第二部分 攻克题型得高分
圆的综合题（角平分线模型）
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.
(1)求证：BD＝BF；
(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．
2. 已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AB＝10，AC＝6，求BD的长；
19
(3)如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝，tan∠BAD
43
＝，求⊙O的半径． 4
答案
1. (1)证明：∵BF是⊙O的切线， ∴∠ABF＝90°. ∵CF∥AB，
∴∠F＝90°，∠ABC＝∠FCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴∠F＝∠BDC. ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠FCB. 在△BCD和△BCF中，
1
∠BDC＝∠F
∠DCB＝∠FCB， BC＝BC
∴△BCD≌△BCF(AAS)， ∴BD＝BF；
(2)解：∵AB＝AC，AB＝10， ∴AC＝10.
∵CD＝4，∴AD＝6.
在Rt△ADB中，由勾股定理得 BD＝102－62＝8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得 BC＝82＋42＝45. 即BC的长为45.
2. (1)证明：如解图①，连接OD， ∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠DAE，
第2题解图①
∴∠ODA＝∠DAE， ∴OD∥AE，
∴∠ODE＋∠AED＝180°， 又∵∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，
∵OD∥AE，O是AB的中点， 1
∴ON∥AC，且ON＝AC，
2故∠ONB＝90°，且ON＝3，
2
则BN＝4，ND＝2， ∴BD＝42＋22＝25；
(3)如解图②，设FG与AD交于点H，根据题意，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝34，可设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，AF＝54
x， ∴FH＝AF·tan∠BAD＝53154x·4＝16x，
5AH＝AFcos∠BAD＝4x4＝25
16
x，
5HD＝AD－AH＝4x－
2516x＝3916
x， 由(1)可知，∠HDG＋∠ODA＝90°，在Rt△HFA中，∠
第2题解图②
又∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG， ∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝GD，过点G作GM⊥HD，交HD于点M， ∴MH＝MD，
∴HM＝12HD＝12·3916x＝39
32
x，
∵∠FAH＋∠AHF＝90°，∠MHG＋∠HGM＝90°，
且∠FHA＝∠MHG， ∴∠FAH＝∠HGM，
39在Rt△HGM中，HG＝HM32x65
sin∠HGM＝3＝32
x，
5∵FH＋GH＝FG＝
194
， 3
FAH＋∠FHA＝90°，
故有：
1565198x＋x＝，解得：x＝. 163245
58
故⊙O的半径为：×＝4.
25
4
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