地下水状态方程推导

方程(1)的建立:

假设:水的压缩变形属于弹性变形—符合胡克定律(Hooke’law)

设:水原来体积V,压强增加dp之后,相应的体积压缩了dV,则:

dVdpEV ①

(“—”表示减小,变化相反) 式中:E—弹性模量(体积弹性系数),单位N/cm,E↗,越难压缩, (而K—长度压缩系数)则可以得到;

2dpEVdV ②

1引入压缩系数E,由②

地下水状态方程推导

1dVdVdp得:Vdp , V ③

dp③式表明与V、dV的关系,

p而我们寻求的就是与V的关系？

解决方案:加入初始条件与边界条件,进行积分。

pV0设初始压强为,体积为0,压强

p0↗→pV,体积0↗→V,则;

VdVpdpVpV00,两边积分

(pp)V0e得:V0 ④ 方程(2)的建立:

地下水状态方程推导

将④式中克劳林级数

(pp)0e23按麦

xxxe1x......()展开: 2!3!()(pp)(pp)00e1(PP)......02!22,由于β很小,忽略第三项及以后的表达式,

(pp)01(pp)e得:0

⑤

将⑤式代入④式,得:

VV0[1(pp0)] ⑥

地下水状态方程推导

方程(3)的建立:

由于压缩前后,水的质量m不变,即 ρV=m(常数),于就是:d(ρV)=0,即:

VρdV+Vdρ=0,→→ddVdVd→→V ⑦

,

dVdp将⑦式代入③(V)式,加

入初始条件与边界条件,进行积分,得:

e0(pp)0 ⑧

同样将上式中的e克劳林级数展开,得:

(pp)0麦

地下水状态方程推导

e(pp)01(pp)0 ⑨

将⑨式代入⑧式,得:

0[1(pp0)] ⑩

V由⑦式(ddV)与

dVdp③式(V),还可得到密度变化dρ与压强变化dp之间的关系:

dVddp V