4. 1
例1设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量.假如有历史记 录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）.
例2将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以X表示空盒子数目，求E（X） 例
3分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，
可以有两种方法进行.（1）将每个人的血分别去验，这就需要N次.（2）按k个人一组 进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说 明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人得血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样，R个人的血总共要化验R+1次.假如每个人化验呈阳性 的概率为P且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p较小时，选取适当的k,按第 二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜.
例4设随机变量X的密度函数为
%,
0<%<1
f(x) = <2-x, 1 < x < 2
求 E (X)
例5如何确定投资决策方向？
某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%,可得利润8万元，失 败的机会为
70%,将损失2万元.若存入银行，同期间的利率为5% ,问是否作此项投 资？
0, 其它
例6设随机变盘的分布律为
X -1 0.2 1）
0 0.3 2 0.5 P 求 +
例7设随机变量（X*）的联合概率密度
丄vy<兀兀>1
其他
例8设二维随机变量（X”）的联合分布律为
x y o 1
2
求数学期望可Y）工
0 1
0.1 0.25 0.15 0.15 0.2
0.15 求随机变量Z = sin/T（X + r）的数学期望。
2
例9国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X (单位：吨)，它服从 [2000,4000]上的均匀分布.设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3千元，但如果销售 不出二积压于仓库，则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元，问需要组织多少货源, 才能使国家的收益期望最大？
例10 —机场班车载有20位旅客自机场开出旅客有10个 车站可以下车如到达一个车站没有祐下车就不停车以X 表示停车的次数求0X)(设每位旅客在各个车站F车是等 可能的，并设各旅客是否下车相互独立).
4. 2
例1设X为掷一颗骰子出现的点数，试求D(X) 例2：设随机变量X具有数学期望 方差D(X) = bG0,
证明：E(X*) = 0, D(X*) = 1,称X*为X的标准化变量
例 3 赵〜N(50,l),Y 〜N(60,4), X与 Y独立，= 3X-2丫一10, 求P{Z > 10} 例4
设活塞的直径(以cm计)X〜N(22.40,0.03‘)，
=
b
气缸的直径丫〜N(22.50,0.042), X, Y相互独立 任取一只活塞任取一只气缸求活塞能装入气缸 的概率
例5设X』独立同分如N(2,4),试求：(1)X -丫的分布
(2) E\\X-Y\\^3)D\\X-Y\\
4. 3
例1 设(X, Y)〜N趴心试求X与丫的
相关系数 例2
已知随机变耿分别服从/V(l,32),/V(0,4‘)，
PXY=—\\【2,设Z = X/3 + y/2.
例3设随机变童(x,y)具有概率密度
社2严 0 求 E(X),E(Y),C\"(X』),Q“ 第五章 5. 1 **厶徹第tut I 求I = £g(xXx的值 我们介绍均值法，步骤是 1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数G 2) 计算g(R, 〃=1，2,…“ 3)用平均值近似积分值 _ 1 “ 即 ! 较上下小于1 %的概率. M IH 回 例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例 与1/6比 例2设每次试验中，事件4发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计，//多大 时，才能在“次独立重复试验中，事件4出现的频率在0.74 ~ 0.76之间的概率大于 0.90? 5. 2 例1炮火轰击敌方防御工事100次，每次轰击命中的炮弹数服从同一分布，其数学期望 为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的，求100次轰击 (1)至少命中180发炮弹的概率； ⑵命中的炮弹数不到200发的概率. 例2 —加法器同时收到20个噪声电压匕• (R = 1,2,…20),设它们是相互独立的随n变量， 且都在区间(0,1)上服从均匀分布记V =空匕， k=l 求P{V>105}的近似值 例3某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元.若老人在该年内死亡，公 司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的槪 率. 例4对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15.若学校共有400名学生，设各 学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布・(1)求参加会议的家长数X超过450的 概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 例5 售报员在报摊上卖报，已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了 100份报时过路人的数目，求P(280 例7某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电童为「千瓦.问 供电所至少要供给这个车间多少电力，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电 不足而影响生产？ 例8设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比 较上下不超过1%的概率. 例9 设随机变量相互独立且 在区间(-1,1) ±服从均匀分布(i = l, 2,…,“),试 证当\"充分大时，随机变量Zn=-±X；近似服从 \"1=1 正态分布，并指出其分布参数 第四、五章习题 例1 设X服从几何分布它的分布律为 P{X=R} = (1 -p)ip, * = 1,2,, 求E(X)和D(X)・ 例2从数字0,1, 2,…,〃中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 例3 (1)设随机变量X的分布律为 X 0 2 6 Pk 3/12 4/12 5/12 求 E(X),E[ln(X+2)]・ ⑵设 X~JT(/l),求 E[(X+1)T]. (3)设随机变量X的概率密度为 x, 0 < x < 1, f(x) = < 2-x, l 求 E(X2). 例4 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度 函数为心 [o, 其他 求(X,y)的协方差矩阵及相关系数. 例5 设随机变量x和Y相互独立,且都服从标准 正态分布，求Z = ylx2 + Y2的数学期望 例6甲、乙两人相约于某地£12:00〜13「00会面， 设分別是甲、乙到达的时间，且设X和Y相互独 立，己知X, 丫的概率密度分别为 其他. 0,其他 求先到达者需要等待用时间的数学期望 例7计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的 fy(y) = < 2y, 0 售报员在报摊上卖报，己知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了 100份报时过路人的数目，求P(280 例10某医院一个月接受破伤孔患者的人数是一 个随机变量，它服从参数2 = 5的泊松分布，各月 接受破伤风患者的人数®互独立•求一年中前9 个月内接受的患者(1)40人〜50人；⑵多于30人 的概率. 第_章 __ 例3化简事件(丽UC)AC 例1 小王参加某智力游戏节目，他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类 问题都能答出的概率为0丄求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 例1中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2,两 类问题都能答出的概率为0丄 为什么不是0.7*0.2 ? 例2设A.B满足P(A) = 0.6,P(B) = 0.7,在何条件下,P(AB)取得最大(小)值？最人(小) 值是多少？ 例1 (分房模型)设有k个不同的球，每个球等可能地落入N个盒子中(k<=N ),设每 个盒子容球数无限，求下列事件的概率 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 某指定的k个盒子中各有一球： 某指定的一个盒子恰有川个球(m<=k ) 某指定的一个盒子没有球； 恰有k个盒子中各有一球； 至少有两个球在同一盒子中： 每个盒子至多有一个球. 例5 “分房模型”的应用 生物系二年级有\"个人，求至少有两人生口相同(设为事件A )的概率. 例2袋中有d只白球，b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取川个球(m<=a+b), 求其中恰有k个(k<=a,k<=m)白球的概率 例3在0,1,23, 例4在1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率. ,9中重复地任取\"(n>=2)个数，求n个数字的乘积能被10整除的概率. 例5 在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？ 例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进 行的，问是否可以推断接待时间是有规定的 例8某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的 时间短于十分钟的概率 例9 （会面问题）甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面.先到的人等候 另一个 人，经过时间t（t 例10两船欲停同一码头，两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码 头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出 码头的概率. 例 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生.问（1） 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？ （2） 3名优秀生分配在同一个班级的概率 是多少？ 例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次，每次任 取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是 一等品”.试求条件概率P（B|A）. 例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次，每次任 取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是 一等品”.试求条件概率P（B|A）. 例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.&能用1500小时的概率为0.4 ,求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率. 例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现 是假钞.求2张都是假钞的概率. 例5盒中装有5个产品，其中3个一等品,2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，求 （1） 取两次，两次都取得一等品的概率； （2） 取两次，第二次取得一等品的概率； （3） 取三次，第三次才取得一等品的概率； （4） 取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率 例6设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落卞未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 ,若前两次落卞未打破，第三次落卞打破的概率为9/10.试求 透镜落下三次而未打破的概率. 例7 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30% ,二厂生产的占50% , 1%, 1%，问从这批产品中 三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 任取一件是次品的概率是多少？ 例8每100件产品为一批，已知每批产品中次品数不超过4件，每批产品中有f件次品的 概率为 i 0 P 0.1 0.2 1 0.4 2 0.2 3 0.1 4 从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则 就认为这批产品合格.求 (1) 一批产品通过检验的概率； (2) 通过检验的产品中恰有f件次品的概率. 例9 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试 验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应 为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则 有P(A\\C) = 0.95, P(平)=0.95.现在对自然人群 进行普查，设被试验的人患有癌融概率为0.005, 即 P(C) = 0.005,试求 P{C\\A). 例10 (选择题的合理性)现在几乎所有的考试试卷中，都会有选择题.一般地，每个选择 题有4个答案，其中只有1个是正确的.当学生不会做时可以随机猜测，假如一个学生会做 题与不会做题的概率相等.现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率. 例11 对以往数据分析结果表明,当机器调整得 良好时，产品的合格率为98%,而当机器发生某 种故障时，其合格率为55%•每天早上机器开动 时，机器调整良好的概率知5 %.试求己知某日 早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的 概率是多少？ 例1已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次，每次取1球.设第i次取得 白球为事件如 (/ =1,2).求 p(A), P(A2|AJ, 例3 —个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色， 而第四面同时染上红、白、黑三种颜色•现以A , B, C分别记投一次四面体出现红、白、 照颜色朝下的爭件，问A, B, C是否相互独立？ 已知事件 A, B, C 相互独立，证明事件 伽 甲、乙两人进行乒乓球:匕赛，每局甲胜的 概率为p（p>l/2）,问对甲而言釆用三局二胜制 有利，还是采用五局三胜制毎0•设各局胜负相 互独立 例5 同时抛掷一对骰子，共抛两次，求两次所得点数分别为7与11的概率. 例7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7,飞机被 一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6 ,若三人都击中飞机必 定被击落，求飞机被击落的概率. 4与 BUC 也相互独立 例8 要验收一批（100件）乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器 的测试是相互独立的），如呆3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒 绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器 经测试被误认为不纯的概率为0.01.如呆已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这 批乐器被接收的概率是多少？ 例3设随机变量X的分布函数为 F（x） = A+ Barctgx （-00 例4 一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X的分布函数 第二章 例1从1〜10这10个数字中随机取出5个数字，令X表示取出的5个数字中的最人值.试 求X的分布律 例2设一汽车在开往目的妞的道路上需经过四 组信号灯,每组信号灯如的概率禁止汽 车通过以x表示汽车首次停下时;它已通过的信 号灯的组数（设各组信号灯的工作慰目互独立的）， 求X的分布律 例3设随机变量X的分布律为 X -12 3 1 1 1 Pk 4 2 4 1 2 2 5 2 求X的分布函数,并求P{X < -}, P{- P{1 (1)命中3枪的概率是多少？(2)至多命中3枪的概率是多少？ 例5 —根布条上的疵点数X服从参数为2 = 0.5的泊松分布，试求： (1) 此棉条上有2个疵点的概率是多少？ (2) 此棉条上至少有2个疵点的概率是多少？ 例6 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车，在一天的某段时间内出事故 的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率 是多少？ 例8设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的 故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由四人维护，每人负贵20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的人 小. 实例 设某批产品的次品率为卩,对该批产品做有放回的抽样检查，直到第一次抽到一 只次品为止(在此之前抽到的全是正品)，那么所抽到的产品数X是一个随机变量，求X 的分布律. 例1 设随机变量X具有概率密度 kx9 0 V x V 3, 3 K 4, (1)确定常 其它. (2)求X的分布函数 7 ⑶求 例 设连续型随机变量X的分布函数为 Q x < -a, x F(x) = < 4 + Baicsin—, -a x > CL 求：(1)系数AB的值； (3) 随机变量X的概率密度 例3设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900 ~ 1100 落在950 ~ .求R的概率密度及R 1050的概率. 例4 设随机变量X在［2, 5 ］上服从均匀分布，现 对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值 大于3的概率. 例 将一温度调节器放置辄:存着某种液体的 容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X(以。C计) 是一个随机变量,且X〜N(d, 0.5) ⑴若d = 90、求X小于89的概率 (2)若要求保持液体的温鯉少为8(TC的概率不 低于0.99,问d至少为 多少。 例设随机变量X的概率密度为 x<0, ,x>0. 求随机变量Y = X2和Y = 2X+3的概率密度 例己知随机变量X的概率密度为 f(x) = 4»卜1, -co (2) 求X的分布函数F(x); (3) 求Y = X2的概率密度 例设离散型随机变量X的分布函数为 a XV —1, -1 < X < 1, a, 尸(x)“2 1 < x < 2, ， 3 a + b, x>2 ・ 且P{X = 2} =丄,试确定常数d,b,并求X的分布律 例 设某城Tl?成年男子的身高X〜N(170,6‘) (单位:cm) ⑴问应如何设计公共汽饼门的高度使男子与 车门顶碰头的几率小70.01? (2)若车门高为182cm,求100个成年男子与车门 顶碰头的 人数不多于2的概率・ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容