非等距网格下二阶导数三阶精度差分格式的准确性分析

第２７卷第３期　兰州交通大学学报　Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．３　２００８年６月　Ｊｏｕｒｎａ１　ｏｆ　Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊｕｎ．２００８　文章编号：１００１—４３７３（２００８）０３－０１４８—０３　非等距网格下二阶导数三阶精度差分格式的准确性分析　李丽丽　，　张　昆　，　王良璧。，　常迎香　（１．兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７３００７０；２．兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州　７３００７０）　摘要：利用Ｔａｙｌｏｒ展式系数匹配的方法得到基于非等距网格的二阶导数三阶精度的差分格式，并且对其进行了　实例考察，得出此差分格式满足其精度要求，差分格式是合理可靠的．通过Ｆｏｕｒｉｅｒ分析方法对其误差传播情况进　行了分析，在不同网格比下，其逼近程度（精度）有所不同．当网格的比率大于１时，格式通常是稳定的，但对于高波　分量的模拟效果较差；网格比率小于ｌ时，虽然对高波分量的模拟效果较好，但格式是不稳定的．　关键词：非等距网格；二阶导数；差分格式；Ｆｏｕｒｉｅｒ分析　中图分类号：０２４１．４　文献标识码：Ａ　差分法是解偏微分方程的一种主要数值方法．　（　）　一（Ａｔ一　）／△ｚ＋Ｏ（Ａｒ）　用差分方法将连续问题离散化，然后从定解问题的　２阶精度格式的一阶导数公式为　微分或积分形式出发，用数值微商公式导出相应的　（ｄｆ／ｄｘ）　一（一３　－＋４ｆ，一Ａ－）／２△ｚ＋Ｏ（△ｚ）。　线形代数方程组，从而把微分方程的定解问题化为　依次类推，精度愈高，导数的差分近似公式中包　线形代数方程组的求解问题．目前，紊流的直接数值　含的离散点愈多．对于非等距网格下，导数的差分格　模拟通常应用紧致格式，但是在大多数情况下，它应　式较均分网格下的差分格式要复杂的多，节点与节　用于一阶导数．对于近壁面的紊流，有时候有必要用　点间的距离是各不相同，所以对于非等距网格下的　到二阶导数的有限差分形式．由于二阶导数紧致差　差分公式推倒中，首先定义的是网格间距，即节点与　分格式在运算上较费时，为了节省计算时间，用传统　节点之间的距离．定义ｈ　为第ｉ个节点与第ｉ一１个　差分格式直接进行计算较好．本文所构造的求解二　节点间的距离，即ｈ　：　—ｚ卜　．要计算２阶导数，可　阶导数的三阶有限差分方法是一种基于非等距网格　以采用如下格式　的高精度差分方法，为了能够更好的将该方法应用　到数值求解中，通过Ｆｏｕｒｉｅｒ分析（即在波空间上）　一　ａｋｃｐ￣　（１）　对基于非等距网格的三阶有限差分方法准确性进行　其中，Ｆ卅是（ａ　ａ　）升　的差分逼近式，　＋志表示在　了Ｆｏｕｒｉｅｒ分析．　—　处的值．为确定ｍ，利用Ｔａｙｌｏｒ级数展开得　里　１二阶导数差分格式的构造　差分离散方法的基本思想是利用节点（离散点）　≈ｃ卅ｃ　薹　．．．＋ｃ　＋．．．　上数值（　）的线形组合来逼近节点上的导数值．其　将其带人式（１），比较相同导数的系数，可以将系数　表达式称为导数的差分逼近式．Ｒ为函数　ｎ　确定．其精度由　来确定，２阶导数的精度是　一　（　ｆ／ａｘ　）　的差分逼近式，则有Ｆｉ：∑ａｊｆｉ．其中　２阶的．　综上所述，对于非等距网格下，二阶导数三阶精　系数ｎ　由差分逼近式的精度确定［２］．　度差分格式推导［１’。脚结果为　差分格式建立的方法最常用的是Ｔａｙｌｏｒ级数　展开方法．差分近似的精度依赖于函数Ｔａｙｌｏｒ级数　ａ　ｉＩ一垒　ｉ　　翌　二　±垒　翌！Ｍ　　二　±垒　翌　。　展开的近似程度，例如，对于等距网格，ｌ阶精度格　垒　翌！　±：　±璺§翌！　±　式的一阶导数公式为　收稿日期：２００８—０３—１４　作者简介：李丽丽（１９８２一），女，辽宁盘锦人，硕士生　维普资讯 http://www.cqvip.com 第３期　李丽丽等：非等距网格下二阶导数三阶精度差分格式的准确性分析　１４９　其中：Ｍ一（ＡＥ—ＢＦ）／２；ａ１一Ｂ（ｈ｝一ｈ；）ｌｈ４；　口２一一Ａ（ｈ｝一ｈ；）／ｈ３一Ｂ（ｈ；一＾；）／ｈ３；　ａ３一ＡＣ＋ＢＤ；　度，可考虑模型方程８ｕ／Ｓｔ一　・ａ　ｕ／Ｓｘ　方程有精确解　ｕ（ｘ，　）一ｅ似一　ａ　一Ａ（＾；一ｈ；）／ｈ１一Ｂ（ｈ；一ｈ；）／ｈ１；　ａ５一一Ａ（＾；一ｈ；）／ｈ２；　对于线性问题数值解的逼近精度依赖于每个　Ｆｏｕｒｉｅｒ分量为初始值是数值解的逼近精度．在以后　讨论中将以单个Ｆｏｕｒｉｅｒ分量为基本元，讨论数值解　Ａ一（＾｝＋ｈｊ）（＾｝一ｈ；）＋（＾ｉ—ｈｉ）（＾｝一ｈ；）；　的逼近精度．设以单个Ｆｏｕｒｉｅｒ分量为初始值：　Ｂ一（硝一＾ｉ）（＾ｉ—ｈ；）一（＾｛＋ｈ１）（＾｝一ｈ；）；　ｕ（ｘ，０）一ｅｘｐ（ｉｋｘ）　Ｃ一　（＾　＋ｈ３）（＾｝一＾；）　（＾２一ｈ　）（＾｝一＾；）　利用分离变量法，可得如下形式的解：　ｈ１ｈ３　ｈ１ｈ２　’　Ｕ（　，　）＝ｕ（ｔ）ｅｘｐ（ｉｋｘ）．其Ｘ方向的二阶导数为　Ｄ一　＋　；　Ｕ　一一ｋ２ｕ（ｔ）ｅｘｐ（ｉｋｘ），可将其改写为形式　＾　一一Ｋ　五（　）ｅｘｐ（ｉｋｘ），其中Ｋｄ为口一ｋｈ　的函　Ｅ一（＾１一ｈｚ）（＾｝一ｈ；）一（＾１＋ｈ３）（＾｝一ｈ；）；　数．对取定波数点（或口），数值解逼近准确解要求：　Ｆ一（＾１＋ｈ３）（＾；一瑶）＋（＾３一ｈ　）（＾｝一＾；）；　Ｋ　／ａ。一１．它的逼近程度反映了格式的精度，它的　＾１一＾斗１；ｈ２一＾斗１＋＾　；ｈ３一ｈ　；　逼近方式可反映出数值解的行为特性．利用这种办　ｈ４＝ｈ　一１＋ｈ　；ｈ　一．７７　—ＸＨ．　法可以了解一个格式对不同尺度物理量（对应于不　２精度分析　同波数的Ｆｏｕｒｉｅｒ分量）的模拟能力．对如上所求出　的二阶导数三阶精度差分表达形式可求出对应的　作为一个模型问题，为了验证上述差分格式的　Ｋ　一Ｋ，＋ｉＫ　的分析表达式：　精确性和可靠性，对函数Ｙ—ｅｘ＋ｌｎ（ｘ＋１）进行考　Ｋ，一ａｃｏｓ（　ａ）４－ｂｃｏｓ（　＋　斗１２１）＋　核，考核其在非等距网格下所求出的二阶导数三阶　Ｃ＋ｄｃｏｓ　ａ＋ｅｃｏｓ（１２／Ｏｉ一１２／　卜１）　精度差分格式的准确性问题．考核问题：　Ｋｉ—ａｓｉｎ（Ｏｉ２１）＋ｂｓｉｎ（Ｏｉ２１＋ｏ，ｏ　１１２）一　ｆ　）一２　ｃｏｓ（￣ｘ）　【　（　）一（Ｏ．５—２７ｃ２）　ｃｏｓ（　）＋２７ｃｅ－Ｏ．　ｓｉｎ（ｒ￣）　ｄｓｉｎ　１２一ｅｓｉｎ（ａ／Ｏｉ一口／　１）　口．　嫡ｉ　ｉ隅Ｈ一２　嫡９　一２隅Ｈ　西§　Ｈ　非均分网格采用由密渐稀，再由稀渐密．取计算区间　一——　丁　一　ｚ方向的长度为１０，节点数为１００，用Ｆｏｒｔｒａｎ７７语　Ｄ一一　４　＋ｚｏ，／ｏ．１＋２＋２／　１　‘　言进行编程，进而对函数　（　）的二阶导数差分格式　与函数导数的真实结果进行比较，并得出差分值与　准确值之间的误差￡（￡为差分值与准确值之差）曲　（　＋２　斗１＋　１＋　＋ｏｄ斗　）　线图（见图１）．由图１得出的二阶导数差分格式满足　一一　坠　（二墨　±垒　二墨（１＋　）．　　±一　’　其精度要求，差分格式是合理可靠的．　４０ｉ／０￣＿１＋ｚｏ，ｏ斗ｌ＋２　州／　１）　（１＋　＋ｏ，ｏ斗１）　“一ｄ＝　１　　＋　Ｚ—Ｏ．／￣当　ｌ＋　斗ｏ，ｏ　１／　ｌ＋　１３／　一　＋’　４０，一ｚｏ，ｏ斗ｌ＋２　）　３／　１＋　／　＋１／雎　＋　＋２　＋’　一．．．　．．．．．．．．．．．　．．．．　．　．．．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　．，．．．．．．．．　：．．．　．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．一．．——一．．　ａ导数差分格式与真实值的比较　ｂ误差曲线图　鸱／　ｑ＋鹚　州／　ｑ＋ｏ，ｏ州＋　州／　＿１＋　一图１　二阶导数差分格式与函数导数真实值比较及误差图　４０１／０￣＿．１一ｚｏ，ｏ斗１／　ｌ＋２／　１＋２　斗１一一——————万　＿二Ｆ　一＝一———一一　、　Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｆｉｑｕｒｅｓ　ｏｆ　Ｔｈｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｎｄ　一盟　（＋　１　１／　）　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ’ｓ　ｔｒｕｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｌ［Ｆｏｒ　ｃｕｌｗｅ　其中ｒ—　—ｈ斗　／ｈ　为网格比率，本文仅对网格比　下面采用Ｆｏｕｒｉｅｒ方法（即在波空间）来分析数　率为常数的情况进行了研究．　值解的误差传播问题［４，６，７］．为了分析三阶截差的精　图２中给出了对应于所求二阶导数逼近式的　Ｋ　的实虚部随口的变化曲线．　维普资讯 http://www.cqvip.com 兰３　Ⅱ　ＥＸＡＣＴ　——－州　交通大学学报　第２７卷　．．．．。一一ｒ＝Ｏ．６　ｒ＝０．８　ｒ＝１．０　ｒ＝－Ｉ．２　～程度（精度）有所不同．此格式对低波分量和高波分　量，其模拟能力较高，但是对超高波分量，模拟能力　，一＿二：．　－　一一　’　‘　，　—１　、　较差，不过可以通过加密网格的方法来提高精度．根　据网格比率的不同，格式的色散特性和耗散特性有　很大的不同．对于以上模型方程，当网格的比率大于　１时，格式通常是稳定的，但对于高波分量的模拟效　—３　ａＫｉ随ｄ的变化曲线　ｂＫ，随ｄ的变化曲线　果较差，网格比率小于１时，虽然对高波分量的模拟　效果较好，但格式是不稳定的．　参考文献：　Ｅ１３　孙志忠．偏微分方程数值解法［Ⅳ【］．北京：科学出版社，　２００５．　图２　二阶导数逼近式的随的变化曲线　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅ　ｏｆ／Ｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｘｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　从图２中可以看出，对低波分量，能较好的逼近　准确值．高波分量的模拟能力较弱些，超高波分量是　很难逼近的．从图２ａ中可以看出当ｒ＞１时，格式为　耗散型，耗散型格式通常是稳定的；当ｒ一１时，格式　Ｉ－２］　张兆顺，崔桂香，许春晓．湍流理论与模拟Ｉ－Ｍ－Ｉ．北京：　清华大学出版社，２００５：１９３—１９４．　为非耗散型；当ｒ＜１时，格式为反耗散型，而反耗散　型格式是不稳定的．所以当网格比率不同时，格式的　耗散特性也有所不同．从图２ｂ中可以看出当ｒ＜１　时差分格式对高波分量的模拟要比网格比率ｒ＞１　时的模拟效果好．　［３］　陆金甫，关治．偏微分方程数值解法［Ｍ－Ｉ．２版．北京：　清华大学出版社，２００４．　［４］　傅德薰，马延文．计算流体力学［Ｍ］．北京：高等教育出　版社，２００２．　Ｅ５］　陶文铨．数值传热学Ｉ－Ｍ－ｉ．２版．西安：西安交通大学出　版社，２００１．　ｇｈｅｒ—　［６］　ＣＨＵＡＮＧ　Ｙ　Ｍ，ＴＵＣＫＥＲ　Ｐ　Ｇ．Ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｈｉｏｒｄｅｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅｓ　Ｏｎ　ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｇｒｉｄｓ　４结论　本文利用Ｔａｙｌｏｒ展式系数匹配法得到基于非　等距网格的二阶导数三阶精度的差分格式，并且就　［Ｊ］．Ａｍｅｒｉｃａ：Ａ　Ａ　Ｊｏｕｒｎａｌ，２００３，４１：１－３。　［７－１　ＦＵ　Ｄ　Ｘ，ＭＡ　Ｙ　Ｗ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｆｌｕｉｄ　ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ］．　Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｈｉｇｈｅｒ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｐｒｅｓｓ，２００２：１８３－１８６．　此种格式进行了精度分析．在不同网格比下，其逼近　Ａｃｃｕｒａｃｙ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓａｃｈｅｍ　ｏｆ　Ｔｈｉｒｄ－ｏｒｄｅｒ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｎ　Ｎｏｎ－ｕｎｉｆｏｒｉｌｌ　Ｇｒｉｄ　ＬＩ　Ｌｉ—ｌｉ　，　ＺＨＡＮＧ　Ｋｕｎ　，　ＷＡＮＧ　Ｌｉａｎｇ—ｂｉｚ，　ＣＨＡＮＧ　Ｙｉｎｇ—ｘｉａｎｇ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｐｈｙｓｉｃｓ＆Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ　７３００７０，Ｃｈｉｎａ；　２　Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｇ，Ｌａｎｚｈｏｕ　ｎＪｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１．ａｎｚｈｏｕ　７３００７０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｔｈｉｒｄ—ｏｒｄｅｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉＳ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｏｎ　ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｇｒｉｄ．　Ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｉｓ　ｇｏｏｄ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｈｅｒｅ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉｓ　ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ．Ｔｏ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｏｎ　ｎｏｎ－ｕｎｉｆｏｒｍ　ｇｒｉｄ　ｓｙｓｔｅｍ，　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｉｓ　ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ．Ｔｈｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｇｒｉｄ　ｒａｔｉｏ　ｐｌａｙｓ　ａ　ｃｒｕｃｉａｌ　ｒｏｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｃｃｕ—　ｒａｃｙ　ｏｆ　ｓｕｃｈ　ｓｃｈｅｍｅ．Ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｉｓ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｆｏｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｇｒｉｄ　ｒａｔｉｏ．Ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｇｒｉｄ　ｒａｔｉｏ　ｉｓ　ｂｉｇｇｅｒ　ｔｈａｎ　１，　ｔｈｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉｓ　ｓｔａｂｌｅ。ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｈｉｇｈ　ｗａｖｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｇｏｏｄ；ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｇｒｉｄ　ｒａｔｉｏ　ｉｓ　ｓｍａｌｌｅｒ　ｔｈａｎ　１，ｔｈｅ　ｏｕｔ　ｃｏｍｉｎｇ　ｏｆ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｈｉｇｈ　ｗａｖｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｉｓ　ｗｅｌｌ，ｂｕｔ　ｔｈｅ　ｓｃｈｅｍｅ　ｉｓ　ｉｎｓｔａｂｌｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ—ｕｎｉｆｏｒｍ　ｍｅｓｈｅｓ　ｓｅｃｏｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｓｃｈｅｍｅ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ａｎａｌｙｓｉｓ