一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（ ）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
2． 数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式an为（ ） A．2n﹣1
B．﹣3n+2
C．（﹣1）n+1（3n﹣2）
D．（﹣1）n+13n﹣2
3． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
4． 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，则f（2）+g（2）=（ ） A．16
B．﹣16 C．8
D．﹣8
5． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如．．．．．．．．下： 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 22男 40 160 女 30 270 n(adbc)500(4027030160)229.967 由K算得K(ab)(cd)(ac)(bd)20030070430附表：
P(K2k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，则下列结论正确的是（ ）
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①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； ．②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”； ．③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6． 阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）
A．14 B．20 D．55
7． “x≠0”是“x＞0”是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ ） 1 2 0.5 1 x y z A．1 B．2 C．3
9． 已知an=A．a1，a30
C．30
D．4
*
（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
B．a1，a9 C．a10，a9
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D．a10，a30
x2y2
10．双曲线E与椭圆C：＋＝1有相同焦点，且以E的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
93为π，则E的方程为（ ） x2y2
A.－＝1 33x22
C.－y＝1 511．（2011辽宁）设sin（
x2y2
B.－＝1 42x2y2
D.－＝1 24
+θ）=，则sin2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
(x2)2y24交于A、B两点，P为直线n：12．已知直线m：3x4y110与圆C：3x4y40上任意一点，则PAB的面积为（ ） A．23 B.
33 C. 33 D. 43 2二、填空题
13．已知函数f（x）=
，若f（f（0））=4a，则实数a= ．
x21,x0x14．已知函数f(x)，g(x)21，则f(g(2)) ，f[g(x)]的值域为 ．
x1,x0【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 15．已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为 ．
16．设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．
17．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．
18．已知函数
为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
三、解答题
19．已知正项数列{an}的前n项的和为Sn，满足4Sn=（an+1）2． （Ⅰ）求数列{an}通项公式；
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（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=
20．如图，椭圆C：
+
*
（n∈N），求证：b1+b2+…+bn＜．
=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．
（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
21．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．
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22．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R （1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）
（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g（x）=（1﹣a）x，若
23．已知椭圆G：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，右焦点为（2
，0），斜率为1的直线l与椭圆
使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.
G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）． （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）求△PAB的面积．
24．选修4﹣5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若
恒成立，求k的取值范围．
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秀屿区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2）， 由于
也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有又x2﹣a为无理数，而所以只能是即
；
； ，
为有理数，
，且y2﹣y1=0，
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是所以，正确的选项为C． 故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
2． 【答案】C
【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）
n+1
﹣2，故通项公式an=（﹣1）（3n﹣2）．
n+1
，绝对值为3n
故选：C．
3． 【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到， 这三个事件是相互独立的， 第一次不被抽到的概率为， 第二次不被抽到的概率为， 第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是
=，
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故选B．
4． 【答案】B
32
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x﹣2x， 32
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）﹣2×（﹣2）=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16． 故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
5． 【答案】D
【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．
由于9.9676.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D． 6． 【答案】C
【解析】解：∵S1=0，i1=1； S2=1，i2=2； S3=5，i3=3； S4=14，i4=4； S5=30，i=5＞4 退出循环， 故答案为C．
【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．
8． 【答案】A
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【解析】解：因为每一纵列成等比数列， 所以第一列的第3，4，5个数分别是，，第三列的第3，4，5个数分别是，，．
又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，， 所以y=
，
，．
．
第5行的第1、3个数分别为所以z=
．
+
=1．
所以x+y+z=+故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．
9． 【答案】C 【解析】解：an=
图象如图， ∵9＜
＜10．
=1+
，该函数在（0，
）和（
，+∞）上都是递减的，
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C． 是基础题．
10．【答案】
【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，
x2y2
【解析】选C.可设双曲线E的方程为2－2＝1，
ab
b
渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
a
由题意得E的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b|b＋a
2
2
＝1，
又a2＋b2＝6，∴b＝1，a＝5，
x22
∴E的方程为－y＝1，故选C.
5
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11．【答案】A
【解析】解：由sin（
+θ）=sin
cosθ+cos
sinθ=
（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题． 12．【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心C到直线m的距离d1，|AB|2r2d223，两平行直线m、n之间的距离为d3，∴PAB1|AB|d33，选C． 2二、填空题
的面积为
13．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f（0）=2， ∴f（f（0））=f（2）=4+2a=4a， 所以a=2
故答案为：2．
14．【答案】2，[1,). 【
解
析
】
15．【答案】
=1 第 10 页，共 17 页
【解析】解：由题意得，圆心C（1，0），半径等于4， 连接MA，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1， ∴b=
，
=1． =1．
∴椭圆的方程为故答案为：
【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
16．【答案】 必要不充分
x
【解析】解：由题意得f′（x）=e++4x+m， x2
∵f（x）=e+lnx+2x+mx+1在（0，+∞）内单调递增， x
∴f′（x）≥0，即e++4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，
x
故对任意的x∈（0，+∞），必有e++4x＞5 x
∴m≥﹣e﹣﹣4x不能得出m≥﹣5
x
但当m≥﹣5时，必有e++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立
∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分
17．【答案】
．
3
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有2=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种， 所以甲胜出的概率为故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
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18．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a﹣1=0， ∴a=1， ∵函数∴f（﹣x）=
xx
即b•2﹣1=﹣b+2，
为奇函数，
=﹣
，
∴b=1． 即a+b=2， 故答案为：2．
三、解答题
19．【答案】
2
【解析】（Ⅰ）解：由4Sn=（an+1），
令n=1，得
2
又4Sn+1=（an+1+1），
，即a1=1，
，整理得：（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0．
∴
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，bn=则b1+b2+…+bn===
20．【答案】
．
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，则{an}是等差数列，
=
，
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【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由22
得（1+4k）x﹣4kx﹣3=0，
∴x1+x2=又
．
，x1x2=，
所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|==令t=所以S△PMN=令h（t）=则t=
，t∈[，则t≥
2，k=
．
，
，+∞），则h′（t）=1﹣
=）=
＞0，所以h（t）在[，
，+∞），单调递增，
，即k=0时，h（t）的最小值，为h（
．
所以△PMN面积的最大值为
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上． 又O为△PMN的中心，所以从而|MN|=
，|PM|=
，可知Q（0，﹣），M（﹣
，
），N（
，
）．
，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
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（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾． （3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=又O为△PMN的中心，则
，可知
．
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2xQ=﹣x0，y1+y2=2yQ=﹣y0，
2222
又x1+4y1=4，x2+4y2=4，两式相减得kMN=
，
从而kMN=所以kOP•kMN=
． •（
）=
≠﹣1，
所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾． 综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想
21．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立得
，
，
设A（x1，y1），B（x2，y2） 解得p=2．
根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，
2
∴抛物线的方程为y=4x．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准 方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
22．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞）， ∴
…（2分）
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，解得x=1或x=，x∈
（，1），
函数是减函数．…（4分） （2）∴当1＜a＜e时，
，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈
，∴，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数， ∴综上
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在∵当
时，lnx≤0＜x，
上有解，
…（9分） 上有解
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0， ∴令∵
，∴x+2＞2≥2lnx∴在区间
上有解．
…（10分）
时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（1，e]，h（x）是增函数， ∴∴
时，
…（14分）
， ，∴
∴a的取值范围为23．【答案】
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【解析】解：（Ⅰ）由已知得，c=解得a=
222
，又b=a﹣c=4，
，，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m， 由
22
得4x+6mx+3m﹣12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0）， 则x0=
=﹣
，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边， 所以PE⊥AB， 所以PE的斜率k=解得m=2．
2
此时方程①为4x+12x=0．
，
解得x1=﹣3，x2=0， 所以y1=﹣1，y2=2， 所以|AB|=3
，此时，点P（﹣3，2）．
，
到直线AB：y=x+2距离d=所以△PAB的面积s=|AB|d=．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2 ∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． ∴当a≤0时，不合题意； 当a＞0时，∴a=2；
，
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（Ⅱ）记，
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1 ∵∴k≥1．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．
恒成立，
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