（2021 01）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）
A. B. C. D.
3.有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( ) A. B. C. D.
2
3
4
6
1
1
1
1
4.若关于x的方程(k－1)x 2+4x＋1=0有两不相等实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤5 B. k< 5 C. k≤5且k≠1 D. k＜5且k≠1 5.如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=48°，则∠OAB的度数为( )
A. 24° B. 30° C. 60° D. 90°
6.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+
74
258
，若小球经过
秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高. A. 7 B. 7 C. 4 D. 3
3
4
3
4
7.如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中，点 𝐷、𝐸、𝐹 分别在 𝐴𝐵、𝐴𝐶、𝐵𝐶 边上，连接 𝐷𝐸、𝐸𝐹 ，若 𝐷𝐸//𝐵𝐶,𝐸𝐹//𝐴𝐵 ，则下列结论错误的是( )
A. 𝐸𝐶=𝐹𝐶 B. 𝐵𝐹=𝐵𝐶 C. 𝐴𝐵=𝐵𝐶 D. 𝐶𝐹=𝐵𝐹
8.如图， 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 的顶点 𝐴、𝐶 的坐标分别为 (0,5) 、 (5,0) ， ∠𝐴𝐶𝐵=90° ， 在平面直角坐标系中，𝐴𝐶=2𝐵𝐶 ，函数 𝑦=𝑥(𝑘>0,𝑥>0) 的图象经过点 𝐵 ，则 𝑘 的值为（ ）
𝑘
𝐴𝐸𝐵𝐹𝐴𝐷𝐴𝐵𝐸𝐹𝐷𝐸𝐶𝐸𝐸𝐴
A. B. C. D. 25 4
8
2
757525
9.如图，在 △𝐴𝐵𝐶 中， ∠𝐴𝐶𝐵=90° ，点 𝐷 为 𝐴𝐵 的中点， 𝐴𝐶=3 ， cos𝐴= ，将 △𝐷𝐴𝐶 沿着
3𝐶𝐷 折叠后，点 𝐴 落在点 𝐸 处，则 𝐵𝐸 的长为（ ）
1
A. 4√2 B. 4 C. 7 D. 3√2
10.如图，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的对称轴为直线 𝑥=1 ，与x轴的一个交点坐标为 (−1,0) ，其部分图象如图所示，下列结论：① 2𝑎+𝑏=0 ；② 𝑏2−4𝑎𝑐<0 ；③当 𝑦>0 时，x的取值范围是 −1<𝑥<3 ；④当 𝑥>0 时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有 𝑎+𝑏≥𝑎𝑡2+𝑏𝑡 ，其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.一副三角尺按如图的位置摆放C、D在一条直线上）.（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、将三角尺ABC绕着点C按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜360 ），若ED⊥AB，则n的值是________.
12.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1 ， 0），（x2 ， 0），则x1+x2＝________. 13.在△ABC中，BC=4，D为边AB上的一点，∠C=90°，∠A=30°，若AD=2，则tan∠BDC的值为________。 14.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画 𝐵𝐸 ， 𝐶𝐸 若 AB=1 ，则阴影部分图形的周长为________ ( 结果保留 π) .
⏜
⏜
15.如图，已知，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y =𝑥 (k＞0)的图象与AC边交于点E，将△CEF沿E对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为________.
𝑘
16.如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P为AB上任意一点(可以与A、B重合)，延长PD到F，使得DF=PD，以PF、PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值________.
三、解答题（共8小题，共72分）
17.（8分）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋.
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图； （2）求出一个回合能确定两人下棋的概率.
18.（8分）在下面16×8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你画出：
（1）△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；
（2）△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；
（3）以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D ． 19.（8分）已知关于x的一元二次方程x2－2 √2 x+m=0有两个不相等的实数根. （1）求实数m的最大整数值；
22（2）在（1）的条件下，方程的实数根是 𝑥1 、 𝑥2 ，求代数式 𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2 的值.
20.如图，在圆O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且EF2＝PF•AF.
（1）求证：F为弧BE的中点；
（2）若tan∠BEF＝ 4 ，求cos∠ABE的值.
21.（8分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克.他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克.
（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式； （2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w(元)最大是多少？
（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润(a≤2.5)给希望工程.公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x(元/千克)的增大而增大，求a的取值范围. 22.（10分）如图，双曲线 𝑦1=上一动点.
𝑘1𝑥
3
与直线 𝑦2=𝑘𝑥2+𝑏 相交于 𝐴(1,𝑚+2),𝐵(4,𝑚−1) ，点P是x轴
（1）求双曲线 𝑦1=
𝑘1𝑥
与直线 𝑦2=𝑘𝑥2+𝑏 的解析式；
（2）当 𝑦1>𝑦2 时，直接写出x的取值范围； （3）当 𝛥𝑃𝐴𝐵 是等腰三角形时，求点P的坐标. 23.（10分）如图
（1）问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.
（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论.
,点E、F分别在边BC、（2）（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°CD上,则当∠EAF与∠BAD满足________关系时，仍有EF=BE+FD.
（3）（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ √3 ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： √2 =1.41， √3 =1.73）
24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 𝑦=2𝑥+2 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
21
1
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E， △𝐶𝐷𝐸 的面积为S1 ， △𝐵𝐶𝐸 的面积为S2 ， 求
𝑆1𝑆2
的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得 △𝐶𝐷F 中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题
1.解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意； 故答案为：D.
2.解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形， 故答案为：C
3.解：三把锁分别用A，B，C表示，A，B对应的钥匙分别用a，b表示，画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的结果数为2，所以随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率 6 = 32
1
4.解：∵关于x的方程（k−1）x2＋4x+1＝0有两个不相等的实数根， 𝑘−1≠0
∴ { ，
𝑘＝42−4(𝑘−1)>0解得：k＜5且k≠1． 故答案为：D． 5.∵AC∥OB， ∴∠ BOC=∠ACO=48°， ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO=48°， ∵∠CAB= ∠BOC=24°，
21
∴∠BAO=∠OAC−∠CAB=24°， 故答案为：A.
6.解：∵竖直上抛的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系式为h＝﹣2t2+mt+ ，小球经过 秒
8
4
25
7
落地，
∴t＝ 时，h＝0，
47
( )2+ m+ ， 则0＝﹣2×
44
8
7725
解得：m＝ ，
7
12
当t＝ −2𝑘 ＝ −故答案为： .
73
𝑘
1272×(−2)
= 时，h最大，
7
3
7.解：A.∵EF∥AB，∴ B.∵DE∥BC， ∴ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ， ∵EF∥AB，
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘𝑘𝑘
=
𝑘𝑘𝑘𝑘
，故本选项正确；
∴四边形BDEF是平行四边形， ∴DE＝BF， ∴ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ， ∴
𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘𝑘
=
𝑘𝑘𝑘𝑘
，故本选项正确；
C.∵EF∥AB， ∴
𝑘𝑘𝑘𝑘
=
𝑘𝑘𝑘𝑘
，
∵CF和DE的大小关系不能确定， ∴ 𝑘𝑘≠𝑘𝑘 ，故本选项错误； D.∵EF∥AB， ∴ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ，
∴ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ，故本选项正确， 故答案为：C.
8.：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
∵A、C的坐标分别是（0，5）、（5、0）， ∴OA＝OC＝5，
在Rt△AOC中，AC＝ √52+52=5√2 ， 又∵AC＝2BC， ∴BC＝ 5√2 ，
2
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝ √2𝑘𝑘=√2×5√2=5 ，
2
2
2
2
∴OD＝5＋ ＝ ，
2
2
515
∴B（ ， ），
2
2
155
将点B的坐标代入 𝑘= 得：k＝ ，
𝑘
4
𝑘75
故答案为：A.
9.解：连接AE交CD于F，
∵AC＝3，cos∠CAB＝ ，
3
1
∴AB＝3AC＝9，
由勾股定理得，BC＝ √92−32=6√2 ， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴CD＝ AB＝ ，
2
2
1
9
∵S△ABC＝ ×3× 6√2=9√2 ，点D为AB的中点，
2
1
∴S△ACD＝ S△ABC＝ 9√2 ，
2
2
1
由翻转变换的性质可知，S四边形ACED＝ 9√2 ，AE⊥CD， CD×AE＝ 9√2 ， 则 ×
21
∴AE＝ 4√2 ， ∴AF＝ 2√2 ，
由勾股定理得，DF＝ √𝑘𝑘2−𝑘𝑘2= ，
27
∵AF＝FE，AD＝DB， ∴BE＝2DF＝7， 故答案为：C.
10.解：∵抛物线 𝑘=𝑘𝑘2+𝑘𝑘+𝑘(𝑘≠0) 的对称轴为直线 𝑘=1 ， ∴ −2𝑘=1 , ∴b=-2a，
∴ 2𝑘+𝑘=0 ，故①正确；
∵抛物线 𝑘=𝑘𝑘2+𝑘𝑘+𝑘(𝑘≠0) 的对称轴为直线 𝑘=1 ，与x轴的一个交点坐标为 (−1,0) ，
𝑘
∴抛物线与x轴有两个交点， ∴ 𝑘2−4𝑘𝑘>0 ，故②错误；
∵抛物线 𝑘=𝑘𝑘2+𝑘𝑘+𝑘(𝑘≠0) 的对称轴为直线 𝑘=1 ，与 𝑘 轴的一个交点坐标为 (−1,0) ， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0），
∴当 𝑘>0 时， 𝑘 的取值范围是 −1<𝑘<3 ，故③正确；
当0 11.解：如图1中，当DE⊥BA交BA的延长线于J，设CE交AB于O. -∠E=60°在Rt△EOJ中，∠EOJ=90°， ∵∠EOJ=∠BAC+∠AOC， ∴∠AOC=60°-45°=15°. 如图2中，当ED⊥AB交AB的延长线J. -∠A-∠J-∠CDJ=105°在四边形AJDC中，∠ACD=360°， ∴旋转角=105°+90°=195°， 故答案为：15或195. 12.解：由韦达定理得： x1+x2＝﹣ −2𝑘𝑘 ＝2. 故答案为 : 2. 13.解：作CE⊥AB于E 在Rt△ABC中， ∠A=30°，BC=4 ∴AB=2BC=8； 在Rt△BCE中，∠B=60° ，∠BCE=30° ∴CE=BCsin∠B=4×√3=2√3 2 1 𝑘𝑘=𝑘𝑘=2 2 ∴DE=AB-AD-BE=8-2-2=4； 在Rt△CDE中， tan𝑘𝑘𝑘𝑘= 故答案为：√3. 2 𝑘𝑘2√3√3== 𝑘𝑘42 14.解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴ 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 = 108180 •πAB= 𝑘 ，∴C阴影= 𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 +BC= 𝑘 +1. 5 5 6 36 故答案为： 𝑘 +1. 5 15.如图，过点E作EM⊥x轴于点M， ∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处， ∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF， ∴∠MDE+∠FDB=90°，而EM⊥OB， ∴∠MDE+∠MED=90°， ∴∠MED=∠FDB， ∴Rt△MED∽Rt△BDF， 又∵EC=AC﹣AE=4 −3 ，CF=BC﹣BF=3 −4 ， ∴ED=4 − ，DF=3 − ， 3 4 𝑘 𝑘𝑘 𝑘 ∴ 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘 3𝑘3−4 4− = ， 3 4 ∵EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3， ∴DB = ， 49 在Rt△DBF中，DF2=DB2+BF2 ， 即(3 −4 )2=( )2+( 4 )2 ， 4 𝑘9𝑘 解得：k = ， 8 21 故答案为： . 8 21 16.解：如图，记PE与CD交点为G， ∵四边形PFEC为平行四边形， ∴PF∥CE， ∴∠DPE＝∠CEP，∠PDC＝∠ECD， ∴△PGD∽△EGC， ∵DF＝PD， ∴PD＝ PF＝ CE， 2 2 1 1 ∴ ∴ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 = ， 21 1 =𝑘𝑘+𝑘𝑘=3 ， 𝑘𝑘 𝑘𝑘 ∴PE＝3PG， 要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可，PG的最小值为当PG⊥CD时， 过点C作CH⊥AB于点H， 在Rt△CBH中，∵∠B＝60°，BC＝5， ∴sin∠B＝ 𝑘𝑘 ，即 𝑘𝑘=√3 ， 5 2 𝑘𝑘 ∴PG＝CH＝ 5√32 ， ∴PE＝3PG＝3× 5√32 ＝ 15√32 ， 故答案为： 15√32 . 三、解答题 17. （1）解：画树状图得： （2）解：∴一共有8种等可能的结果， 一个回合能确定两人先下棋的有6种情况，两人先下棋的概率为： 6 =3 8 4 . 18.（1）如图所示：△AED为所求作的三角形； （2）如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形； （3）如图所示：D1 ， D2 ， D3为所求作的点． 19. （1）解：由题意，得 𝑘 ＞0，即 (−2√2)2−4𝑘 ＞0， 解得m＜2， 一个回合能确定 ∴∴m的最大整数值为1； （2）解：把m=1代入x2－2 √2 x+m=0得，x2－2 √2 x+1=0， 根据根与系数的关系得，x1+x2 =2 √2 ，x1x2=1， 222 ∴ 𝑘21=5. 1+𝑘2−𝑘1𝑘2 =（x1+x2）－3x1x2=（2 √2 ）－3× 20. （1）证明：连接AE， ∵EF2＝PF•AF， ∴ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ， ∵∠AFE＝∠EFP， ∴△AFE∽△EFP， ∴∠EAF＝∠BEF， ∴ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ， ∴F为弧BE的中点； （2）解：连接BF、OF，OF交BE于点Q， ∵AB是直径， ∴∠AFB＝90° ∵tan∠BEF＝ ， 43 𝑘𝑘 𝑘𝑘 ∴tan∠BAF＝ 𝑘𝑘 =4 ， 𝑘𝑘 3 设BF＝3m，则AF＝4m，根据勾股定理AB＝5m， ∴OB＝OF＝ m， 25 ∵ 𝑘𝑘=𝑘𝑘 ， ∴OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m， ∵tan∠BEF＝ ， 43 ∴ ∴ 𝑘𝑘 =4 ， 𝑘𝑘 𝑘𝑘 3 =5 𝑘𝑘 125 3 ∴BQ＝EQ＝ m， 在Rt△BOQ中，cos∠ABE＝ 𝑘𝑘 =𝑘𝑘 12 𝑘55𝑘2 =25 24 21.（1）解：由题意，可得y＝﹣50x+800 （2）解：∵﹣50x+800≥250 ∴x≤11 w＝(x﹣8)y＝(x﹣8)(﹣50x+800)＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50(x﹣12)2+800 ∵﹣50＜0， ∴当x≤12时，w随x的增大而增大， ∴当x＝11时，w最大值＝750 答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为750元. （3）解：设扣除捐赠后的日销售利润为S元， ∴S＝(x﹣8﹣a)(﹣50x+800)＝﹣50x2+(1200+50a)x﹣6400﹣800a ∵当x≤13时，S随x的增大而增大， ∴ − 1200+50𝑘2×(−50) ≥13 ∴a≥2 ∴2≤a≤2.5 即a的取值范围为2≤a≤2.5 22. （1）解：∵A（1，m+2），B（4，m-1）是反比例函数 𝑘1=1×(𝑘+2)=𝑘1𝑘2∴ { ，解得 {= , 𝑘1=44(𝑘−1)=𝑘1 ∴A（1，4），B（4，1） ∵点A，B在直线y2=k2x+b上， 𝑘+𝑘=4𝑘=5∴ {2 ，解得 { , 𝑘2=−14𝑘2+𝑘=1 ∴双曲线的解析式为y＝ ，直线的解析式为y=-x+5； 𝑘4 𝑘1𝑘 上， （2）解：∵点A（1，m+2），B（4，m-1）是反比例函数和直线的交点坐标， ∴0＜x＜1或x＞4； （3）解：设点P（a，0）， 则PA2=（a-1）2+42 ， AB2=18，PB2=（a-4）2+12 ①当PA=PB时，（a-1）2+42=（a-4）2+12 解得a=0， ∴P1（0，0）， ②当PA=AB时，（a-1）2+42=18， 解得a1＝ √2 +1，a2＝− √2 +1， ∴P2( √2 +1，0)，P3(− √2 +1，0)， ③当PB=AB时，（a-4）2+12=18， 解得a3＝ √17 +4，a4＝− √17 +4， ∴P4( √17 +4，0)，P5(− √17 +4，0)， 综上述，P1（0，0），P2( √2 +1，0)，P3(− √2 +1，0)，P4( √17 +4，0)，P5(− √17 +4，0). 23. （1）解：如图（1）， ∵△ADG≌△ABE， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE， 又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°， ∴∠GAF=∠FAE， 在△GAF和△FAE中， AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF， ∴△AFG≌△AFE（SAS）. ∴GF=EF. 又∵DG=BE， ∴GF=BE+DF， ∴BE+DF=EF. （2）∠BAD=2∠EAF （3）解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF. ∵∠BAD=150°，∠DAE=90°， ∴∠BAE=60°. 又∵∠B=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=80米. 根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°， 又∵∠ADF=120°， ∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上. 易得，△ADG≌△ABE， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE， 又∵∠EAG=∠BAD=150°， ∴∠GAF=∠FAE， 在△GAF和△FAE中， AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF， ∴△AFG≌△AFE（SAS）. ∴GF=EF. 又∵DG=BE， ∴GF=BE+DF， ∴EF=BE+DF=80+40（ √3 ﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米. 解：【类比引申】∠BAD=2∠EAF. 理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴∠D=∠ABM， 在△ABM和△ADF中， AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF=AM，∠DAF=∠BAM， ∵∠BAD=2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF， ∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF， 在△FAE和△MAE中， AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM， ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即EF=BE+DF. 故答案是：∠BAD=2∠EAF. 24. （1）𝑘=−𝑘2−𝑘+2 22 （2）①过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， ∴ △𝑘𝑘𝑘∽△𝑘𝑘𝑘 131 ∴ 𝑘=𝑘𝑘=𝑘𝑘 ,设 D(𝑘,−𝑘2−𝑘+2) ， 2 13 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 22 ∴ M(𝑘,𝑘+2) ，∴ ==2𝑘𝑘𝑘 2 1 𝑘1 𝑘𝑘 −𝑘2−2𝑘 52 12 =−5(𝑘+2)2+5 ，∴最大值为 5 144 ②在OA上取一点P使得PA=PC，设OP=m，则PC=PA=4-m，在Rt△PCO中， 由勾股定理得：（4-m）2=m2+22 ， 解得m= ，∴tan∠CPO= ， 2 3 3 4 过D做x轴的平行线交y轴于R，交AC延长线于G， 情况一：∠DCF =2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC= ， 21 即 RC= ，设 D(𝑘,−𝑘2−𝑘+2) ，∴DR=—a，RC= −𝑘2−𝑘 ，代入得，a1=0，a2=—2， 22222 DR 11313 ∴xD=—2 情况二：∠FDC =2∠BAC，∴tan∠FDC= ，设FC=4k，DF=3k，DC=5k， 34 ∵tan∠DGC= 2√55 =2 ，∴FG=6k，CG=2k，DG= 3√5𝑘 ， 𝑘𝑘 4√552911 3𝑘1 ∴RC= 𝑘 ，RG= 𝑘 ，DR= 3√5𝑘− 4√55 𝑘= 11√5𝑘 5 ，∴ DRRC = 11√5𝑘52√5𝑘5 = −𝑘 13−𝑘2−𝑘22 ， ∴a1=0(舍去)，a2= − ，综上所述：点D的横坐标为—2或 − . 11 29 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容