【数学】大教育全国名校联盟2020届高三上学期第一次质量检测试题(理)

大教育全国名校联盟2020届 高三上学期第一次质量检测试题（理）

注意事项

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上。 2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效。

第I卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x2－x＋2>0}，则A∩B＝ A.{－1，0} B.{0，1} C.{－1，0，1} D.{－2，－1，0，1，2} 2.若复数z＝(m＋1)＋(2－m)i(m∈R)是纯虚数，则

63i zA.3 B.5 C.5 D.35 3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且aα，bβ，a//β，b//α，则“a//b”是“α//β”的

A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)xx的图象大致为 x221

5.马林·梅森(Marin Mersenne，1588－1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p－1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p－1(其中p是素数)．．．的素数，称为梅森素数。

若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是

A.3 B.4 C.5 6

6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在－起，小明从中任取两本。则他取到的均是自己的作业本的概率为 A.

12118 B. C. D. 773357.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝0，a3＝－3，则S9＝ A.9 B.12 C.－15 D.－18

x2y28.在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆E：221(ab0)的右焦点为F(c，0)，若

abF到直线2bx－ay＝0的距离为

2c，则E的离心率为 2A.3221 B. C. D. 22329.已知函数f(x)cos(2x3)，则下列结论错误的是

A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于点(C.函数f(x)在(

，0)对称 122，)上单调递增

33D.函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向左平移

－

－

个单位长度得到 1210.已知函数f(x)＝ebx－exb＋c(b，c均为常数)的图象关于点(2，1)对称，则f(5)＋f(－1)＝ A.－2 B.－1 C.2 D.4

x2y211.已知双曲线E：221(ab0)的左、右焦点分别为；F1，F2，P是双曲线E上

ab的－点，且|PF2|＝2|PF1|。若直线PF2与双曲线E的渐近线交于点M，且M为PF2的中点，则双曲线E的渐近线方程为

A.y11x B.yx C.y2x D.y3x 3212.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：(x2＋y2)3＝16x2y2恰好是四叶玫瑰线.

给出下列结论：

①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2； ③曲线C围成区域的面积大于4π；

④方程(x2＋y2)3＝16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限 其中正确结论的序号是

A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 二、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分。 13.已知向量a＝(1，1).}，|b|＝2，且a与b的夹角为

3，则a·(a＋b)＝ 414.定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－f(y)；②当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)的解析式可以是 。

15.设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3(an＋1)，若a10＝ka8，则k＝ 。 16.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠PAB＝90°。若四棱锥P－ABCD的五个顶点在以4为半径的同－球面上，当PA最长时，则∠PDA＝ ；四棱锥P－ABCD的体积为 。(本题第一空2分，第二空3分)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (－)必考题：共60分。 17.(12分)

我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口

径射电望远镜。使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是－定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒。某－天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图。

(1)在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？ (2)根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值。

18.(12分)

在∠ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3a＝3bcosC－csinB。 (1)求B；

(2)若b＝23，AD为BC边上的中线，当△ABC的面积取得最大值时，求AD的长。

19.(12分)

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，BC＝BB1＝4，AC＝AB1＝25，且∠BCC1＝60°。

(1)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1：

(2)设二面角C－AC1－B的大小为θ，求sinθ的值。

20.(12分)

已知动圆Q经过定点F(0，a)，且与定直线l：y＝－a相切(其中a为常数，且a>0)。记动圆圆心Q的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？

(2)设点P的坐标为(0，a)，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得∠AFM＝∠AFN？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

21.(12分) 已知函数f(x)12ax(1a)xlnx，a∈R。 2(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a∈(－∞，1)，设g(x)＝xex－x－lnx＋a，证明：x1(0,2],x2(0,)，使f(x1)－g(x2)>2－ln2。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑。 22.[选修4－4：极坐标与参数方程](10分)

1xcos2在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)。以原点O为

y3sin2极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系。 (1)设直线l的极坐标方程为12，若直线l与曲线C交于两点A、B，求AB的长；

(2)设M、N是曲线C上的两点，若∠MON＝

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

，求△OMN面积的最大值。 2已知不等式|x＋1|＋|x|＋|x－1|≥|m＋1|对于任意的x∈R恒成立。 (1)求实数m的取值范围；

(2)若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a＋2b＋3c＝M。求证

1123。

2abb2c