2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末数学理科试题(含解析)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知点A.30°【正确答案】B【分析】先由M0,3，N1,23求斜率，再求倾斜角.【详解】设直线MN的斜率为k,则k

M0,3，点N1,23，则直线MN的倾斜角为（B.60°C.120°）D.135°233则tan3，3.令直线MN的倾斜角为，100π，

故选：Bπ.32.现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）B.①随机数法，②分层随机抽样D.①抽签法，②随机数法A.①抽签法，②分层随机抽样C.①随机数法，②抽签法【正确答案】A【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.3.过点1,3且平行于直线2x3ym0的直线方程为（A.2x3y110C.2x3y70【正确答案】A）B.3x2y30D.3x2y30

【分析】先设出平行于直线2x3ym0的直线系方程，再将点1,3代入方程，进而求得所求直线的方程.【详解】平行于直线2x3ym0的直线方程可设为2x3yh0(hm)又所求直线过点1,3则2(1)33h0，解之得h11，则所求直线为2x3y110故选：A4.某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（）A.2022年甲系列产品收入比2020年的多B.2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C.2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的1

3D.2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍【正确答案】C【分析】利用已知条件可分别得出2022年和2020年5种系列产品所占总收入的比例，结合该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，逐一检验选项，得出答案．【详解】对于A，2022年甲系列产品收入占了总收入的20%，2020年甲系列产品收入占了总收入的30%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年甲系列产品收入比2020年的多，正确；对于B，2022年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的55%，该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多，正确；对于C，2020年丁系列产品收入占了总收入的20%，2022年丁系列产品收入占了总收入的5%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的2，错误；对于D，2022年戊系列产品收入占了总收入的20%，2020年戊系列产品收入占了总收入的1

20%，而该企业2022年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，故2022年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍，正确；故选：C25.已知F为抛物线C：x2pyp0的焦点，纵坐标为5的点A在C上，AF8，则p（A.2）B.3C.5D.6【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算作答.【详解】依题意，抛物线C：x22py的焦点F(0,显然有AF5(故选：D6.某科研所对实验室培育得到的A，B两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A种子B种子48484948504951495251）B.B种子；B种子D.B种子；A种子p

)8，所以p=6.2pp)，准线方程为y，22则平均产量较高与产量较稳定的分别是（A.A种子；A种子C.A种子；B种子【正确答案】C【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.【详解】xA

122222

SA2485049505050515052502；5

1

484950515250，5xBSB2

1

484849495149，5122222

484948494949494951491.2；5

xAxB，SA2SB2，故A的平均产量高，B的产量比较稳定.故选：Cx2y2

7.已知F1，F2是双曲线221a0,b0的左，右焦点，点M在双曲线的右支上，MF2ab的斜率为3，MF1MF2，则双曲线的离心率为（A.）21

B.31

C.2D.3【正确答案】B【分析】先利用直角三角形的几何性质和双曲线的定义得到a,c关于m的关达式，再利用双曲线离心率的定义即可得到其离心率的值.【详解】依题意，设MF2mm0，因为MF2的斜率为3，所以直线MF2的倾斜角为又MF1MF2，所以在Rt△MF2F1中，MF1则2aMF2MF1双曲线的离心率e故选：B.2ππ

，则MF2F1，333m,F1F22m，31m，2cF1F22m，c2c

a2a

2m31m31.8.某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（）A.25B.12C.35D.910【正确答案】A【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b），（甲，丙，a），（甲，丙，b），（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙，b），（乙，a，b），（丙，a，b），其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为故选：A9.已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线42

105的垂线，垂足分别记为A1，B1，若AF3FB，则A1FB1的面积为（A.43【正确答案】BB.）D.23833C.439【分析】根据抛物线的性质求出焦点坐标和准线方程，设点A、B的坐标，利用平面向量的坐标表示求出A、B的纵坐标，即可求解.【详解】由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x=1，设Ax1,y1，Bx2,y2，则AF(1x1,y1),FB(x21,y2)，



x1x13(x21)1由AF3FB，得，又

y3y21x

2

y124，2y2463y1383解得，所以A1B1y1y2，3y2323

所以A1FB1的面积为SAFB

11

183.A1B12

23故选：B.随机抽样调查了110名学生，10.某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：男生关注不关注合计PK2k0女生合计5020300.152.0720.12.0760.053.8412

1100.0255.0240.016.635k0

nadbc附：K2，其中nabcd.abcdacbd则下列说法中正确的是（）A.有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关B.男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例C.在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关D.在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关【正确答案】C【分析】先根据已知完成列联表，再根据已知公式得出K2，查表即可得出答案.【详解】列联表如下：男生关注不关注合计2女生102030合计6050110503080n(adbc)2110(50203010)27.486则K

abcdacbd80306050对于A：K27.4865.024，则有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别有关，故A错误；对于B：男生不关注卡塔尔世界杯的比例为且31，83

303101，女生关注卡塔尔世界杯的比例为，808303

则男生不关注卡塔尔世界杯的比例高于女生关注卡塔尔世界杯的比例，故B错误；对于C、D；K27.4866.635，则在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关.故C正确，D错误.故选：Cy2x2

11.已知椭圆1的上焦点为F，直线xm0m3与椭圆交于M，N两点，则169

MNF的周长的取值范围是（A.）C.0,8B.0,168,14D.8,16【正确答案】D【分析】利用椭圆定义和椭圆的对称性即可求得MNF的周长的取值范围.【详解】直线xm0m3与椭圆交于M，N两点，y2x2

椭圆1的上焦点为F，令下焦点为F1，连接F1N169

由椭圆的对称性可得F1NFM，则MNF的周长为FNFMMNFNF1NMN8MN,又MN0,8，则8MN8,16，则MNF的周长的取值范围是8,16故选：D12.已知C，D是圆O：x2y29上两个不同动点，直线m1xym20恒过定点P，若以CD为直径的圆过点P，则CD最小值为（A.42【正确答案】A【分析】根据题意，设以CD为直径的圆的圆心为Q，当O,P,Q三点共线时，半径有最小值，此时CD有最小值，即可求出答案.【详解】依题意，设以CD为直径的圆的圆心为Q，半径为r，将直线m1xym20化简得mx1xy20，B.42）C.822D.822x10x1即，得，所以直线恒过定点P1,1，xy20y1

在RtOCQ中，OQ

22OCCQ9r2，因为OPPQOQ，所以2r9r2，即2r222r70，解得r所以CDmin2r42，故选：A.4242（舍），r，22二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A1,1,2关于坐标原点О对称的点为B，则AB__________.【正确答案】26【分析】首先根据题意得到B1,1,2，再计算AB即可.【详解】因为点A1,1,2关于坐标原点О对称的点为B1,1,2，所以AB故2611112222226.14.已知直线ykx2与圆x2y21有公共点的概率为2，其中k为区间1,m内随机取3的一个实数，则m__________.【正确答案】5【分析】根据直线和圆的位置关系列不等式，结合几何概型的知识列方程，从而求得m的值.【详解】直线ykx2,kxy20与圆x2y21有公共点，21k21,k21，由于k为区间1,m内随机取的一个实数，所以k11,m，m12

所以，解得m5.m13故5

x2x2y2215.若双曲线C与y1有共同渐近线，且与椭圆1有相同的焦点，则该双曲线C

94020的方程为__________.x2y2

【正确答案】1

182【分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.221x2xy2【详解】由方程y1，则其渐近线方程为yx，由椭圆1，则其焦点为39402025,0，22b1

a218xy

由题意可知，双曲线C的标准方程设为221，则a3，解得2，22abb2ab20x2y2

则双曲线C的标准方程为1，182x2y2

故答案为.1

18216.已知抛物线C：y22x，P2,0，过点Р的直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB中点为Dx0,y0y00，直线l1经过点D且垂直于y轴，直线l2经过点P且垂直于直线l，记l1，l2相交于点N，下列说法正确的序号为____.1①OAOB；②l的斜率为；③0x02；④点N在定直线x1上.y0【正确答案】①②④【分析】利用直线垂直充要条件判断①；求得直线l的斜率判断②；求得x0的取值范围判断③；求得点N的坐标判断④.【详解】由题意得直线l斜率存在，设直线l方程为yk(x2)(k0)，令A(x1,y1),B(x2,y2)

yk(x2)由2，整理得k2x22(12k2)x4k20y2x2(12k2)

则x1x2，x1x242k12k211x1x212k2

,则x0，y0，则D22kkk2k

则直线l1的方程为y

11

，又直线l2的方程为y(x2)，kk1

y(x2)x11kN(1,)由,可得，则1

1ykykk

由kOAkOB

2

y1y2kx12x22x1x2x1x2

2(12k2)

k4242k2xx2xx4k12121

x1x242

可得OAOB.则①判断正确；由y0

11

，可得l的斜率为.则②判断正确；yk0x1x212k21

由x022，可得③判断错误；222kk由N(1,)，可得点N在定直线x1上.则④判断正确.故①②④1k三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知ABC的三个顶点的坐标分别是A5,1，B7,3，C2,8.（1）求边AB的中线所在直线的方程；（2）若ADBC，垂足为D，求点D的坐标.【正确答案】（1）7x4y460（2）D8,2【分析】（1）先求得AB中点的坐标，然后利用点斜式求得边AB的中线所在直线的方程.（2）根据直线AD的斜率以及D在直线BC上列方程组，由此求得D点坐标.【小问1详解】817

，2647

所以，边AB上的中线所在直线的方程为y1x6，4由题意线段AB的中点为E6,1，kCE即7x4y460.【小问2详解】设Dm,n，由题意得，ADBC，D在直线BC上，因为kBC

38n1

1，所以直线BC方程为y8x2，kAD1.72m5又D在直线BC上，所以n8m2，n8m2m8

联立n1，解得，n21m5

所以D8,2.18.某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；（2）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.【正确答案】（1）直方图见解析，71（分）（2）3

5【分析】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在60,70的频率，从而可得这800名学生的平均成绩；（2）根据分层抽样确定成绩在80,90内的人数并标记，成绩在90,100内的人数并标记，根据古典概型列举基本事件种数及所求事件种数，即可得概率值.【小问1详解】成绩落在60,70的频率为10.150.300.100.050.40，补全的频率分布直方图如图：这800名学生的平均成绩约为；；55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）【小问2详解】抽取的40名学生中，成绩在80,90内的有8000.1

a4，成绩在90,100内的有8000.05

从这6人中随机抽取2人的基本事件有40

2（人），分别记为b1，b2，80040

4（人），分别记为a1，a2，a3，800a1,a2，a1,a3，a1,a4，a1,b1，a1,b2，a2,a3，a2,a4，a2,b1，a2,b2，a3,a4，a3,b1，a3,b2，a4,b1，a4,b2，b1,b2.共有15种.记事件A“至少有1名学生成绩不低于90分”，则A事件包含的基本事件有：a1,b1，a1,b2，a2,b1，a2,b2，a3,b1，a3,b2，a4,b1，a4,b2，b1,b2，共9种，所以所求概率为PA

2

93.15519.已知圆D：x1y28，点A是圆D上一动点，点B3,4，点C是线段AB的中点.（1）求点C的轨迹方程；（2）已知过点P0,2的直线l与曲线C相交，被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程.【正确答案】（1）x1y+22（2）x0或15x8y160.【分析】（1）先设线段AB中点为Cx,y，点Ax0,y0，然后利用相关点法求解即可；（2）先讨论直线斜率不存在，然后斜率存在利用截距式计算弦长等于2，求解即可.【小问1详解】设线段AB中点为Cx,y，点Ax0,y0，由B3,4，∴x0=2x-3，y02y4，又因为点A在圆D上，∴2x312y48∴x1y+22，即点C的轨迹方程为.x1y+22【小问2详解】2

2

2

2

2

2

22x0

当直线l的斜率不存在时，由，得y1，或y=3，22x1y22

即直线x0与圆C相交所得弦长为132，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l2的方程为ykx2，即kxy20，由于圆C到l的距离211，所以2k221k21，解得k

15

，8所以y

15

x2，即15x8y160，8综上所述，直线l的方程为x0或15x8y160.20.如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：（1）依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?（若r0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.相关公式：r

xxyyi1i

i

n

xxyyi1ii1n

ii1

i

n2n2回归方程$y$bx$a中，b

xxyyi

xxi1

i

n2

，$ay$bx.【正确答案】（1）0.95，可用线性回归模型拟合y与x的关系（2）y1.9x2.3，40.3（吨）.【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与0.75比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）先求出回归方程，求出当x=20时的值，即为预测值．【小问1详解】x

123453791011

8，3，y

55因为xxi1

i

5

2

10，yiyi1

5

2

40，xixi1

5

yy19，i

所以r

xxyyi1ii5xxyyi1ii1i5252

19104019

0.950.75，20所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】∵b

xxyyi1ii5xxi1i52

19

1.9，10x11123453，y37910118，5581.932.3∴a

.

∴y关于x的线性回归方程为y1.9x2.3，将x=20代入线性回归方程可得，y1.9202.340.3，∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.x2y2321.已知椭圆C：221ab0的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，上顶ab2

点为P，且PF1PF22.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：ykxmm0与椭圆C交于A,B两点，О为坐标原点.试求当k为何值时，OAOB恒为定值，并求此时AOB面积的最大值.22x2

【正确答案】（1）y21

4（2）k，最大值1【分析】（1）根据题意列出关于a,b,c的方程，解方程求得其值，可得答案；（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，联立

2212ykxm

，可求得根与系数的关系式，从而求得22x4y4

OAOB的表达式，利用其恒为定值，求得参数k的值，进而求得AOB面积的表达式，结合基本不等式即可求得最值.【小问1详解】由己知，点F1，F2的坐标分别为c,0，c,0，

0,b又点P的坐标为，且PF1PF2(c,b)(c,b)c2b22，c2b22



3c

于是，解得a2，b1，a222abc2x2

所以，椭圆C方程为y21.4【小问2详解】ykxm222

设Ax1,y1，Bx2,y2，联立2，消元得4k1x8kmx4m40，2x4y4

当64km164k1m10，即4k2m210时，2

2

2

2

8km4m24

则有x1x2，x1x2，224k14k12x12x22则OAOBx1x21

4422216m24k2164k213224k2m26m224k2622x1x222，222244k14k1当OAOB为定值时，即与m2无关，故4k210，得k，2212此时ABk21x1x224m248km24x1x2k12424k14k124k21m22，4k152m214k2又点O到直线l的距离d

m1k2

2m5，所以S△AOB1m22m22dABm2m1，222m2，即m1时，等号成立，当且仅当m

经检验，此时0成立，所以AOB面积的最大值为1.关键点点睛：解答时要保证OAOB恒为定值，在求出其表达式之后，关键是要明确当22OAOB为定值时，即与m2无关，从而求得参数k的值.2

x1

22.已知抛物线C：y2pxp0的焦点F到双曲线y21的渐近线的距离为2.3222（1）求抛物线C的方程；（2）过原点作两条相互垂直的直线交曲线C于异于原点的两点A，B，直线AB与x轴相交于N，试探究x轴上是否存在异于N的定点M满足不存在，请说明理由.【正确答案】（1）y24x；（2）存在，M4,0.【分析】(1)根据题意求出双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式计算即可求解；(2)设lAB：xtyn，Ax1,y1，Bx2,y2，Mm,0，联立抛物线方程，利用韦达定理和平面垂直向量的坐标表示求出N4,0.AMBM

ANBN恒成立.若存在，请求出M点坐标；若由AMBM



ANBN

可知x轴为AMB的角平分线，进而kAMkBM0，则m

x1y2x2y1

，化简y1y2

计算即可.【小问1详解】x2

双曲线y21的一条渐近线为3x3y0，32又抛物线C：y2pxp0的焦点F的坐标为

p,0，2

p3p1由题可得：2，3942解得p2，故抛物线方程为.y24x【小问2详解】易知直线AB的斜率不为0，故设lAB：xtyn，Ax1,y1，Bx2,y2，Mm,0联立：

xtyn2y4ty4n0，2y4x

2y12y2故y1y24t，y1y24n，x1x2n2，44

因为OAOB，则OAOBx1x2y1y2n24n0，解得n4或n0（舍），故N4,0，因为M，N都在x轴上，要使得AMBM

ANBN，则x轴为AMB的角平分线，若m=x1，则AM垂直于x轴，x轴平分AMB，BM垂直于x轴，得直线AB的方程为x4，此时m4n，而M，N相异，故mx1，同理mx2，故AM与BM的斜率互为相反数，y1y2x1y2x2y10m即，x1mx2my1y2m

ty14y2ty24y1y1y2

2ty1y232t

444为定值，y1y24t故当M4,0时，有AMBM

ANBN恒成立.