陕西省商南县高级中学2019届高三上学期四模考试数学(理)试卷

数学试题 （理科）

一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）

1．设i为虚数单位，复数z满足错误！未找到引用源。，则复数z的共轭复数等于（ ）

A． 1-i B． -1-i C． 1+i D． -1+i 2.下列说法不正确的是 （ ）

A. 若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题

B. 命题“x0R,x02x010”的否定是“xR,x2x10” C. “D.

2”是“ysin(2x)为偶函数”的充要条件

0时，幂函数yx在(0,)上单调递减

3. 数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A．1盏

B．3盏

C．5盏 D．9盏

4．设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的大小为（ ）．

A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。

5. 在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列, 且a1,b3. 则SABC（ ）

A．

2 B． 3 C．

3 D． 2 26. 某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积 为

则正视图中x的值为（ ）

A．5 B． 4 C．3 D． 2 7．椭圆错误！未找到引用源。和直线错误！未找到引用源。，若过错误！未找到引用源。的左焦点和下顶点的直线与错误！未找到引用源。平行，则椭圆错误！未找到引用源。的离心率为

A． 错误！未找到引用源。 B． 错误！未找到引用源。 C． 错误！未找到引用源。 D． 错误！未找到引用源。

8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值 是25，则（ ） 13A． a=11 B． a=12 C． a=13 D． a=14 9．已知ABC中， A2， ABAC1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上

的动点，则BQCP的最小值为（ ）

A． 4 B． 2 C． 1 D． 0 10. 已知平面向量a＝(2cos2x，sin2x)，b＝(cos2x，－2sin2x)，f(x)＝a·b，

要得到y＝sin2x＋3cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象( ) π

A．向左平行移动个单位

6

π

B．向右平行移动个单位

6

π

D．向右平行移动个单位

12

π

C．向左平行移动个单位

12

11．三棱锥错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。为等边三角形，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，三棱锥错误！未找到引用源。的外接球的表面积为错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

A． 错误！未找到引用源。 B． 错误！未找到引用源。 C． 错误！未找到引用源。 D． 错误！未找到引用源。

x212．直线yxm是曲线yx3lnx的一条切线，若fxm1满足

x1mfax1fx2x40对x0,恒成立，则a的取值范围为（ ）

A. 234, B. 23, C． 4, D． 234, 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） x3的展开式中的常数项是__________． 13．32x814. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__________．

15．已知实数错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。满足不等式组错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。的最大值为错误！未找到引用源。，则

0acosxdx=_____．

16．如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为__________．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤.）

ab3bc17．(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCsinBsinA． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若等差数列

an的公差不为零，a1sinA1，且a2、a4、a84aaS成等比数列，求nn1的前n项和n．

18.(12分)如图，在三棱锥错误！未找到引用源。中，，平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。是等边三角形， 已知

ACAB2,BC22.

（I）求证：平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。； （II）求二面角错误！未找到引用源。的余弦值.

19．(12分)某学校400名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全

部都在12秒到17秒之间，现抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组

12,13，第二组13,14，…，第五组16,17，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分

布直方图．

（I）请估计该校400名学生中，成绩属于第三组的人数； （Ⅱ）请估计样本数据的中位数（精确到0.01）；

（III）若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第五组则只有一名男生，其他都是女生，现从第一、第五组中各抽取2名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为X，求X的分布列和期望．

x2y221(ab0)P2Cab20．(12分)已知椭圆： 过点且线段

2,1，左、右焦点分别为F， F，

12PF1与y轴的交点Q恰为线段PF1的中点， O为坐标原点．

（I）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）与直线

PF1斜率相同的直线l与椭圆C相交于A、B两点，求当AOB的面积最大时

直线l的方程．

21.(12分)设函数错误！未找到引用源。.

(I)当错误！未找到引用源。时，求函数错误！未找到引用源。的最大值；

(Ⅱ)令错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。其图象上任意一点错误！未找到引用源。处切线的斜率错误！未找到引用源。恒成立，求实数a的取值范围；

(III)当错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，方程错误！未找到引用源。有唯一实数解，求正数错误！未找到引用源。的值.

22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程

曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，

（是参数）,

建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换离的最大值.

23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|a3x||2x|.

得到曲线，曲线任一点为

，求点直线l的距

（Ⅰ）若a2，解不等式f(x)≤3；

（Ⅱ）若存在实数a，使得不等式f(x)≤1a4|2x|成立，求实数a的取值范围.

姓名: 班级：

条形码粘贴区域

(正面朝上，切勿贴出虚线方框)

试场: 座号： 1. 选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用填 橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。 注意2. 非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。 涂 正确填涂 超出答事3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，样 i 项 题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。 例 4. 请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。 第一部分 选择题 (共60分) 一、选择题 （每小题5分，共60分） 7 abcd 1 abcd 8 abcd 2 abcd 9 abcd 3 abcd 10 abcd4 abcd 11 abcd 5 abcd 12 abcd6 abcd 一：BCBAC CA BBD B D 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题 （每小题5分，共20分） 63 13. 16 14. 30 15. 0 16. 2018-2019年度高三四模 数学（理科）答题卷

三、解答题（共70分） 17.（10分） 17.解：（Ⅰ）由 得 …………………2 ，所以 又 的公差为，由得 …………………6分 （Ⅱ）设，且， ∴．又，∴，∴．………8分 ∴ ………10分 ∴ …12 18.(1)【答案】证明：（I）∵在中，, ∴, ∴, 又∵, ∴, 又∵， ∴平面平面; （II）如图建立空间直角坐标系，∴, ∴, ∵设平面的法向量

, 由, ∴, 令, ∴, ∴, 设平面的法向量, 由, ∴, 令 ， ∴, ∴,∴二面角的余弦值为. 19. （1）由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为0.38， 故可估计该校400名学生成绩属于第三组的共有4000.38152（人）． （2）由频率分布直方图易判断，样本数据的中位数落在第三组；设样本中位数为x，根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等可得0.060.16x140.380.5，解得x28014.74（秒）． 19（3）第一组的人数为500.063，其中男生2人，女生1人，第五组的人数为500.084，其中1名男生，3名女生，故X2011C3C1C1C21PX122C3C43的可能取值为1,2,3， ， 102112C3C1C2C1C2C10C10C31， PX22222C3C4C3C42X 1 2 3 P 1 312 16 112C3C2C10C11， PX322C3C46X的分布列为 11111EX123 3266 21 21. （12分）(1) 椭圆C过点P2,1,221①， ab O为线段F1F2的中点， PF连接PF2,Q为线段PF 1的中点， 12F1F2， 22 则c2， ab2②，由①②得a2,b2， c2 椭圆C的离心率为e.  a2 PF1 12x2y2(2)由（1）知椭圆C与的方程为直线l的斜率k，1， 42F1F2224 2不妨设直线l的方程为yxm，联立椭圆C与直线l的方程得 4 52x2mx2m220， 4 102m210m22208m20，解得m.设 2 ，则 Ax1,y1,Bx2,y2 22 8m2242m132m16m2，点O,x1x2,AB1 x1x25585 到AB的距离 32m216m224m1 h·SAOB185162 4m122225 ，当且仅当2m21652m25521622 5 2m252m2时取等号，即m. 2 

21.（12分）(1)依题意，知

当

时，

， 令

因为 当所以(2)所以当

时，时，

有唯一解，所以

，此时

的定义域为

，

，解得，当

，

.(∵时，

) ，

单调递增；

单调递减， ，此即为最大值. ，则有

，在

.

.

有唯一实数解， 上恒成立，

的极大值为

，

，

取得最大值，所以有唯一实数解，所以， ，令

，

(3)因为方程设则因为当当当则所以设函数

是增函数，所以因为

时，

，即，时，时，

，

， (舍去)，

，

，所以

，，在在

上单调递减；

上单调递增； . ，

取最小值

，因为，因为当

，所以时，

(*)

至多有一解，

，即

，解得

.

，所以方程(*)的解为

22. 选做题（必须用2B铅笔涂黑选作信息点）（12分） 22.（Ⅰ）直线的普通方程为，…………………………………2分 ∵ ∴ ………………………3分 将2x2y2,ysin代入上式，，…5分 ……4分 故曲线的直角坐标方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）得，经过伸缩变换，得曲线的方程，6分 则曲线的参数方程为(是参数)， 设点M的坐标为(4cos,sin)……7分 …………8分 由点到直线的距离公式可得,……………9分 当sin()1时，有最大值，故点到直线的距离的最大值为.……10分 23、解：（Ⅰ）不等式f(x)≤3化为|23x||2x|≤3，……当x2时，23x2x3,解得x无解1 ;223时，23x2x3,解得x;3432x43当2x 27时，23x2x3,解得x;3227x32当x所以不等式f(x)≤3的解集为37{x|≤x≤}42；…………5分 （Ⅱ）不等式f(x)≤1a4|2x|等价于|a3x|3|2x|≤1a 即|a3x|3|2x|≤1a，…………………………6分 |a3x|3|2x||a3x||63x|≥|a3x63x||a6|，……7分 f(x)≤1a4|2x|成立， 则|a6|≤1a，……8分 ………………10分 因为若存在实数a，使不等式解得：5a≤2，实数a的取值范围是5(，]2