关于两类曲线积分之间的联系

高等数学研究　４０　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．１１．Ｎｏ．２　Ｍａｒ．，２００８　关于两类曲线积分之间的联系一　唐旭晖　郑　权　李冱岸　（北方工业大学理学院　北京　１０００４１）　摘要　本文用两类（四种）方法推出对坐标的曲线积分和对弧长的曲线积分之问的联系，并举例说明这两　类方法的必要性和实用性　关键词　曲线积分；方向余弦｝弧长元素；有向弧元素　。　中图分类号　Ｏ１３　Ｏ１７２　关于对坐标的曲线积分和对弧长的曲线积分之间的联系口　］，人们从证明所依据的不同假设　出发不断给出较完善的证明［４—６］．对此，我们介绍理论推导两类曲线积分之间的联系的两类方　法（含四个方法），其思想方法在解决实际问题时也是十分有益的．　第一类方法　利用曲线的计算公式推出两类曲线积分之间的联系．用这类方法时要注意曲线　弧的正向切向量公式和弧微分公式中“±”号的选择．这类方法可有如下两种推导方法．　方法１　设平面有向曲线Ｌ的起点为Ａ，终点为Ｂ，曲线弧Ｌ由参数方程　ｚ一　（￡），Ｙ一　（￡）　给出，起点Ａ终点Ｂ分别对应参数口、　函数　（￡）和　（￡）在以口、卢为端点的闭区间上具有一阶连续　导数，且　（￡）＋　（￡）≠０．又设函数Ｐ（ｘ，　）和Ｏ（ｘ，　）在Ｌ上连续．则对坐标的曲线积分可化　为　Ｉ，Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｏ（ｘ，ｙ）ｄｙ一　Ｐ［　（￡），　（￡）］　（￡）＋Ｏｉｌ（ｔ），　（￡）　（￡）｝ｄｔ　又与有向曲线弧Ｌ方向一致的切向量为　一（１）　（２）　±（　（￡），　（￡））　其中，当口＜卢（口＞卢）时参数增加的方向是有向弧Ｌ的正（反）向，“±”号中取正（负）号．　方向余弦：ＣＯＳ６ｔ一　弧微分：ｄ５一　±∞　（￡）　ｃｏ　一　＿ｄｔ＞０　。　㈣　（４）　　Ｉｄｔ　Ｉ一±、　当口＜ｐ时，“±”号中取正号；当口＞卢时，“±”号中取负号．则对弧长的曲线积分可化为　Ｊ．　［Ｐｃｏｓａ＋Ｑｃｏ　一　＋　∽　一∽　）・［±　￡］　（５）　］　Ｉ。｛Ｐ［　（￡），　（￡）］　（￡）十Ｑ［　（￡），　（￡）］　（￡）｝ｄｔ　ｒ　广　由（１）、（５）可得，平面曲线Ｌ上的两类曲线积分之间有如下的联系　．Ｉ［Ｐｄｘ＋Ｏｄｙ一．Ｊｆ（Ｐｃ０　＋Ｑｃｏｓ１ｆ）ｄ５　（６）　－收稿日期：２００７一Ｏ１—１５　－－基金项目・北京市属市管高等学校人才强校计划资助项目以及中共北京市委组织部优秀人才项目　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１１卷第２期　唐旭晖。郑　权，李冱岸：关于两类曲线积分之间的联系　４１　方法２　特别地，以弧长ｓ为参数，于是　Ｘ—ｚ（ｓ），Ｙ—　（ｓ），０≤Ｓ≤１　其中１为曲线Ｌ的全长．按第一类方法不难证明（６）式（ＥＺ３只用下面情形１。）．　１。　当取起点Ａ到点（ｚ，　）的弧长为参数ｓ时，点Ａ和Ｂ分别对应于Ｓ一０和１，有向弧Ｌ的　正向是参数增加的方向，与有向弧的方向一致的方向余弦为　ｃ。ｓａ一＿ｄｘ，ｃ。ｓ５一Ｔｄｙｄｓ（１Ｓ　（３）’　由曲线积分的计算公式，直接计算可得　Ｉ　Ｐｄｘ十Ｑｄ　—Ｉ‘｛Ｐ［ｚ（　），　（ｓ）］・ｚ　＋ＱＥｘ（ｓ），　（ｓ）］・ｙ：｝ｄｓ　ｒ　—Ｉ（ＰＣＯＳＯｔ＋ＯｃｏｓＳ）ｄｓ　２。　当取终点Ｂ到点（ｚ，　）的弧长Ｓ为参数时，点Ａ和Ｂ分别对应于Ｓ一１和０，有向弧Ｌ的　正向是参数增加方向的反向，所以　ｃ。ｓ口一一　，ｃ。ｓ　一一＿ｄｙ＿　（３）’’　ｄｓ　ｄＳ　由曲线积分的计算公式，直接计算可得（６）式，即　Ｉ　Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ—Ｉ｛ＰＥｘ（ｓ），　（　）］・Ｘ　＋ＯＥｘ（ｓ），　（ｓ）］・Ｙ　｝ｄｓ　—Ｉ（ＰＥｘ（ｓ），ｙ（ｓ）］ｃｏｓａ＋ＯＥｘ（ｓ），ｙ（ｓ）］ｃｏｓ／￣｝ｄｓ　Ｉ（ＰＣＯＳａ＋ＯｃｏｓＳ）ｄｓ　Ｊ　Ｌ　—第二类方法　利用有向弧元素推导两类曲线积分之间的联系．这类方法在推导过程中从形式　上避开了第一类方法中对“±”号的选择（Ｅ３３只考虑了在ｌ。相应的情形下的下面方法３）．这类方法　可有本质上相同的如下两种推导方法．　方法３　根据有向弧Ｌ正向的方向余弦的定义可知，不论参数ｔ增加的方向是否与有向弧Ｌ的　正向相同，总有　ｃ０　一警，ｄＳ　ｃＯｓ５一下ｄＩ（ｙＳ　（７）　（８）　（此式亦可由（３）、（４）得到），其中的ｄｚ和　分别是有向弧元素　在Ｘ轴，和Ｙ轴上的投影，ｄｓ＝　ｌ　ｌ＞０是弧长元素．于是，有　ｄｘ—ｃｏｓａｄｓ．ｄｙ—ｃｏｓ￣ｄｓ　从而（６）式成立．　方法４　设有向弧Ｌ上点（ｚ，　）处与Ｌ方向一致的单位切向量为　Ｔ。一（ｃｏｓａ．ＣＯｓＳ）　（９）　（１０）　有向弧元素为　’ｄｓ’一（ｄｘｄｙ）　。弧长元素为　又设　（ｚ，　）一（Ｐ（ｚ，　），Ｏ（ｘ，　））是Ｌ上的连续的向量值函数，则得（６）式，即　ＪＩ　ＬＰｄｚ＋Ｏｄｙ—ｊｆ　Ｌ（Ｐ，Ｑ）・（ｄｘ，ｄ　）一ｊｆ－　Ｌ厂・ｄ＋　十ｓ　一Ｉ　ｆ・（Ｔ。　）＝Ｉ（厂・Ｔ。）ｄｓ　维普资讯 http://www.cqvip.com ４２　高等数学研究　２００８年３月　：＝＝Ｊ　（Ｐ，Ｑ）・（ｃｏ　，ｃ。　）ｄｓ—ｊ　（Ｐｃ。ｓ口＋Ｑｃ。　）　类似地，利用两类方法可得空间曲线ｒ上的两类曲线积分之间的联系如下　＿『　Ｐｄｘ＋Ｑｄ　＋Ｒｄ　—Ｊ－　（Ｐｃｏｓａ＋Ｑｃ。ｓｌｆ＋Ｒｃ。ｓ７）ｄｓ　（１１）　例题　将对坐标的曲线积分Ｊ－　ｚ　＋　ｄ　化为对弧长的曲线积分，其中Ｌ为直线段ｚ一￡，　—　ｆ，０≤ｔ≤１，方向是从点（１，１）到（Ｏ，Ｏ）．　解法１　由ｚ　（￡）一　（￡）一１，且参数增加的方向是有向弧Ｌ的反向，根据（３），有ＣＯＳＱ—ｃ。　一一　√，于是，由（６）得　２　，　ｚ＋ｙｄｙ一　（ｚ　ｄｓ　解法２　若取Ｌ上从起点（１，１）到点（ｚ，　）的弧长ｓ为参数，则ｓ—ｓ（ｘ，　）一ｓ（￡）＝Ｊ２（１一　ｆ），有ｆ一１一　１　ｓ从而有Ｌ：ｘ＝ｙ＝ｌ－－，１　ｓ，０≤　≤√　于是，由参数ｓ增加的方向是有向弧Ｌ　ｃ。　一√的正向，根据（３）或（３）’，有ｃ。ｓａ一　ｄｘ一一　１，ｄ　√２　。　ｄｙ１　ｄ　一一　，代人（６）即可・ｄ　√２　若取Ｌ上从终点（ｏ，ｏ）到点（ｚ，　）的弧长ｓ为参数，则ｓ—ｓ（ｚ，　）一ｓ（￡）一　，有￡＝＝＝　１　ｓ，　而有Ｌ：ｚ—　一　１　ｓ，ｏ≤ｓ≤厄于是，由参数ｓ增加的方向是有向弧Ｌ的反向，根据（３）或（３）”，　有ｃ。Ｓｃｒ＝＝＝一ｄｘ　一一去，ｃ。　一一　一一去．代入（６）即得结果．　解法３　由ｚ一￡，　一￡，０≤ｔ≤１，且由参数ｔ增加的方向是有向弧Ｌ的反向，得　ｄｚ—ｄ　＝出，ｄｓ一　一一√＿ｄ￡　于是，由（７），有ｃ。ｓ口一警一一　１，ｃ。ｓＪ９一ｄ＿ｌｆ　ｙ＝＿√１　・代人（６），即得所要结果・　解法４　由ｚ—ｆ，　一￡，ｏ≤￡≤１，且参数￡增加的方向是有向弧Ｌ的厦向，有　。一（ｚ　））一（１’１）’得　０’南一去（１’１）．于是　＿『　Ｐｄｘ＋Ｑｄ　＿－ｆ　（　）・￣＇ｏｄｓ一　（ｚ　参考文献　［１３同济大学应用数学系．《高等数学》（第五版）［明．北京：高等教育出版社，２００２．　［２３华东师范大学数学系．《数学分析》（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社。２００１．　［３］刘玉琏等．《数学分析讲义》（第四版）［明．北京：高等教育出版社，２００３．　［４］郑兴嫒．谈谈“曲线积分之间的联系”的几种证法［＿，］．高等数学研究，１；３３—３５，１９９４．　［５］张永明．也谈两类曲线积分之间的联系［＿，］．北京印刷学院学报，９（３）：５１—５２，２００１．　［６３孙瑞德．纠正《高等数学》（同济四版）的一个错误［力．工科数学，１７（３）。１０７—１０８，２００１．