平面几何：有关三角形五心的经典考题及证明-(中考提分助力)

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心. 一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心。与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理。

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交

AC于N。作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上。 (杭州大学《中学数学竞赛习题》）

AP'分析：由已知可得MP′=MP=MB,NP′=NP

N=NC，故点M是△P′BP的外心,点

N是△P′PC的外心.有

M11BC ∠BP′P=∠BMP=∠BAC, P2211 ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.

22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC。

从而,P′点与A,B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上. 由于P′P平分∠BP′C，显然还有 P′B：P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q,S.证明以△APS，△BQP，

△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似。 (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》）

A分析：设O1，O2,O3是△APS，△BQP，

O1△CSQ的外心,作出六边形 ....PKSO1PO2QO3S后再由外

心性质可知 O2O3BC ∠PO1S=2∠A, Q ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C。

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可

得△O1O2O3≌△O1KO3。

1 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K

21 =（∠O2O1S+∠SO1K)

21 =（∠O2O1S+∠PO1O2)

21 =∠PO1S=∠A;

2 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 例3．AD,BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明:在△PAD，△PBE,

△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和. （第26届莫斯科数学奥林匹克）

A分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB

A'F'，BC相交.从A,C，D，E,F分别 EFG作该直线的垂线，垂足为A′，C′， E'D'D′,E′，F′。 BCC'D 易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，P ∴EE′=DD′+FF′。 有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成

的新三角形相似.其逆亦真。

分析：将△ABC简记为△，由三中线AD,BE，CF围成的三角形简记为△′.G

为重心,连DE到H，使EH=DE，连HC,HF,则△′就是△HCF。 (1）a2,b2，c2成等差数列△∽△′。 若△ABC为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a≥b≥c,有

1 CF=2a22b2c2，

21 BE=2c22a2b2，

21 AD=2b22c2a2。

2 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得 CF=

333b，AD=c。 a，BE=222333b：c a:222 ∴CF：BE:AD =

=a：b：c。

故有△∽△′。

(2)△∽△′a2,b2，c2成等差数列。 当△中a≥b≥c时, △′中CF≥BE≥AD. ∵△∽△′， ∴

S'CF2

＝（). Sa 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

S'3=。 S43”,有4CF23 ∴2=3a2=4CF2=2a2+b2—c2

4aa2+c2=2b2。

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心。由三角形的垂心造成的四个等(外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利。

例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为

△A2A3A4,△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心。求证：H1,H2,H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. （1992，全国高中联赛) A1A2分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径

为R。由△A2A3A4知 HH1

A2H1=2RA2H1=2Rcos∠A3A2AA4; 3sinA2A3H1O.2A4 由△A1A3A4得

A1H2=2Rcos∠A3A1A4。

但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2。

∥ 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 AH, =12

故得H1H2 ∥ AA。设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M

=21

点成中心对称。

同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.

故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形,H1，H2,H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点,Q点就不难确定了.

例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA,AB的中心。一个以H为圆

心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2,C1,C2。 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. （1989,加拿大数学奥林匹克训练题） B2C1A分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设 H2MEA2A1FBC=a， CA=b，AB=c，△ABC外

H接圆半径为R，⊙H的半径为r。 BCH1 连HA1，AH交EF于M。 D AA12=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2

C2B1=r2+(AM2—MH2）， ①

11 又AM2—HM2=（AH1）2-(AH-AH1）2

22 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2

2

=cosA·bc—AH， ②

AH 而=2RAH2=4R2cos2A,

sinABHa=2Ra2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有

b2c2a2AA=r+·bc—(4R2-a2)

2bc212

1222

(a+b+c)—4R2+r2. 21同理，BB12=（a2+b2+c2)-4R2+r2，

21CC12=（a2+b2+c2）—4R2+r2。

2故有AA1=BB1=CC1. 四、内心

三角形内切圆的圆心，简称为内心。对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：

设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).

D例7．ABCD为圆内接凸四边形，取

△DAB，△ABC，△BCD， O4O3C△CDA的内心O1, O2，O3， O4。求证:O1O2O3O4为矩形.

O2O (1986，中国数学奥林匹克集训题）

BA证明见《中等数学》1992；4

例8．已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB，AC于E,F且与⊙O内切。试证：EF中

点P是△ABC之内心.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析:在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增加

了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？

如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知

rAQ=。

sinAMααR ∵QK·AQ=MQ·QN,

=

1EMQQN ∴QK=

AQOBrPQFNC(2Rr)r ==sin(2Rr)。

r/sin 由Rt△EPQ知PQ=sinr.

K ∴PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R。 ∴PK=BK.

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心。 五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切。

例9．在直角三角形中,求证：r+ra+rb+rc=2p。

式中r,ra,rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p

表示半周.

（杭州大学《中学数学竞赛习题》）

分析:设Rt△ABC中，c为斜边,先来证明一个特性：

p（p-c）=(p-a)（p—b）.

11∵p（p-c）=(a+b+c）·(a+b—c） rcK22AO31O2 =［(a+b)2-c2］

rbO4rE1B =ab； raC2O111(p—a)(p-b）=（—a+b+c)·（a—b+c） 2211 =[c2-(a-b)2]=ab。

42∴p（p-c)=(p-a)（p-b）. ① 观察图形,可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG—BC=p—a， rc=CK=p。

1而r=（a+b—c）

2 =p—c。 ∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+（p—b）+（p—a)+p =4p—(a+b+c)=2p. 由①及图形易证。

例10．M是△ABC边AB上的任意一点。r1，r2,r分别是△AMC,△BMC，△ABC

内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径。

证明：

r1rr·2=。 q1q2q（IMO—12）

分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

OD=OA′·sinA' 2C'OA'..ED.B'B'A'2 =A′B′··sin 2sinA'O'B'A'B'sinsin22， =A′B′·

A'B'sin2A'B'coscos22。 O′E= A′B′·

A'B'sin2ODA'B'∴tgtg。 O'E22亦即有

sinO'r1rACMACNBB·2=tgtgtgtg

2222q1q2 =tgABrtg=。 22q六、众心共圆

这有两种情况：（1）同一点却是不同三角形的不同的心；（2)同一图形出现了同一三角形的几个心。

例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA。试证:(1）

AD,BE，CF三条对角线交于一点；

（2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题）

分析：连接AC，CE，EA,由已知可证AD,CF，EB是△ACE的三条内角平分线,I

为△ACE的内心。从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不

..等式有： ErdosA BI+DI+FI≥2·（IP+IQ+IS）.

F 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BQ ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC。

IPE ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA S =2（BI+DI+FI)

C ≥（IA+IE+IC）+(BI+DI+FI) D =AD+BE+CF。 I就是一点两心。

例12．△ABC的外心为O,AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE

丄CD。

（加拿大数学奥林匹克训练题)

A分析：设AM为高亦为中线，取AC中点

F，E必在DF上且DE:EF=2：1。设

CD交AM于G，G必为△ABC重心。 DGEF连GE，MF,MF交DC于K.易证： OK111BCDG:GK=DC:(）DC=2:1. 323 ∴DG:GK=DE:EFGE∥MF。 ∵OD丄AB，MF∥AB,

∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD。

例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的

E点使得AD=BE=AB.求证:OI丄DE，OI=DE. （1988，中国数学奥林匹克集训题）

分析:辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

∠AID=∠AIB=∠EIB. DAC30° 利用内心张角公式，有

OKI1FE ∠AIB=90°+∠C=105°，

2B ∴∠DIE=360°-105°×3=45°。

1 ∵∠AKB=30°+∠DAO

21 =30°+(∠BAC—∠BAO）

21 =30°+（∠BAC-60°）

21 =∠BAC=∠BAI=∠BEI。

2 ∴AK∥IE.

由等腰△AOD可知DO丄AK,

∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高。 同理EO是△DIE之垂心,OI丄DE。 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

例14．锐角△ABC中,O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和

为d外，重心到三边距 A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂。

H3求证：1·d垂+2·d外=3·d重。 G3O2O3G2分析：这里用三角法.设△ABC外接圆

H2OG半径为1，三个内角记为A，B， IBC。 易知d外=OO1+OO2+OO3 CO1G1H1=cosA+cosB+cosC，

∴2d外=2(cosA+cosB+cosC）. ①

∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB） ②

BH ∴=2,

sinBCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2,HH3。 ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2（cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论,观察①、②、③,

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB）+( cosA+ cosB+ cosC）=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB。即可.

练 习 题

1.I为△ABC之内心,射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′， B′,C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.（1982,澳大利 亚数学奥林匹克）

2。△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克) 3.I为△ABC的内心.取△IBC,△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证:△O1O2O3与△ABC有公共的外心。（1988,美国数学奥林匹克)

4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.

5.△ABC中∠C＜90°,从AB上M点作CA，CB的垂线MP,MQ。H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时,求H的轨迹.(IMO-7）

16。△ABC的边BC=（AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.

2试证:过A,M,N三点的圆与直线GI相切.（第27届莫斯科数学奥林匹克） 7。锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2,H3,求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克）

8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.

9。AB，AC切⊙O于B,C,过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证:(1）△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合。