知道，当数。≠０时，除以数。相当于乘上　这个数的倒数ａ～，有了倒数这一概念之后，除法运算全部转化为　乘法运算。对于矩阵而言，是否也存在类似于倒数作用的一个矩　阵，而且有了该矩阵，就相当于有了矩阵的除法运算呢？类似于倒　数作用的矩阵又该如何去定义呢？　引入的设计意图：可将抽象的陌生的逆矩阵的概念与熟悉的数　的除法运算类比，将陌生转化为熟悉，降低学生的理解难度。　二、新课　其逆矩阵。　例３的设计意图：通过此例的求解过程，强调利用公式Ａ～＝　３、逆矩阵的性质及结论　（１）若ｎ阶方阵Ａ可逆，则Ａ　也可逆，且（Ａ　）　＝Ａ；　（２）若ｎ阶方阵Ａ可逆，数Ａ≠０，则ｈＡ也可逆，且（ＡＡ）　＝　～；　１、逆矩阵的定义　对于数。而言，当ｏ≠０时有倒数　＝＝。～，且使ｏｏ～＝ｏ～ｏ　（３）若ｎ阶方阵Ａ可逆，则　也可逆，且（Ａ　）　＝（Ａ　）　；　１，类似于数的倒数，矩阵有如下定义：　定义１设　为ｎ阶方阵，若存在　阶方阵　，使得　ＡＢ＝ＢＡ＝，　（４）若ｎ阶方阵Ａ、Ｂ都可逆，则乘积ＡＢ也可逆，且（ＡＢ）　＝　Ｂ一　Ａ～：　（５）若ｎ阶方阵Ａ可逆，且ＡＢ＝ＡＣ，则Ｂ＝Ｃ；　（６）若　阶方阵Ａ可逆，且ＡＢ＝０，则Ｂ＝０。　设计意图：与教材相比较，教学过程中增加了结论（５）（６），　则称Ａ是可逆矩阵，且称Ｂ为Ａ的逆矩阵；若　不存在，则称　Ａ是不可逆矩阵。　首先指出对于ｎ阶方阵　而言，满足ＡＢ：ＢＡ＝，的矩阵曰是唯　一这样的教学设计，主要与矩阵乘法的运算规律：　若ＡＢ＝ＡＣ，Ａ≠０，不能推出Ｂ＝Ｃ；若ＡＢ＝０，Ａ≠０，不　能得到Ａ≠０，Ｂ＝０。　４、利用逆矩阵求解矩阵方程　的。　将Ａ的唯一的逆矩阵记为Ａ～，读作Ａ的逆，即有ＡＡ～＝Ａ～Ａ＝，。　设计意图：定义１给出了判定ｎ阶方阵可逆以及求解逆矩阵的　方法——待定系数法。　例ｌ　判定下列矩阵是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。　含有未知矩阵　的方程称为矩阵方程，有以下三种情况：　（１）矩阵方程Ａ　＝Ｂ，其中Ａ为　阶可逆方阵，则ＡＸ＝Ｂ有　唯一解Ｘ＝Ａ—Ｂ；　㈩Ａ＝（　）；　（２）Ａ　（ｏ１　２１）。　例１　的设计意图：例１采用的是待定系数法，依赖于解线性　方程组，不仅判断出ｎ阶方阵Ａ是可逆的，同时当ｎ阶方阵Ａ可逆　时，可求出它的逆矩阵。但是随着方阵Ａ阶数的增大，此法的计算　量势必增大。　２、逆矩阵的判定定理　定理１　ｔ／，阶方阵Ａ可逆的充要条件是１　Ｉ≠０，且当Ａ可逆时　＝　（２）矩阵方程ＸＡ＝Ｂ，其中Ａ为ｎ阶可逆方阵，则ＸＡ＝Ｂ有　唯一解　＝ＢＡ～；　（３）矩阵方程ＡＸＢ＝Ｃ，其中Ａ，Ｂ分别为ｎ阶和ｍ阶可逆方　阵，则ＡＸＢ＝Ｃ有唯一解Ｘ＝Ａ　ＣＢ～．　设计意图：与引入呼应，强调有了逆矩阵相当于矩阵有了类似　于数的除法运算。　总结：线性代数课程教学，必须重视该课程的抽象性带给学生　的困扰，教学实践中一定要将陌生的矩阵知识与熟悉的数的相关知　识结合进行类比学习，降低学生的学习难度。　（作者单位：重庆三峡学院数学与统计学院）　参考文献：　Ａ　。　例２设方阵Ａ＝ｆ。？１，当ｎ，ｂ，ｃ，ｄ满足什么关系时，Ａ可　逆？当Ａ可逆时，求其逆矩阵Ａ～。　例２的设计意图：利用２阶方阵的伴随矩阵的口诀“主对调，　［１］同济大学数学系．工程数学一一线性代数［Ｍ］．２００７年　５月第五版．　［２］北京大学数学系几何与代数教研室．高等代数［Ｍ］．　２００４年第三版．　作者简介：涂正文（１９８４一），男，土家族，湖北宣恩，讲师，研究生，重庆三峡学院，稳定分析。　吴艳秋（１９８２一），女，汉族，四川宜宾，讲师，研究生，重庆三峡学院，数学教育。　彭扬（１９８６一），女，汉族，四川绵阳，助教，研究生，重庆三峡学院，图像处理。　９１