2010年名校精华重组数学试题(7)

数 学

2010年天利名校精粹重组（7）

数 学 试 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。 m

1．已知＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝

1＋i

A．1＋2i

B．1－2i

C．2＋i

D．2－i

（ ） （ ）

2．若方程x+y-6xy+3k=0仅表示一条射线，则实数k的取值范围是

A．（-∞,3）

B．（-∞,0]或k=3 C．k=3 D．（- ∞,0）或k=3

3．如果函数f（x）=x2+bx+c对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么

A．f(2)f(0)f(2) C．f(2)f(0)f(2)

B．f(0)f(2)f(2) D．f(0)f(2)f(2)

（ ）

4．天津“夏季达沃斯论坛”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）

A．CCC

121441248B．CAA

121441248

124C14C12C84C． 3A31243D．C14 C12C84A35．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能

是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒 116．已知x<，则函数y＝2x＋的最大值是

22x－1

A．2

B．1

C．－1

D．－2

（ ） （ ）

7．已知A、B、C三点不共线，且点O满足OAOBOC0，则下列结论正确的是

21ABBC 3321C．OAABBC

33A．OA

12ABBC 3312D．OAABBC

33B．OAx1n()的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 8．在

23xA．5 B．6 C．7 D．8 9．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC

1

（ ）

数 C学 与直线1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是 （ ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

10．如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个

内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质 点恰好落在△MPN的概率为 （ ）

13A． B．

22C．

33 D． 34

11．函数f（x）=x,xP,其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x）,x∈P}，

x,xM,

f（M）={y|y=f（x）,x∈M}.给出下列四个判断： ①若P∩M=，则f（P）∩f（M）= ②若P∩M≠，则f（P）∩f（M） ≠； ③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R ④若P∪M≠R，则f（P） ∪f（M）≠R. 其中正确判断有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

12．已知yf(x)是偶函数，而yf(x1)是奇函数，且对任意0x1，都有f'(x)0，则

98101106),bf(),cf()的大小关系是 191715A．cab B．cba C．acb D．abc af(

（ ）

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

213．若不等式xax0的解集是x0x1，则a________

14．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为 120°，

底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为 .

15．下图是求123…+100的值的程序框图，则正整数n ．

2222 2

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开始 i1,s0 ii1 ssi2in? 否 输出s 结束 16．①存在(0,2)使sinacosa1 3 ②存在区间（a，b）使ycosx为减函数而sinx＜0 ③ytanx在其定义域内为增函数 ④ycos2xsin(⑤ysin|2x2x)既有最大、最小值，又是偶函数

6|最小正周期为π

以上命题错误的为____________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知f(x)3cos2111xsinxcosx． 2220 （Ⅰ）将f(x)化为Asin(x)k(0， （Ⅱ）写出f(x)的最值及相应的x值；

2)的形式；

（Ⅲ）若36，且f()33，求cos2． 52 18．（12分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否

接收、抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品. （Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率； （Ⅱ）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．

3

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19．（本小题满分12分）

如图，三棱锥P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。 （1）求证：AB⊥平面PCB；

（2）求二面角C—PA—B的大小的余弦值。 20．（本小题满分12分）

已知各项都不为零的数列{an}的前n项和是S n，且Sn（1）求证：数列{an}是等差数列； （2）若数列{bn}满足bn1，a1=1. anan1（nN﹡）

22an112an1（nN﹡），求证：2nbn2n3.

i1n

21．（12分）

定义在区间（－1，1）上的函数f （x）满足：①对任意的x，y∈（－1，1），都有f （x） + f （y）

=f(xy); ②当x∈（－1，0），f （x） > 0. 1xy（1）求证f （x）为奇函数；

（2）试解不等式：f （x） + f （x－1） f().

4

12

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x2y222．已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线

abl：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB. （Ⅰ）证明：λ＝1－e2； （Ⅱ）若

3，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程. 4参考答案

一、选择题

m(1－i)mmmmm

1．C [解析]：＝＝－i＝1－ni，∴＝1，n＝＝1.

222221＋i

故m＝2，n＝1，则m＋ni＝2＋i，选C.

2．C [解析]： 令xy=t, 方程x+y-6xy+3k=0为t2-6t+3k=0

∵方程x+y-6xy+3k=0仅表示一条射线 ∴t2-6t+3k=0的0k3

5

1

3．D [解析]： 依题意，由f(1x)f(x)知，二次函数的对称轴为x= ,因为f(x)x2bxc开

2

口向上，且f（0）=f（1）,f（-2）=f（3）,所以f(0)f(2)f(2)，选择D.

4．A [解析]: 先从14名志愿者挑选12名参加接待工作，再从12人中依次挑选早、中、晚三班各4人，

4124124则开幕式当天不同的排班种数为C14=C14C12C84C4C12C84

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5．C [解析]：每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共就有600+595=1195s． 111

6．C [解析]：y＝2x＋＝－[（1－2x）＋]＋1，由x<可得1－2x>0，

22x－11－2x

根据基本不等式可得（1－2x）＋正确答案为C.

11

≥2，当且仅当1－2x＝即x＝0时取等号，则ymax＝－1.1－2x1－2x

217．D [解析]：依题意，由OAOBOC0得3OAABAC，所以OAABBC，选择D

334401n8．C [解析]：第5项二项式系数为Cn且Cn中只有Cn最大，故n8． ,Cn,Cn常数项是C8()(6x2216)=7． 3x9．D [解析]：∵P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离,

∴点P到直线BC与点C1的距离相等

故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线 3

S△MNP4310．D [解析]：易知质点落在三角形MNP内的概率P＝＝＝.

SABCD14

11．A [解析]：①②③④错

若P={1}, M={- 1}则f（P）={1},f（M）={1} 则f（P）∩f（M） ≠故①错 若P={1,2}, M={1}则f（P）={1,2},f（M）={1}则f（P）∩f（M） =故②错

若P={非负实数},M={负实数}则f（P）={ 非负实数},f（M）={ 正实数} 则f（P） ∪f（M）≠R. 故③错

若P={非负实数},M={正实数}则f（P）={ 非负实数},f（M）={ 负实数} 则f（P） ∪f（M）=R. 故④错 12．A [解析]：依题意，yf(x)图像关于y轴成轴对称，因为yf(x1)是奇函数，所以yf(x1)的对称中心为（0，0），所以yf(x)的对称中心为（1,0），即f（x）=f（-x）=-f（2+x）=f（x+4），因此函数yf(x)的周期为

4，有af(98)19f(2210125)bf()f()，，1919191061414cf()f()f()，因为对任意0x1，都有f'(x)0，所以yf(x)在[0,1]上为

151515142225增函数，所以yf(x)在[0,2]上为增函数，又，所以cab. 151919二、填空题

6

13． 1 , [解析]：不等式x2ax0的解集是x0x1

等价于x2ax0有两个根0,1

22122π14．π [解析]：因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝×π×12×22＝.

33315．100 [解析]：本题考查算法语言，属中档题.因为第一次判断执行后，i2,s12,第二次判断执行

后，i3,s1222，而题目要求计算123100，故n=100. 16．①②③⑤ [解析]：①当(0,2222数 学

2)时sinacosa1，故①错

②若ycosx为减函数则x[2k,2k]③当x分别去,2时，y都是0，故③错 ④∵ycos2xsin(是

kZ，此时sinx>0，故②错

2x)=2cos2xcosx1

∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对 ⑤ysin|2x6|最小正周期为

，故⑤错 2三、解答题 17．（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）．f(x)3cos2111xsinxcosx 22231cosx1sinx2分 2234分 sin(x)32

（Ⅱ）．当x5=2k，kZ即x=2k，kZ时5分 32636分 2

f(x)得到最小值1当x3=2k2，kZ即x=2k6，kZ时7分

f(x)得到最大值1

38分 2

（Ⅲ）．由f()sin(∵3)3333得sin()

352522，∴cos(36，∴033)4 9分 5 7

24)2sin()cos() 3332527cos(2)2cos2()110分

3325222222)]cos(2)cossin(2)sin∴cos2cos[(2 333333∴sin(2数 学 2

243712分 508767. „„3分

10981518．解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件A，P(A)即这箱产品被用户接收的概率为

7． „„4分 15（Ⅱ）的可能取值为1，2，3． „„5分

P1=

21， 105828， P2=109458728， „„8分 P3=10945∴的概率分布列为：

 1 2 3 „„10分 828 P 4545182810923∴E=1． „„12分

545454519．解：（1）PC平面ABC,AB平面ABC,PC1 5AB. „„„„1分

CD平面PAB,AB平面PAB,CDAB. „„„„2分

又PCCDC,AB平面PCB. „„„„3分 （2）取AP的中点E，连结CE、DE。

PCAC2,CEPA,CE2. „„„„4分

CD平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DEPA.CED为二面角CPAB的平面角.10分

由（1）AB平面PCB,又ABBC,可求得BC2.

8

在RtPCB中,PBPC2BC26,CDPCBC222.12分PB63DECE22433.13分3数 学

在RtCDE中,cosCED二面角CPAB大小的余弦值为3.14分3

20．（1）当n=1，由a11S1a1a2及a11•,•得a22.

211SnSn1anan1an1an，得an(an1an1)2an.

22当n2时，由an因为an0，所以an1an12.

1(n1)22n1，a2n2(n1)22n，nN.

从而a2n1故an，an1an1，数列{an}是等差数列； n（nN）

2n111（2）由（1）得bn， 2nn2121因为2n122n(31)2n3，

n所以32n13,•2bn2n， 2n3，3(2n1)2n0，02n2n1•321112nbn2n3(2n)，

222i111nn122即2nbn2n3，

1i1122nbn2n3i1n32n2n3，因此有2nbn2n3.

i1n21．解：（1）解：令x = y = 0，则

f （0） + f （0） = f(00)f(0) ∴ f （0） = 0 10令x∈（－1, 1） ∴－x∈（－1, 1）

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数 学

∴ f （x） + f （－x） = f （

xx1x2） = f （0） = 0

∴ f （－x） =－f （x） ∴ f （x） 在（－1，1）上为奇函数„„„„„„„4分 （2）解：令－1< x1 < x2 < 1

则f （x1） －f （x2） = f （x1） + f （－x2） = f(∵x1－x2 < 0，1－x1x2 > 0 ∴

x1x2)

1x1x2x1x2xx20 ∴ f(1)> 0

1x1x21x1x2∴ f （x1） > f （x2） ∴ f （x） 在（－1，1）上为减函数 又f （x） + f （x－1） >f()

12 f(1)f()„„„„„„„8分 221xx2x1

1x10x1∴ 不等式化为1x112

2x1x5x30121xx2

0x1513513x0x或 51322x2∴ 不等式的解集为{x|0x513}„„„„„„„12分 222．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：yexa与x轴、y轴的交点，

yexa,xc,a2222所以A、B的坐标分别是(,0),(0,a).由x得yb2这里cab. e221,y.abab2ab2a 所以点M的坐标是（c,）. 由AMAB得(c,)(,a).

aeaeaacee即2baa解得1e2

yexa与x轴、证法二：因为A、B分别是直线l：y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(a,0),(0,a).e 10

设M的坐标是(x0,y0),由AMAB得(x0数 学

aa,y0)(,a), eeax(1)所以0e

y0a.22x0y0因为点M在椭圆上，所以 221,

aba[(1)]2(a)2(1)22e即21,所以1. 222abe1ee42(1)e2(1)20, 解得e21 （Ⅱ）当即1e2.

31时，c，所以a2c.

24由△MF1F2的周长为6，得2a2c6.

x2y21. 所以a2,c1,bac3. 椭圆方程为43222

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