材料力学第五版课后习题答案

解：由题意可得：

l0fdxF,有13klF,k3F/l23333

FN(x1)l03Fx/ldxF(x1/l)[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F1000kN，材料的密度2.35kg/m3，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：

N(FG)FAlg 2-3图 1000(323.141)102.359.83104.942(kN)

2

墩身底面积：A(323.1412)9.14(m2)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 NA3104.942kN9.14m2339.71kPa0.34MPa

[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图

解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

d(l)FdxEA(x)xl ，llFEA(x)0dxFEldxA(x)0

rr1r2r1，rr2r1lxr1d2d12lxd12，

ddd1ddd1dd12A(x)2x1u，d(2x1)du2dx

2l22l22l2ldx2ld2d1du，

2dxA(x)Fd2d1uF2du2l(d1d2)2Fl(duu2)

因此，

ll0EA(x)dxEldxA(x)0E(d1d2)l0(duu2)

1E(d1d2)u02Fll2Fl1

d1E(d1d2)d2d1x22l0l2Fl11

d1d1E(d1d2)d2d1l2l22224Fl E(d1d2)d2d1Ed1d22Fl[习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,，试求C与D两点间的距离改变量CD。

解：'F/AEFEA

'

F4Ea22 式中，A(a)(a)4a，故：

aa'F'F4Ea， aaa'F4E

14512aa4E，CD(2a)(3a)3422a

CD''(2a')(3a')342214512'a'

(CD)CDCD''14512(aa)14512F4E1.003F4E

[习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量

E210GPa，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm，F20kN。试求C

2点的水平位移和铅垂位移。

2-11图

受力图 变形协调图 解：（1）求各杆的轴力

以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以

X0，N3cos45o0，N30

由对称性可知，CH0，N1N20.5F0.52010(kN)

（2）求C点的水平位移与铅垂位移。

A点的铅垂位移：l1N1lEA110000N1000mm210000N/mm2100mm20.476mm

B点的铅垂位移： l2N2lEA210000N1000mm210000N/mm2100mm20.476mm

1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到

oC点的水平位移：CHAHBHl1tan450.476(mm)

C点的铅垂位移：Cl10.476(mm)

[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力

F35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d112mm和d215mm，钢的弹性模量

E210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

X0：NACsin30NABsin45oo0

NAC

2NAB………………………(a)

ooY0：NACcos30NABcos45350

3NAC2NAB70………………(b)

(a) (b)联立解得：

NABN118.117kN；NACN225.621kN （2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

12FAN1l12EA1N1l1EA122N2l22EA2N2l2EA222

A1F()

式中，l11000/sin45o1414(mm)；l2800/sin30o1600(mm)

222 A10.253.14122113mm；A20.253.1415177mm

故：A135000(18117214142100001132562121600210000177)1.366(mm)

[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为0.0035，其材料的弹性模量E210GPa， 钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C点下降的距离； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力

E2100000.0035735(MPa) （2）求钢丝在C点下降的距离 lNlEA10001003.5lE7357(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。

2100002000 cos0.99651220 7 arccos(10001003.5 )4.7867339oo 1000tan4.7867339（3）求荷载F的值

83.7(mm)

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：

Y0：2NsinaP0

P2Nsina2Asin

27350.253.141sin4.7872096.239(N)

[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载

F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：

（1） 端点A的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解：（1）

13l0fdxF,有3l0klF3k3F/lFN(x1)3Fx/ldxF(x1/l)233FN3cos450FN1F2FN3sin45F0F0.45F0.150N1F160KN,F1401KN,F10KN,由胡克定理，l1l2FN1lEA1FN2lEA260100.1521010121040100.152101012109679673.874.76从而得，Axl24.76，Ayl22l1320.23（）

（2）

VFAyF1l1+F2l20Ay20.33（）

[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度

可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；

（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力

取节点B为研究对象，由其平衡条件得：

Y0

NABsinF0 NAB

Fsin

X0

NABcosNBC0 NBCNABcos （2）求工作应力 NABFsincosFcot 2-17

ABAABNBCABCFAABsinFcotABC

BC

（3）求杆系的总重量

WV(AABlABABClBC) 。是重力密度（简称重度，单位：kN/m3）。

(AABlcos1cosABCl) ABC)

l(AAB （4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： ABNABAABNBCABCFAABsinFcotABC[]，

AABF[]sinFcot[]

BC[]， ABC

条件⑵：W的总重量为最小。 Wl(AAB l(1cosABC)l(AAB1cosABC)

F[]sin1cosFcot[])Fl[]sincos(1cossin)

2Fl1cossincos2Fl1cos2sin2 从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得

最小值。

dW22Fl2cossinsin2(1cos)cos220 2dsin22sin23cos22cos220

2sin223cos2cos20

3cos21 ，cos20.3333

2arccos(0.3333)109.47，54.74oo5444

o' （5）求两杆横截面面积的比值 AABF[]sin，ABCFcot[]

F

AABABC[]sinFcot[]1sincot1cos

2 因为： 3cos21，2cos113，cos213

cos13AABABC，

1cos3

所以： 3

[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两

个等边角钢组成。已知材料的许用应力

[]170MPa，试选择AC和CD的角钢

型号。

解：（1）求支座反力

由对称性可知， RARB220kN() （2）求AC杆和CD杆的轴力 以A节点为研究对象，由其平 衡条件得：

Y 2-18

0 RANACcos NACRAsin2203/5366.667(kN)

以C节点为研究对象，由其平衡条件得：

X0

NCDNACcos0 NCDNACcos2203/54/5293.333(kN)

（3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆： AACNAC[]366667N170N/mm22156.86mm2221.569cm

选用2∟807（面积210.8621.72cm2）。 CD杆： ACDNCD[]293333N170N/mm21725.488mm2217.255cm

选用2∟756（面积28.79717.594cm2）。

[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa，材料的弹性模量E210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试

选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A。 解：（1）求各杆的轴力 NAB NCD

3.240.84300240(kN) 30060(kN)

MF0

NGH33001.5601.20 2-19

NGH13(45072)174(kN)

Y0

NEF174603000

NEF186(kN)

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆： AABNAB[]240000N170N/mm21411.765mm2214.12cm

选用2∟90565（面积27.21214.424cm2）。 CD杆： ACDNCD[]60000N170N/mm2352.941mm223.529cm

选用2∟40253（面积21.893.78cm2）。

EF杆：

AEFNEF[]186000N170N/mm21094.118mm2210.412cm

选用2∟70455（面积25.60911.218cm2）。 GH杆： AGHNGH[]174000N170N/mm21023.529mm210.353cm

2 选用2∟70455（面积25.60911.218cm2）。 （3）求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A lABNABlABEAABNCDlCDEACDNEFlEFEAEFNGHlGHEAGH24000034002100001442.46000012002100003782.6942.7(mm)

lCD0.907(mm)

lEF18600020002100001121.817400020002100001121.81.580(mm)

lGH1.477(mm)

EG杆的变形协调图如图所示。 DlGHlEFlGH1.83

D1.4771.5801.4771.83

D1.54(mm)

CDlCD1.540.9072.45(mm)

AlAB2.7(mm)

[习题2-21] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d125mm和d218mm，钢的许用应力[]170MPa，弹性模量

E210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形lAC、lBD及A、B两点的竖向位

移A、B。

解：（1）校核钢杆的强度

① 求轴力

NACNBC34.51.54.510066.667(kN) 10033.333(kN)

② 计算工作应力 ACNACAAC66667N0.253.1425mm22

135.882MPa

BDNBDABD33333N0.253.1418mm22 2-21

131.057MPa

③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即AC[]；

BD[]，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算lAC、lBD lACNAClACEAACNBDlBDEABD666672500210000490.625333332500210000254.341.618(mm)

lBD1.560(mm)

（3）计算A、B两点的竖向位移A、B

AlAC1.618(mm)，BlBD1.560(mm)

[习题3-2] 实心圆轴的直径d100mm，长l1m，其两端所受外力偶矩Me14kNm，材料的切变模量G80GPa。试求：

（1）最大切应力及两端面间的相对转角；

（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。 解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 maxTWpMeWp116e。

116式中，Wp故：maxTlGIpd33.1415910063196349(mm)。 3-2

3MWp1410Nmm196349mm132371.302MPa

，式中，Ipd41323.1415910049817469(mm)。故：

4TlGIp14000Nm1m8010N/m9817469109212m40.0178254(rad)1.02

o（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

ABmax71.302MPa， 由横截面上切应力分布规律可知：

C12B0.571.30235.66MPa， A、B、C三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C点处的切应变 CCG35.66MPa8010MPa34.45751040.446103

[习题3-3] 空心钢轴的外径D100mm，内径d50mm。已知间距为l2.7m的两横截

o面的相对扭转角1.8，材料的切变模量G80GPa。试求：

（1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力

IpWp132116D(1)D(1)34441321163.141591003.141591004(10.5)9203877(mm)。 (10.5)184078(mm)

43443式中，d/D。

TlGIp，

TGIlp1.83.14159/18080000N/mm2700mm29203877mm4

8563014.45Nmm8.563(kNm)

maxTWp8563014.45Nmm184078mm346.518MPa

（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 TMe9.549Nkn9.549Nk808.563(kNm)

Nk8.56380/9.54971.74(kW)

[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[]40MPa，试求： （1）AB轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。

解：（1）计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：

Me左Me右0.20.40.08(kNm) Me主动轮2Me右0.16(kNm)

扭矩图如图所示。 3-5 由AB轴的强度条件得： maxMe右Wp16Me右3d[]

d16M3e右[]31680000Nmm3.1415940N/mm221.7mm

（2）计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

Me主动轮0.2Me从动轮0.35，Me从动轮0.350.200.160.28(kNm)

由卷扬机转筒的平衡条件得：

P0.25Me从动轮，P0.250.28P0.28/0.251.12(kN)

[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D60mm，内径d50mm，功率

P7.355kW，转速n180r/min，钻杆入土深度l40m，钻杆材料的G80GMPa，

许用切应力[]40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；

（3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

Me9.549Nkn9.5497.355180x0.390(kNm)

设钻杆轴为x轴，则：MmMel0，mlMe， 0.390400.00975(kN/m)

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

T(x)mx0.3940x0.00975x。x[0,40]

T(0)0； T(40)M扭矩图如图所示。 ②强度校核，max116e0.390(kNm)

MeWp

1165060式中，WpmaxMeD(1)343.1415960[1(3)]21958(mm)

43Wp390000Nmm21958mm317.761MPa

因为max17.761MPa，[]40MPa，即max[]，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角

40T(x)dxGIp0

1325060式中，Ip132D(1)1GI0443.1415960[1(4)]658752(mm)

4440|T(x)|dxGIp0p4000.00975xdx0.009758010kN/m658752106212m[4x22]040 0.148(rad)8.5

[习题3-8] 直径d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me6kNm，而在

圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知sAA13mm，圆杆材料的弹性模量E210GPa，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：GE2(1)。

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：TMe6kNm。

d2设O,O1两截面之间的相对对转角为，则s2sd132，

，132TlGIP2sd 式 中，

Ipd43.1415950461359(2mm) 3-8

4 GTld2IpsE2(1)610Nmm1000mm50mm2613592mmE2G463mm21081487.372MPa81.4874GPa

由G得：1281.487410.289

[习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（比和刚度比。

解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

d0D0.8。试求当

max[]），扭矩T相等时的重量

maxTWp

116式中，WpD(1)，故：

27.1T34max,空16TD(10.8)34D3[]

D327.1T[] 3-10

（1）求实心圆轴的最大切应力

maxTWp，式中，Wp1163d ，故：max,实16Td316Td3[]

d316T[]，(Dd)327.1T[][]16T1.69375，

Dd1.192

（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

W空W实0.25(Dd0)l0.25dl222(Dd)(10.8)0.36(22Dd)0.361.192220.512

（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比

Ip空132D(10.8)0.01845D，Ip实444132d440.03125d4

GIGIp空p实0.01845D0.03125d440.5904(Dd)0.59041.19241.192

[习题3-11] 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为： dMedxGIP

132式中，Iprr1d xl4r2r1

rr2r1lxr1d2d12lxd12

d2rd2d1lxd1

d4(d2d1lxd1)u

ld2d144dud2d1ldx，dxdu

故

：

MGelMedxGIp0ldxIp0MGel32dx0d432MeGl1u40ld2d1du32MelG(d2d1)lduu40

32MelG(d2d1)l032Mel32Meldu1l1[]043G(d2d1)3u33G(d2d1)ddu12xd1l3d13d2d3d312 0l132Mel1=333G(d2d1)3G(d1d2)dd1232Mel32Mel3Gd12d1d2d22 33dd12[习题3-12] 已知实心圆轴的转速n300r/min，传递的功率p330kW，轴材料的许用切应力[]60MPa，切变模量G80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1o，试求该轴的直径。 解：TlGIPMelGIp1180

式中，Me9.549180Mel132Nkn9.54933030010.504(kNm)；Ip132d。故：

4IpG，d4180MelG

d432180MelG243218010.50410Nmm2000mm3.1480000N/mm226111.292mm

取d111.3mm。

[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外

力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。

T(x)dx2GIp2解：dVmxdx2G132222416mxdx22ddG4

V16m42dGl0xdx216ml433dG6ml132234ml6GI23 3-16

pdG[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d10mm，材料的许用切应力[]500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求：

（1）弹簧的许可切应力；

（2）证明弹簧的伸长解：（1）求弹簧的许可应力

16FnGd4(R1R2)(R1R2)。

22 用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离

体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：

剪力QF扭矩TFR

最大扭矩：TmaxFR2 max'\"QATmaxWp4Fd216FR2d3316FR2d3(1d4R2)[]，

[F]d[]16R2(1d4R2)33.1410mm3500N/mm10mm4100mm2957.3N )16100mm(1因为D/d200/102010，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时

[F]d[]16R2(1d4R2)33.1410mm33500N/mm216100mm981.25N

（2）证明弹簧的伸长16FnGd4(R1R2)(R1R2)

22 外力功：W12F ， dUT(Rd)2GIp2

U2n(FR)(Rd)2GIp20F22GIp2n0Rd3F22GIp2n0[R1R2R12n3]d

FnR2R1  4GIpR2R1FnR2R1WU，F

24GIpR2R11Fn2GIp244244R2R144R2R116FnGd4(R1R2)(R1R2)

22[习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me3kNm。已知材料的切变模量

G80GPa，试求：

（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向； （2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向

， ，

，

由表得，

，

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力

MPa

短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角

单位长度的转角

[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比； （2） 相对扭转角之比。 解：（1）求最大切应力之比

开口：max,开口MeIt3

It13132r023233r0 依题意：2r04a，故：

It2r03r0334a3

3max,开口MeItMe4a33M4ae2

闭口：max,闭口Me2A0Me22a，

max,开口max,闭口3M4ae22aMe23a2

（3） 求相对扭转角之比

133 开口：It2r023r034a3，开口3'TGItMGIet3Me34Ga

闭口：闭口'Ts4GA20Mes4GA20Me4a4Ga4Me3Ga

开口'闭口'3Me34GaGaMe33a422

4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a（5）=h（4）

FRAFRBFS11q0aM11q0aq0212122aq0aq02a3412q0aa3121112

q0a132a43q0a2q0aFS220,M22q0a2aq02ab（5）=f（4）

4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 a（5）=a（4）

b（5）=b（4）

f（5）=f（4）

4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题）

（e） （f） （h）

4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

4-4 （b） 4-5 （b）

4-5．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。 4-6．已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。

4-6（a） 4-7（a）

4-7．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。 4-8用叠加法做梁的弯矩图。

4-8（b） 4-8（c）

4-9．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。

4-9（b） 4-9（c）

4-10

4-14．长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。

x=0.4615m

4-18

4-19M=30KN 4-21

4-23

4-25

4-28

4-29

4-33

4-36

4-35

5-2

5-3

5-7

5-15

5-22

5-23 选22a工字钢 5-24

6-4 lA6Fl/((233)EA)

6-12

7-3-55mpa。-55mpa

7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿mn面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于

0~60范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应

0力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力[]为许用拉应力[]的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？ 解：xFA；y0；x0

x2F2A2[]Ayx2ycos2xsin2

F1cos2A2F2Acos2FA2[]

F1cos2AF[]，cos[] []Acos2，Fmax,Nycos2

x2F2Asin2xcos2

34[]，F10 20 1.132 2.334 sin2[]0.9 1.5[]Asin230 ，Fmax,T1.5[]Asin240

50 60 （0） Fmax,N（[]A） Fmax,T（[]A） 36.8833 1.563 1.562 1.000 1.031 47.754 4.386 1.333 1.732 1.704 1.523 2.420 4.000 1.523 1.732

最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.0000102030Fmax,N40Fmax,T5060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,T

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当60时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

Fmax1.732[]A

07-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力 MyIz12Mybh312100.7210Nmm40mm80160mm363410.55MPa

QS*zIzb1010N(8040)60mm11280160mm3430.88MPa

80mm（2）写出坐标面应力

X（10.55，-0.88）

Y（0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

110.66MPa

30.06MPa 04.75

07-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a）]

解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）60。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

12025MPa， 12026MPa；120MPa，340MPa；000。

00031

单元体图

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

[习题7-8（b）]

解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6026MPa ，6015MPa；130MPa，330MPa； 0450。

00

单元体图

[习题7-8（c）]

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6050MPa ，600；250MPa，350MPa。

00032

单元体图

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

[习题7-8（d）]

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

0'4540MPa ，4510； 03935。361MPa；141MPa,20MPa，

00

单元体图

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

平面应力状态下的两斜面应力

解：两斜面上的坐标面应力为：

A（38，28），B（114，-48）

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：

(x38)(028)22

应力圆

(x114)(048)

22解以上方程得：x86。即圆心坐标为C（86，0） 应力圆的半径：

r(8638)(028)2255.570

主应力为：

1xr8655.57141.57MPa 2xr8655.5730.43MPa

30 （2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角） （上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

单元体图

应力圆

由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 应力圆半径：

轴得圆心C（50，0）

[习题7-15（b）]

解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

单元体图

应力圆

轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）

由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 应力圆半径：

[习题7-15（c）]

解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

单元体图

应力圆

由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

，如图所示。。已知材料

[习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 的弹性常数

，

方向的线应变为

。

，试求扭转力偶矩

解：

方向如图

[习题7-20] 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿450方向的线应变为45。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力

0偶矩Me。

解：支座反力：

Mle RA （↑）；RBMel （↓）

K截面的弯矩与剪力：

aMle MkRAa；QkRAMel

K点的正应力与切应力：

QkA3Me2Al 0；1.5

故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

1z2y12(xy)4x223Me2Al

20

3z2y12(xy)4x223Me2Al

tan202xx

y0，故 045 （最大正应力1的方向与x正向的夹角）

45101E(13)

4501E[(3Me2Al(3Me2Al)]3Me2EAl(1)

Me2EAl4503(1)2Ebhl3(1)45

0[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求该单元体的形

状改变能密度。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0） 在XY面内，求出最大与最小应力：

maxz2y1212(xy)4x

2222 max70302(7030)4(40)94.721(MPa)

minz2y1212(xy)4x

222270302max(7030)4(40)5.279(MPa)

故，194.721(MPa)，250MPa，35.279(MPa)。 单元体的形状改变能密度： vd

10.3620010316E[(12)(223)(31)]

22[(94.72150)(505.279)(5.27994.721)]32220.01299979MPa12.99979kNm/m

[习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为[]170MPa，[]100MPa 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强

度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按a'点的位置计算。

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

12支座反力：RARB(550550408)710(kN) （↑）

=

Iz112240840311223080032040746670(mm)2.0410434m

（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

122Mmax71045503404870(kNm)

maxMmaxymaxIz87010Nm420102.0410333mm4179MPa

超过

的5.3%，在工程上是允许的。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度

超过

的3.53%，在工程上是允许的。

[习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me共同作用，且

Me110Fd。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变30014.33105。已知杆直

径d10mm，材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求荷载F和Me。若其许用应力[]160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。 解：

计算F和

Me的大

小：

Me在k点处产生的切应力为：

maxTWP16Td316Med316d3Fd108F5d2

F在k点处产生的正应力为：

FA24Fd2

8F2即：X（

4F5dd广义虎克定律：

，），Y （0，

8F5d2）

3001E(300y600)

x22Fx2ycos2xsin2

300d22Fd2cos6008F5d2sin600(1543)F5d213.967103F(MPa)

（F以N为单位，d以mm为单位，下同。） 6002Fd22Fd2cos(120)08F5d2sin(120)0(543)F5d321.228103F

14.331014.33105120010F200103[13.967103F0.31.22810F]

23(13.9670.31.228])

514.331026.799310F

F2107.570N2.108kN Me110Fd1102108N10mm2108Nmm2.108Nm

按第四强度理论校核杆件的强度： x8F5d4F2xd10.741(MPa) 2253.1410mm42108N26.854(MPa) 223.1410mm282108N11x226.8542y1212xy24x

2226.85424(10.741)30.622(MPa)

20

326.85421226.85424(10.741)23.768(MPa)

12[(12)(223)(31)]

2212[(30.6220)(03.768)(3.76830.622)]222

32.669(MPa)[]160MPa

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知l0.8m，F12.5kN，F21.0kN，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：

3式中，Wz，Wy由14号工字钢，查型钢表得到Wz102cm，Wy16.1cm。故

3 max32.510N0.8m21021063m31.010N0.8m16.11063m379.110Pa79.1MPa

6[习题8-2] 受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 300，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 E10GPa；梁的尺寸为l4m，h160mm，b120mm；许用应力[]12MPa；许用挠度[w]l/150。试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核

qyqcos30qzqsin301818020.8661.732(kN/m) （正y方向↓）

20.51(kN/m) （负z方向←）

18180Mzmazqyl21.732423.464(kNm) 出现在跨中截面

Mymazqzl21422(kNm) 出现在跨中截面

Wz1616bh216161201602512000(mm)

3Wyhb21601202384000(mm)

3最大拉应力出现在左下角点上：

MMymaxmaxzmaxWzWy6

max3.46410Nmm512000mm3210Nmm384000mm3611.974MPa

因为 max11.974MPa，[]12MPa，即：max[]

所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。

（2）刚度校核

=

0.0202m[w]4/1500.0267m。即符合刚度条件，亦即刚度安全。

[习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力F137kN，并且与铅垂线成夹角45.70，浆砌石的密度为2.35103kg/m3，其他尺寸如图所示。试取

1m长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许

用压应力[c]为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。 解：沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌 体的重量：

P1(0.614)m2.359.8kN/mP2(1233355.272kN

31.641)m2.359.8kN/m73.696kN

竖向力分量为：

FvP1P2Fcos45.7

055.27273.696137cos45.70224.651(kN)

各力对AB截面形心之矩为：

AB之中点离A点为：1.1m，P1的偏心距为e11.10.30.8(m) P2的偏心距为e2(0.61.63)1.10.0333(m)

0Fy的偏心距为e3(2.21cos68.2)1.10.729(m)

Fx的力臂为e41.50.51(m)MP1e1P2e2Pye3Pxe4

0055.2720.873.6960.0333137cos45.70.729137sin45.71

70.061(kNm) 砌体墙为压弯构件

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13) FvAMWz224.651kN2.21m2A70.061kNm1612.2m23188.966kPa0.189MPa

BFvAMWz224.651kN2.21m270.061kNm1612.2m2315.262kPa0.0153MPa

因为 |A|[c]，|B|[c]，所以砌体强度足够。

[习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。

[习题8-11（a）]

解：惯性矩与惯性半径的计算

IyIz11280080014316423.1454042.99615210210(mm)

4A8008003.1454010411094(mm)

ii

2y2zIyA2.996152104110947.288240610(mm)

42截面核心边界点坐标的计算 中性轴编号 中性轴的截距 ayiy2 iz2① 400 ∞ 1 ② ∞ -400 2 ③ -400 ∞ 3 ④ ∞ 400 4 az对应的核心边界上的点 核心边界上点 yiz2ay 72882 -182 0 182 0 的坐标值（m) ziy2az 72882 0 182 0 -182

[习题8-11（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

IyIz1121121002002001003112112501001005036.2510(mm) 1.562510(mm)

2747433A1002005010015000(mm)

i2yIyAIzA6.25101500074167(mm)

2i2z1.5625101500071042(mm)

2截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 中性轴的截距 ay iy2 iz2① 50 ∞ 1 ② ∞ -100 2 0 ③ -50 ④ ∞ az ∞ 100 3 4 对应的核心边界上的点 核心边界上点 yiz2ay 1042 -21 21 0 的坐标值（m) ziy2az 4167 0 42 0 -42

[习题8-11（c）] 解：（1）计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z轴上， zc4R3420033.1485(mm)

半圆的面积：

2 A0.5R20.53.1420026280(0mm)

半圆形截面对其底边的惯性矩是

yc 的惯性矩：IyCd4128)2R824，用平行轴定理得截面对形心轴

R84(4R3R2R8448R94

3.1420084820093.144175062987(mm)

4 IzCR843.1420086.2810(mm)

84 iy2IyCAIzCA175062987628006.28106280082788(mm)

2 i2z10000(mm)

2 （2）列表计算截面核心边缘坐标

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 中性轴的截距 ay iy2 iz2① 100 ∞ ② ∞ -85 1 ③ -100 ∞ 2 ④ ∞ 115 3 az 对应的核心边界上的点 1 10000 -100 核心边界上点 yiz2ay 0 100 0 的坐标值（m) ziy2az 2788 0 33 0 -24

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