一、选择题
2
1．若二项式(x－x)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( ) A．6
B．10
C．12
D．15
n－3rn－3r2rn－rrr
解析：Tr＋1＝Cr(x)(－)＝(－2)Cx，当r＝4时，＝0，又n∈N*， nn
x22∴n＝12. 答案：C
2．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．74
B．121
C．－74
D．－121
3(－1)3＋C3(－1)3＋C3(－1)3＋C3(－1)3＝－121. 解析：展开式中含x3项的系数为C5678
答案：D
3.在(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为( )
A．160
B．240
C．360
D．800
4解析：解法一：在(x2＋3x＋2)5展开式中x项的系数为3C15×2＝240.
45145
解法二：(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5＝(x5＋C15x＋…＋1)(x＋2C5x＋…＋2)， 544∴其展开式中x项的系数为C452＋C52＝240.
答案：B
4．在(1－x)5(1＋x)4的展开式中x3项的系数为( )
A．－6
B．－4
C．4 D．6
2233223344解析：(1－x)5(1＋x)4＝(1－C1(1＋C15x＋C5x－C5x＋…)·4x＋C4x＋C4x＋C4x)， 12213∴x3项的系数为1×C34－C5C4＋C5C4－C5×1＝4.
答案：C 二、填空题
5．已知二项式(1－3x)n的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x2
项的系数是________．
r解析：令x＝1，则(1－3x)n＝(－2)n，即(－2)n＝64，∴n＝6.又Tr＋1＝Cr6(－3x)， n222则T3＝C26(－3x)＝135x，∴(1－3x)展开式中含x项的系数为135.
答案：135
6．(x2＋1)(x－2)7的展开式中x3项的系数是________．
1x6＋4C2x5－8C3x4＋16C4x3－32C5x2＋ 解析：(x2＋1)(x－2)7＝(x2＋1)(x7－2C77777
64C67x－128)，
4则其展开式中x3项的系数为64C67＋16C7＝1 008.
答案：1 008
7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1， 36＋136＋1
∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
22答案：364 三、解答题 8．已知(x＋
1
)n的展开式中前三项的x的系数成等差数列．
4
2x
(1)求展开式里所有的x的有理项；(2)求展开式里系数最大的项．
n1n1110＝1，C1·＝，C2()2＝n(n－1)，由题设可知2·＝1＋n(n－1)， 解答：(1)∵Cnnn
2228284－
8－r·n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．当n＝8，通项Tr＋1＝Cr(2x)r 8(x)3r3－
＝Cr2r·x4－r.据题意，4－必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8， 8·44∴r＝0,4,8，故x的有理项为T1＝x4，T5＝
351
x，T9＝. 8256x2
(2)设第r＋1项的系数tr＋1最大，显然tr＋1＞0，
tr＋1tr＋2tr＋1Cr2r9－r9－rtr＋28·
故有t≥1且≤1.∵t＝r－1－r＋1＝，由≥1得r≤3.∵≤1，得r≥2，
2r2rtr＋1C8·2tr＋1rr57
∴r＝2或r＝3，所求项为T3＝7x和T4＝7x.
24
9．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构
成新数列{Cn}的通项公式．
解答：等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，等比数列2,4,8，…的通项公式 为bk＝2k，
2k＋1(3－1)k＋1
令3n－1＝2，n∈N，k∈N，即n＝＝ 33
k
*
*
k1k1＋…＋Ck13(－1)k1＋Ck(－1)k＋1C0k3－Ck3kk
＝，
3
02m1－C12m2＋…＋C2m23C－13－132m2m2m－1
当k＝2m－1时，m∈N*，n＝∈N*，
3
－
－
－
－
－
－
－
Cn＝b2n－1＝22n1(n∈N*)． 2x－1
10．已知f(x)＝x.
2＋1
－
(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；(2)若n∈N*，且n≥3， n
试证：f(n)＞.
n＋1
证明：(1)设x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝＝
2(2x1－2x2)
，
(2x1＋1)(2x2＋1)
2x1－12x2－1(2x1－1)(2x2＋1)－(2x2－1)(2x1＋1)
－＝ 2x1＋12x2＋1(2x1＋1)(2x2＋1)
由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)当
n∈N*且
2n－1nn
n≥3，要证f(n)＞，即n＞，只须证2n＞2n＋1，
n＋12＋1n＋1
－
nn11201
∵2n＝C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＞Cn＋Cn＋Cn＝2n＋1.
∴f(n)＞
n
. n＋1
1．若(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，令f(n)＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n，
则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)等于( )
1142A.(2n－1) B.b(2n－1) C.(4n－1) D.(4n－1) 333解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝22n，① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a2n＝0，②
11－－
×①＋×②得 a0＋a2＋…＋a2n＝22n1，即f(n)＝22n1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n) 22
－
＝2＋23＋25＋…＋22n1＝
2(22n－1)2n
＝(4－1)． 322－1
答案：D
1
2．若数列{an}的通项公式为an＝(1＋n)n，试证：
(1)数列{an}为递增数列；(2)2≤an＜3.
1112n1n2
证明：(1)an＝(1＋n)n＝1＋C1n＋Cn()＋…＋Cn()， nnn
1n＋11121n＋1＋11an＋1＝(1＋)＝1＋Cn＋C2)＋…＋Cn). ＋1n＋1(n＋1(n＋1n＋1n＋1n＋1
1k1k1kkk1k可观察Ck)与Ck)＝Cn＋1(n()，当k＝0,1时，Cn＋1(n()；当k＝2,3,4，…，n nnn＋1n＋11k1k时，Ck)＞Ckn＋1(n(). nn＋1
∴an＜an＋1，即{an}为递增数列．
1111111＋C2()2＋…＋Cn()n≥1＋C1＝2，又a＝(1＋)n (2)∵an＝(1＋)n＝1＋Cnnnnnnnnnnn11111111＋C2()2＋…＋Cn()n≤2＋＝1＋Cn＋＋…＋＝3－＜3. nn
nnnn1×22×3(n－1)n
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