典题探究
例1 已知:如图,点P是线段AB上的动点,分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC
和正△BPD,AD和BC交于点M.
(1)当△APC和△BPD面积之和最小时,直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数; (2)将点P在线段AB上随意固定,再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α,当α<60°
时,旋转过程中,∠AMC的度数是否发生变化?证明你的结论.
(3)在第(2)小题给出的旋转过程中,若限定60°<α<120°,∠AMC的大小是否会发生变
化?若变化,请写出∠AMC的度数变化范围;若不变化,请写出∠AMC的度数.
例2 探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果: ;
(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
1∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请2给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时, 如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明..
例3 已知:△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结EC,取EC的中点M,联结BM和DM.
(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系
是 ;
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
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BBEMADCDEAMC
图1 图2
例4 在ABCD中,ADBC,过点D作DEDF,且EDFABD,连接EF,EC,N、P分别为EC,BC的中点,连接NP. (1)如图1,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及ABD与MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论;
(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中得到的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明(1)中的结论.
演练方阵
A档(巩固专练)
1.(1)如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,联结AD、BE 相交于点P,求证: BE = AD.
(2)如图2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形
ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,联结AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是 (只填序号即可)
①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°; (3)如图2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.
ECAPADBCDAPBPEFDBCD 图1
图2
F- 2 -
2. 已知:AD2,BD4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠ADB=60°时,求AB及CD的长;
(2)当∠ADB变化,且其它条件不变时,求CD 的 最大值,及相应∠ADB的大小.
3. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD=AC,AB=AN,连结CD、BN,CD的延长线交BN于点F. (1)当∠ADN等于多少度时,∠ACE=∠EBF,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,设∠ABC=,∠CAD =,试探索、满足什么关系时,△ACE≌△FBE,并说明理由.
4. 在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ACB=30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1. (1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数; (2)如图2,连接AA1,CC1.若△CBC1的面积为3,求△ABA1的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,直接写出线段EP1长度的最大值与最小值.
C1AAA1BA1图1CB图2CC1A1AEB图3P1C1PC5. 问题1:如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,若∠
MBN=
1∠ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不用证2明;
问题2:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上,若∠MBN=
1∠ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎样的数2量关系?写出你的猜想,并给予证明.
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6. 如图,四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中,正
方形A1B1C1D1可以绕中心O旋转,正方形ABCD静止不动.
(1)如图1,当D、D1、B1、B四点共线时,四边形DCC1D1的面积为 __; (2)如图2,当D、D1、A1三点共线时,请直接写出
CD1= _________; DD1(3)在正方形A1B1C1D1绕中心O旋转的过程中,直线CC1与直线DD1的位置关系是
______________,请借助图3证明你的猜想.
B档(提升精练)
1. 如图,△ABC中,∠ACB90, AC2,以AC为边向右侧作等边三角形ACD. (1)如图24-1,将线段AB绕点A逆时针旋转60,得到线段AB1,联结DB1,
则与DB1长度相等的线段为 (直接写出结论);
(2)如图24-2,若P是线段BC上任意一点(不与点C重合),点P绕点A逆时针旋转60得到点Q,求ADQ的度数; (3)画图并探究:若P是直线BC上任意一点(不与点C重合),点P绕点A逆时针旋转60得到点Q,是否存在点P,使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是梯形,若存在,请
指出点P的位置,并求出PC的长;若不存在,请说明理由.
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2. 如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边 上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G. ①求证:BD⊥CF; ②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.
3. 已知:在△AOB与△COD中,OA=OB,OC=OD,AOBCOD90.
(1)如图1,点C、D分别在边OA、OB上,连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM,
则线段AD与OM之间的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图2,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转,旋转角为α (090).连结AD、
BC,点M为线段BC的中点,连结OM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与
△AOB的边OA在同一条直线上时,点C落在OB上,点M为线段BC的中点.
请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明.
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4. 在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上,将
三角板绕点O旋转. (1)当点O为AC中点时,
①如图1, 三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,连接EF,猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系(无需证明);
②如图2, 三角板的两直角边分别交AB,BC延长线于E、F两点,连接EF,判断①中的猜想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(2)当点O不是AC中点时,如图3,,三角板的两直角边分别交AB,BC于E、F两点,若AO1,
AC4求OE的值. OF
5. 如图1,四边形ABCD,将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转,若角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一条边与CB的延长线交于点E,连接EF. (1)若四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF-BE.请你思考如何证明这个结论(只思考,不必写出证明过程);
(2)如图2,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF=
1∠BAD时,EF与21∠BAD时,EF与2DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(只需写出结论); (3)如图3,如果四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF=
DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式并给予证明.
(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可).
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C档(跨越导练)
1. 已知:正方形ABCD中,MAN45,绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N. (1)如图1,当M有BMDNMN.当MAN绕点A旋转到BMDN时,AN 绕
点A旋转到BMDN时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;
(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明.
2. 如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线ACBD相交于O.
(1) 如图1,设 E、F分别是AD、AB上的点,且∠EOF=90°,线段AF、BF和EF之间存在一
定的数量关系.请你用等式直接写出这个数量关系;
(2)如图2,设 E、F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF=45°,请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系,并证明.
3. 问题:如图1, 在Rt△ABC中,C90,ABC30,点D是射线CB上任意一点,
△ADE是等边三角形,且点D在ACB的内部,连接BE.探究线段BE与DE之间的数量关系. 请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1) 当点D与点C重合时(如图2),请你补全图形.由BAC的度数为 ,点E落在 ,容易得出BE与DE之间的数量关系为 ;
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(2) 当点D在如图3的位置时,请你画出图形,研究线段BE与DE之间的数量关系是否与
(1)中的结论相同,写出你的猜想并加以证明.
4. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(0线段BD。
60),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明; (3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求的值。
5. 在△ABC中,BABC,BAC,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ。
(1) 若且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请
补全图形,并写出CDB的度数;
(2) 在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想
CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;
(3) 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQQD,请直接写出的范围。
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参考答案
四、典题探究
例1 ⑴ 1,60° ⑵ 不变化.
证明:如图,点E在AP的延长线上,
∠BPE=α<60°. ∵∠BPC=∠CPD+60°, ∠DPA=∠CPD+60°, C ∴∠BPC=∠DPA.
在△BPC和△DPA中, 又∵BP=DP,PC=PA,
∴△BPC≌△DPA.
∴∠BCP=∠DAP. ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
A = 120°-∠BCP -∠MAC
=120°-(∠DAP+∠MAC)-∠PCA =120°-∠PAC
= 60°,且与α的大小无关.
⑶ 不变化,60° 例2 探究:
(1)通过观察可知,EF= BE+DF.
(2)结论EF= BE+DF仍然成立(如图2).
证明:将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到ABF', ∴△ADF≌ABF',
∴∠1=∠2, AF'=AF,BF'=DF. ∠ABF'=∠D 又∵∠EAF=
M P D E B 1∠BAD,即∠4=∠2+∠3. 2∴∠4=∠1+∠3.
又∵∠ABC+∠D=180°,
∴∠ABF'+∠AB E=180°,即:F'、B 、E共线.
1在△AEF与△AEF中,
AFAF,413, AEAE∴△AEF≌△AEF'中,
∴EF=EF',又EF'=BE+BF',
(图2) 即:EF= BE+DF.
(3)发生变化. EF、BE、DF之间的关系是EF= BE-DF.
证明:将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,点F落在BC上点F'处, 得到△ABF',如图3所示. ∴△ADF≌△ABF',
∴∠B AF'=∠DAF , AF'=AF,BF'=DF. 又∵∠EAF=
1∠BAD,且∠B AF'=∠DAF 2 ∴∠F'AE=∠FA E. 在△F'AE与△FA E中
- 9 -
AFAF,FAEFAE, AEAE∴△F'AE≌△FA E. ∴EF=EF',
又∵BE= BF'+EF', ∴EF'=BE-BF'.
即EF= BE-DF.
例3 解:(1)BM=DM且BM⊥DM.
(2)成立.
理由如下:延长DM至点F,使MF=MD,联结CF、BF、BD. 易证△EMD≌△CMF.
∴ED=CF,∠DEM=∠1.
∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°,
∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°. ∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6.
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9,
∴∠8=360°-45°-(180°-∠6-∠9)-(∠3+∠9)
=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+
∠6 .
∴∠8=∠BAD.
又AD=CF. ∴△ABD≌△CBF.
∴BD=BF,∠ABD=∠CBF. ∴∠DBF=∠ABC=90°. ∵MF=MD,
∴BM=DM且BM⊥DM..
例4 解:(1) NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180
(2)点M是线段EF的中点(或其它等价写法). 证明:如图, 分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形, A ∴ AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB, ∴∠ABD=∠BDC. ∵ ∠A=∠DBC, ∴ ∠DBC=∠DCB. ∴ DB=DC. ①
∵∠EDF =∠ABD, ∴∠EDF =∠BDC. ∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF. ②
又 DE=DF, ③
由①②③得△BDE≌△CDF. ∴ EB=FC, ∠1=∠2.
∵ N、P分别为EC、BC的中点,
∴NP∥EB, NP=
9
D
F
M 1 4 E N P
3 2 B
C
1EB. 21FC. 2 同理可得 MN∥FC,MN= ∴ NP = NM.
∵ NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
- 10 -
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4 =∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.
∴ ∠ABD +∠MNP =180.
课后练习
A档(巩固专练)
1.(1)证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD
∴△BCE≌△ACD(SAS) ∴BE=AD
(2)①②③都正确
(3)证明:在PE上截取PM=PC,联结CM
由(1)可知,△BCE≌△ACD(SAS) ∴∠1=∠2
设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中 ∵∠1=∠2,∠CGE=∠PGD
∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM是等边三角形 ∴CP=CM,∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120°
∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME(AAS) ∴PD=ME
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.
即PB+PC+PD=BE.
2. 解:(1)过点A作AGBC于点G . ∵∠ADB=60°,AD2, ∴DG1,AG ∴ GB3,
E1CAPBMG2DF3,
AG3, BG3o ∴ABG30,AB23,
∴ tanABG ∵ △ABC是等边三角形,
∴ DBC90,BC23, 由勾股定理得:CDooDBBC423222227. (2)作EAD60,且使AEAD,连接ED、EB.
∴△AED是等边三角形,
∴AEAD,EAD60,
∵ △ABC是等边三角形,
∴ABAC,BAC60,
∴EADDABBACDAB, 即EABDAC, ∴△EAB≌△DAC.
oo- 11 -
∴EB=DC .
当点E、D、B在同一直线上时,EB最大, ∴EB246,
∴ CD 的最大值为6,此时ADB120. 3. (1)解:当∠ADN等于90度时,∠ACE=∠EBF.
理由如下:
∵∠ACB=∠ADN =90°,
∴△ABC 和△AND均为直角三角形 又∵AC=AD,AB=AN ∴△ABC≌△AND
∴∠CAB=∠DAN
∴∠CAD=∠BAN
又∠ACD=∠ADC, ∠ABN=∠ANB
∴∠ACD= ∠ABN 即∠ACE=∠EBF
(2)解:当2时,△ACE≌△FBE.
在△ACD中,∵AC=AD,
o180CAD18090 ∴ACD22 在Rt△ABC中,
∠ACD+∠BCE=90°,即90BCE90, ∴∠BCE=. ∵∠ABC=, ∴∠ABC=∠BCE ∴CE=BE
由(1)知:∠ACE=∠EBF,又∠AEC=∠BEF
∴△ACE≌△FBE.
4. 解:(1)如图1,依题意得:△A1C1B≌△ACB.
∴BC1=BC,∠A1C1B =∠C=30°. ∴∠BC1C = ∠C=30°. ∴∠CC1A1 = 60°.
(2)如图2,由(1)知:△A1C1B≌△ACB.
∴A1B = AB,BC1 = BC,∠A1BC1 =∠ABC. ∴∠1 = ∠2,
A1BAB42 C1BBC632AA112∴ △A1BA∽△C1BC ∴
C1SΔA1BASΔC1BC42.
93∵SΔC1BC3, ∴SΔA1BAB图2C4. 3 (3)线段EP1长度的最大值为8,EP1长度的最小值1. 5. 解:(1)猜想的结论:MN=AM+CN .
(2)猜想的结论:MN=CN-AM.
证明: 在 NC截取 CF= AM,连接BF.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°,
∴ ∠DAB+∠C=180°. 又∵ ∠DAB+∠MAB=180°,
- 12 -
∴ ∠MAB=∠C.
∵ AB=BC AM=CF,
∴ △AMB≌△CFB . ∴ ∠ABM=∠CBF , BM=BF.
∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF. 即 ∠MBF =∠ABC.
1∠ABC, 21∴∠MBN=∠MBF.
2∵ ∠MBN=
即∠MBN=∠NBF.
又∵ BN=BN BM=BF,
∴ △MBN≌△FBN. ∴ MN=NF. ∵ NF=CN-CF,
∴ MN=CN-AM .
116. 解:(1)S四边形DCCD=
1(15)2=6; 2DC1MD1OCCD14=; DD13 (3)CC1DD1.
(2)
证明:连接CO,DO,C1O,D1O,延长 CC1交DD1于M点.如图所示: 由正方形的性质可知:
CODO,C1OD1O
CODC1OD145
CODC1ODC1OD1C1OD,
即:COC1DOD1
△COC1≌△DOD1 ODD1OCC1
B1A1BA C1CDOCC1CDO90
C1CDODD1CDO90
CMD90 即:CC1DD1.
B档(提升精练)
1. 解:(1) BC
(2由作图知APAQ,∠PAQ60
∵△ACD是等边三角形.
∴ACAD,CAD60PAQ ∴PACQAD 在△PAC和△QAD中
APAQPACQAD ACAD- 13 -
∴△PAC≌△QAD ∴ADQACP90
(3)如图3,同①可证△PAC≌△QAD ,ADQACP90
当AD∥CQ时,
CQD180ADQ90
∵ADC60,∴QDC30
∵CDAC2,∴CQ1,DQ3,∴PCDQ3且CQAD ∴此时四边形ACQD是梯形.
如图4,同理可证△PAC≌△QAD,ADQACP90 当AQ∥CD时,QADADC60,AQD30 ∵ADAC2,∴AQ4,DQ23,∴PCDQ23 此时DQ与AC不平行,四边形ACDQ是梯形.
综上所述,这样的点P有两个,分别在C点两侧,当P点在C点左侧时,PC3;当P点在
C点右侧时,PC23 2. (1)BD=CF成立.
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形, ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC, ∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAF(SAS). ∴BD=CF.
(2)①证明:设BG交AC于点M. ∵△BAD≌△CAF(已证), ∴∠ABM=∠GCM. ∵∠BMA=∠CMG, ∴△BMA∽△CMG.
∴∠BGC=∠BAC=90°. ∴BD⊥CF
②过点F作FN⊥AC于点N. ∵在正方形ADEF中,AD=DE=, ∴AE==2,
∴AN=FN=AE=1. ∵在等腰直角△ABC 中,AB=4, ∴CN=AC﹣AN=3,BC==4. ∴在Rt△FCN中,tan∠FCN=
=.
- 14 -
∴在Rt△ABM中,tan∠ABM=∴AM=AB=.
∴CM=AC﹣AM=4﹣=,BM=∵△BMA∽△CMG, ∴
.
=tan∠FCN=.
=.…………………………5分
∴∴CG=
. .
=
.
∴在Rt△BGC中,BG=
3. 解:(1)线段AD与OM之间的数量关系是AD =2OM,位置关系是ADOM.
(2)(1)的两个结论仍然成立.
证明:如图2,延长BO到F,使FO=BO,连结CF.
∵M为BC中点,O为BF中点,∴MO为BCF的中位线. ∴FC =2OM.
B∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°,
∴∠AOD =∠FOC .
∵AO =FO,CO=DO, M∴△AOD≌△FOC.
D∴FC=AD.
∴AD =2OM.
C∵MO为BCF的中位线,∴MO∥CF .
O∴∠MOB =∠F.
图2又∵△AOD≌△FOC,∴DAO=F.
∵MOB+AOM=90°, ∴DAO+AOM=90°. 即ADOM.
(3)(1)中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化.
B 证明:如图3,延长DC交AB于E,连结ME, F过点E作ENAD于N.
EM ∵OA=OB,OC=OD,AOBCOD90,
∴ADBBCEDCO45.
C ∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90°.
∴DN=AN. ∴AD=2NE.
∵M为BC的中点,∴EMBC.
DON ∴四边形ONEM是矩形.
图3 ∴NE=OM.
∴AD=2OM.
4. 解:(1)
① 猜想:AE2CF2EF2. ② 成立.
证明:连结OB. ∵AB=BC , ∠ABC=90°,O点为AC的中点, ∴OBAA1ACOC,∠BOC=90°,∠ABO=∠BCO=45°. 2- 15 -
∵∠EOF=90°,∴∠EOB=∠FOC. 又∵∠EBO=∠FCO, ∴△OEB≌△OFC(ASA).∴BE=CF. 又∵BA=BC, ∴AE=BF.
在RtΔEBF中,∵∠EBF=90°,BF2BE2EF2.AE2CF2EF2. (2)解:如图,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N. ∵∠B=90°, ∴∠MON=90°. ∵∠EOF=90°,
A ∴∠EOM=∠FON.
∵∠EMO=∠FNO=90°,∴△OME∽△ONF.
O M ∴OMOE
ONOFE ∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形, ∴△AOM∽△OCN ∴OMAO.
ONOCF B ∵AO1, ∴OE1.
N AC4OF3
5. 解:(2)EF=DF-BE. (3)EF=DF-BE.
证明:在DF上截取DM=BE,连接AM.如图, ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°, ∴∠D=∠ABE. ∵AD=AB,
∴△ADM≌△ABE. ∴AM=AE.
∴∠DAM=∠BAE.
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∴∠DAM+∠BAF=∴∠MAF=
C 1∠BAD, 21∠BAD. 21∠BAD. 2∴∠EAF=∠MAF.
∵AF是△EAF与△MAF的公共边, ∴△EAF≌△MAF. ∴EF=MF.
∵MF=DF-DM=DF-BE, ∴EF=DF-BE.
(4) △CEF的周长为15.
C档(跨越导练)
1. 解:(1)答:(1)中的结论仍然成立,即 BMDNMN.
证明:如图2,在MB的延长线上截取BE=DN,连结AE .
易证 △ABE≌△ADN (SAS). ∴ AE=AN;∠EAB=∠NAD.
BAD90,NAM45,BAMNAD45.
EABBAM45.∴EAMNAM.又AM为公共边, ∴△AEM≌△ANM. MEMN.
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MNMEBEBMDNBM 即 DNBMMN.
(2)猜想:线段BM,DN和MN之间的等量关系为:DNBMMN .
证明:如图3,在DN延长线上截取DE=MB,连结A E .
易证 △ABM≌△ADE(SAS). ∴ AM=AE;∠MAB=∠EAD.
易证 △AMN≌△AEN(SAS).
MNEN .∵DNDEEN,
∴DNBMMN. 2. (1)EF2AF2AE2
222(2) 线段AE、BF和EF之间的数量关系:EFBFAE 证明:过O作OH⊥OF,交AD于点H,连结HE.
∵∠1=45°,∠AOB=90,∴∠2+∠3=∠2+∠4=45°.∴∠3=∠4. 由正方形性质可知,OA=OB,∠5=∠6=45°. ∴△AOH≌△BOF . ∴BF=AH,OF =OH. 在△EOH和△EOF中
DCOEOE,EOHEOF45, HOFO,∴△EOH≌△EOF. ∴EF=EH . 在Rt△AEH中,
222222OH6AEF32145B∵ EHAHAE ∴EFBFAE
3. 解:(1)完成画图如图2,由BAC的度数为 60°,点E落在 AB的中点处 , 容易得出BE与DE之间的数量关系为 BE=DE ;
(2)完成画图如图3.
猜想:BEDE. A证明:取AB的中点F,连结EF.
∵ACB90,ABC30,
∴160,CFAF∴△ACF是等边三角形.
EBE图21AB. C(D)2∴ACAF. ① ∵△ADE是等边三角形, A21∴260,
ADAE. ②
F∴12. ∴1BAD2BAD. CBD图3即CADFAE.③
由①②③得 △ACD≌△AFE(SAS). ∴ACDAFE90.
∵F是AB的中点,∴EF是AB的垂直平分线.∴BE=AE. ∵△ADE是等边三角形,∴DE=AE. ∴BEDE.
4.
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5. 解:(1)补全图形,见图1; CDB 30 ;
(2)猜想:CDB90.
证明:如图2,连结AD,PC.
BABC,M是AC的中点, BMAC.
点D,P在直线BM上, PAPC,DADC. 又DP为公共边, ADPCDP.
DAPDCP,ADPCDP. 又PAPQ, PQPC.
BAM(P)QC图1A
DCPPQC.DAPPQC.DAPDQP180.BPMQC图2DPQCDQP180,在
四
边
形
APQ中,
ADQAPQ180.
APQ2, ADQ1802.
1CDBADQ90.2 (3)的范围是4560.
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