自共轭耦合边界条件的Sturm-Liouville问题特征值的讨论

第２８卷第２期　河北建筑工程学院学报　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．２　２０１０年６月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＥＢＥＩ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ　ＡＮＤ　ＣＩＶＩＬ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　Ｊｕｎｅ　２０１０　自共轭耦合边界条件的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　问题特征值的讨论　白红梅　吴淘锁。　１．呼伦贝尔学院数学科学学院；２．呼伦贝尔学院物理与电子信息学院　摘要讨论了关于正则和奇异耦合边界条件的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题的基本和实用性质．得　到了带有耦合边值条件的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题存在特征值的充要条件．　关键词　正则；耦合边界；特征值　中图分类号ＴＰ３　Ｏ　绪　论　Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题（简称ｓ—Ｌ问题）缘起于１９世纪初叶Ｊ．Ｆｏｕｒｉｅｒ对热传导问题的数学处理中．　１９世纪３Ｏ年代，Ｃ．Ｓｔｕｒｍ和Ｊ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ把Ｆｏｕｒｉｅｒ的方法进行了一般性的讨论，他们所得的结果，后来　成为解决一大类数理方程（特别是弦和面的振动方程、波动方程、固体热传导方程等）定解问题的基　础ｕ］．Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ理论是数学物理，各种力学，物理学和工程技术科学中不可或缺的重要工具．在数　学上，Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ理论在２０世纪，由Ｈ．Ｗｅｙｌ及Ｅ．ｃ．Ｔｉｔｃｈｍａｒｓｈ等人发展为奇异的对称微分算　子理论，成为现代量子力学的主要数学支柱之一．在２ｏ世纪６Ｏ年代之后，以盖尔方特、列维坦等为代表　的苏联学派提出并发展了Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ反问题和非自共轭微分算子理论，以及以ｗ．Ｎ．Ｅｖｅｒｉｔｔ为代　表的欧美学派开拓并发展了高微的奇异对称算子理论在现代数学算子的亏指数和谱分解的理论，他们　的卓越工作，使得微分算子理论在现代数学中占有了重要的一席．　１符号记法和基本假设　考虑微分方程　一（ＰＹ　）　＋ｑ　—　叫　，（ｎ，６），一∞　口＜６三三三∞．　…………（１）　式中Ｐ，ｑ，　是具有实值的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测函数，并且满足１／ｐ，ｑ，ＷＥＬ　（＆，６），叫＞Ｏ在（口，６）上成　立．　事实上在（ａ，６）上对具有正负值的阶梯函数和正负变化不大的连续函数Ｐ，式（２．１）都是成立的．　假设每个端点ａ，ｂ都是正则或ＬＣ（Ｌｉｍｉｔ－Ｃｉｒｃｌｅ），结合式（２．１）定义最大算子域：　△一｛Ｙ：（　，６）一￡：Ｙ，ＰＹ　ＥＡＣ　（口，６）　Ｙ，Ｗ　［一（Ｐｙ　）　＋ｑ　］ＥＬ　（ｎ，６））　（２）　式中ＡＣ　表示一个在（口，６）上的复值函数，并且在（ｎ，６）的紧子集里绝对连续．　由式（２．１）可知Ｉ　ａｇｒａｎｇｅ双线性型为：　［ｙ，ｚ－１＝ｙｐ　一　ｙ　，Ｙ，ＺＥＡ　（３）　在以下的考虑中：０，　表示在△上的函数并且满足以下条件：　（１）它们是实值的；　（２）对实数　，一些在ａ的邻域内有解，一些在ｂ的邻域内有解，但不需要在ａ和ｂ附近有相同解，也　不需要在区间内部有解；　（３）［　，　（＆）一ｌｉｍ［　，　（￡）一１；　ｔ—ａ十　（４）［　，　（６）一ｌｉｍ［　，　（　）一１；　　‘收稿日期：２０１　０—０３—１５　作者简介：女，１　９８４年生，助理教师．内蒙古，海拉尔区，０２１００８　第２期　白红梅吴淘锁　自共轭耦合边界条件的Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ问题特征值的讨论１２３　自共轭边界条件具有两个独立的类别，即分离型和耦合型．前者在每个端点都是独立的，后者在两　个端点上是有关联的．　引理１：如（１）的所有自共轭耦合条件在端点是正则或ＬＣ的，且具有以下的特征：　Ｙ（６）一　ＫＹ（ｎ），ｉ一￣／一１　一丌　ａ　丌　（４）　其中Ｋ　．１２），ｋｏ　ＥＲ，１　＿￣＿２，ｄｅｔ（Ｋ）＝ｋｌｌｋ２２－ｋ１２ｋｚｌ＝１，Ｙ（ｔ）＝　）　如果每个端点都是正则或ＬＣ，ＮＥＹ，　（。）一ｌｉｍ［　，　］（　）存在，并且对每个Ｙ∈Ａ都是有限的．类　似的可有［　，　（口），［　，　（６），［　，　］（６）．　引理２：固定　∈￡，对于每个Ｃ，ｄＥ￡，对式（２．１）的奇异的ＬＣ初值问题：　［　，　］（口）一Ｃ且［　，　］（ｎ）一ｄ　（５）　具有唯一解Ｙ，在ｂ上类似．　证明：确定一个实数　。，对于８＞０，在［ｎ，ａ＋　］上设０，　是式（１）的解．为了证明存在性，选择Ｙ—ｄＯ　－ｃｒｐ，再证明唯一性．　令　，　对Ｖ　在（ｎ，ａ＋　）上满足式（２．５）的两个条件，Ｕ，　都是（１）的解．　再令：　一（　）　（　Ｖ一（　Ｇ一（竺　印）　㈤　建立：　ｙ—　＼，１一Ｃｚ且Ｚ　一（　～　。）ｗＧＺ　Ｐｙ，　利用Ｃｒａｍｅｒ’ｓ法则求解Ｕ一声Ｚ，并注意到上面的性质（３）和（４）可得：　１（￡）＝＝＝［　，　］，口＜：　＜：口＋　．２２（　）一［　，　］（　），口＜：￡＜：　＋　．　（７）　类似可以求解Ｖ一　Ｓ可得：　Ｓｌ（￡）一［　，　］（￡）　口＜ｚ＜口＋　Ｓ２（　）一［　，　Ｊ（　）　口＜￡＜ａ＋　由端点口是正则的或ＬＣ，我们可知ｃｏｇ．　由　ｌ（口）一ｓｌ（口），　（口）一Ｓ２（ｎ）可知　＝５因此Ｕ＝Ｖ．特另０的“一　对于Ｖ　∈Ｒ对奇异ＬＣ初值问题确定唯一解“一“（・，　）和ｖ—　（・，　）有：　．　［ｔ‘，　］（ａ，　）－－０，［ｔ‘，　］（ｎ，　）一１；［ｖ，Ｏ３（ａ，　）一１，［　，　］（口，　）－＝－０，　∈Ｒ　…………（８）　由以上证明，这样的　，　是存在的，现在定义一个重要的“判别式”函数：Ｄ—Ｄ（Ｋ，　）．　定义１：令Ｋ满足式（８），并且“，　的定义见（１１），对　∈Ｒ定义Ｄ（Ｋ，　）为：　Ｄ（Ｋ，　）一忌。　［“（・，　），　］（６）＋愚２２［　（・，　），　（６）一是　［　（・，　），　］（６）一是　［“（・，　），　（６）　（９）　２结论与证明　定理：假设以上假设都成立，则对任意的ａ，一丌　ａ　丌，数　是一个Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ共轭边值问题　（１），（４）的特征值的充要条件是　Ｄ（忌，　）一２ｃｏｓ口　（１Ｏ）　证明：令：　—　（・，ｉｔ）一ｃｕ（・，　）＋　（・，　）一ｆ　＋ｄｖ　ｙ㈣：＝＝　）一　）　…　由式（２．８）可知　Ｋｙｃｎ　＝：　Ｋ（　）＝＝　ｆｋ五１ｌ＋志ｌ２　１ｃ　２　ｚｌ　ｄ＋ｋｚｚｃ］　因此式（４）成立，当且仅当：　１２４　河北建筑工程学院学报　，第２８卷　一　（１３）　０３（ｂ）－－ｅ￣ｋ　：）ｃ＋　（６）ｍｅ　１｛［乱，　］（６）～Ｐ　走２２）ｃ＋｛［ｙ，　］（６）一　ｋ　）　：０　方程式在下列条件下关于（ｃ，　）有非奇异解．　．　ｆ［　（・，　），　］（６）一８　尼　２　Ｌ　（・，　）　］（６）一Ｐ　忌１１］　Ｉ　Ｅｕ（・，　），　（６）一　足。：［ｖ（・，　）］（６）一　ｋ　２　Ｉ　一（［　（・，　），　］（６）一　是　｝（［ｖ（・，　），　］（６）－－ｅ　是　｝　一｛［　（・，　），　］（６）－－ｅ　ｋ。。）｛［　（・，　），　（６）－－ｅ　ｋ　｝　一［“（・，　），　（６）［　（・，　），　（６）一［　（・，　），　（６）［　（・，Ａ），　（６）　一Ｐ　愚１２［　（・，　），　］（６）－－ｅ　ｋ　２１［　（・，　），　］（６）＋ｅ。　ｋｌ２ｋ２１　＋ｇ　ｋｌｌ　Ｅｕ（・，　），　］（６）＋　ｋ　２２［ｖ（・，　），　（６）Ｅｅ％ｋｌ１ｋ２２　一一１＋ｅ　（忌　Ｅｕ（・，　），　］（６）＋是　［ｖ（・，　），　（６）　－ｋｌ２［ｖ（・，　），　］（６）一ｋ　［Ｍ（・，　），　（６））一Ｐ。　（忌　ｋ２２一ｋｌｚｋ２１）　（１４）　由式（９）可知：　Ｄ（Ｋ，　）一ｋ　１［　（・，　），　］（６）＋是２２［　（・，　），　（６）～ｋ　２［ｖ（・，　），　］（６）一ｋ２１　Ｅｕ（・，　），　］（６）（１５）　并且愚１ｌｋ２２一尼１２ｋ２ｉ一１因此　一１＋　Ｄ（　，　）一ｅ　“一０　（１６）　Ｄ（南，　）一　＋Ｐ—　：２ｃｏｓａ．　参　考　文　献　［１ｉＰ．Ｂ．Ｂａｉｌｅｙ，Ｗ．Ｎ．Ｅｖｅｒｉｔｔ，Ａ．Ｚｅｔｔ１．Ｒｅｇｕｌａｒ　ａｎｄ　ｓｉｎｇｕｌａｒ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．　Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｒｏｙａｌ　ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ．１２６Ａ，５０５～５１４，１９９６　［２３曹之江，阿拉坦仓．常微分方程简明教程．２００２　－１３３中山大学数学力学系常微分方程组编．常微分方程．人民教育出版社，１９７９　［４］金福临，阮炯，黄振勋．应用常微分方程．复旦大学出版社，１９９１　Ｅ５］李庆扬．常微分方程数值解法．高等教育出版社，１９９２　Ｅ６］Ｘ￣宗琦．常微分方程边值问题和Ｓｔｕｒｍ比较理论引论．华中师范大学出版社，１９８７　［７］曹之江．常微分算子．上海科技出版社，１９８７　Ｓｅｌｆ－ｃｏｎｊ　ｕｇａｔｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　Ｃｏｕｐｌｅｄ　Ｓｔｕｒｍ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　Ｂａｉ　Ｈｏｎｇｍｅｉ　，Ｗｕ　Ｔａｏｓｕｏ　１．Ｈｕｌｕｎ　Ｂｅｉ—ｅｒ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ；２．ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＨＵｌｕｎ　Ｂｅｉ—ｅｒ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ａｎｄ　ｕｔｉｌｉｔａｒｉａｎ　ｎａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｇｕｌａｒ　ａｎｄ　ｓｉｎ—　ｇｕｌａｒ　Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｎｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ　ｗｉｔｈ　ｃｏｕｐｌｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　ｒｅｇｕｌａｒ；ｃｏｕｐｌｅｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ；ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ