考数学试卷（10月份）
一、选择题（3'×10＝30'）
1．方程x2﹣4x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别为（ ） A．4和3
B．4和﹣3
C．﹣4和﹣3
D．﹣4和3
2．如果x＝2是关于x的一元二次方程x2＝c的一个根，那么该方程另一个根是（ ） A．2
B．﹣2
C．0
D．不能确定
3．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0两根为x1、x2，则x1•x2＝（ ） A．4
B．3
C．﹣4
D．﹣3
4．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ） A．（x+4）2＝9
B．（x﹣4）2＝9
C．（x﹣8）2＝16
D．（x+8）2＝57
5．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下
C．顶点坐标是（1，2）
B．对称轴是直线x＝﹣1 D．与x轴有两个交点
6．若点（2，5），（4，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是（ ） A．x＝2
B．x＝3
C．x＝4
D．x＝5
7．抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（ ） A．无交点
B．1个
C．2个
D．3个
8．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A．289（1﹣x）2＝256 C．289（1﹣2x）2＝256
B．256（1﹣x）2＝289 D．256（1﹣2x）2＝289
9．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（ ） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
10．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0
二、填空题（3'×6＝18'）
11．已知二次函数y＝（x﹣1）2+6，当x 时，y随x的增大而增大． 12．方程x2+6x+9c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
13．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有 人．
2
14．+11， 已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）当1≤x≤4时，函数的最大值为 ．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，c＜0，其对称轴为x＝﹣1，下列结论：①b＞0； ②4a﹣2b+c＜0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0中，一定正确的是 ．（填序号）16．已知关于x的二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则其顶点一定在第 象限．
三、解答题（共8题，共72'） 17．解下列方程： （1）x2﹣2x+1＝25； （2）x2﹣4x+1＝0． 18．已知方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有一根为1，求m的值； （2）若方程无实数根，求m的取值范围．
19．如图，有一块矩形铁皮，长100cm、宽60cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为5376cm2，求铁皮各角应切去边长多大的正方形？
20．已知二次函数的图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣1），且对称轴为x＝1． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P（3，m）在抛物线上，求△PAB的面积． 21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有实数根．
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1+x2＝m+1，求m的值．
22．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价x（元/千克）（x为正整数），每天销售量为y（千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少？ （3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．如图，A（0，2），B（7，3），P（m，0）．
（1）当PA+PB的值最小时，m＝ ． （2）若∠APB＝90°，求：m的值．
（3）已知线段AP的中垂线交AP于C，若D（m，n）在AB的中垂线上，则m、n之间的函数关系为 ．
24．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点（0，1）． （1）该抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，直线y＝kx+kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t2的大小关系．
（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM+ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（3'×10＝30'）
1．方程x2﹣4x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别为（ ） A．4和3
B．4和﹣3
C．﹣4和﹣3
D．﹣4和3
【分析】根据ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．
解：方程x2﹣4x﹣3＝0的一次项系数和常数项分别为﹣4，﹣3． 故选：C．
2．如果x＝2是关于x的一元二次方程x2＝c的一个根，那么该方程另一个根是（ ） A．2
B．﹣2
C．0
D．不能确定
【分析】求出方程的解，根据已知x＝2是一元二次方程x2＝c的一个根得出方程的另一个根即可． 解：∵x2＝c， ∴x＝±
，
∵x＝2是一元二次方程x2＝c的一个根， ∴该方程的另一个根是x＝﹣2， 故选：B．
3．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0两根为x1、x2，则x1•x2＝（ ） A．4
B．3
C．﹣4
D．﹣3
【分析】利用根与系数的关系求出x1•x2＝的值即可． 解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0两根为x1、x2， ∴x1x2＝＝3， 故选：B．
4．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（ ） A．（x+4）2＝9
B．（x﹣4）2＝9
C．（x﹣8）2＝16
D．（x+8）2＝57
【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
解：∵x2+8x+7＝0， ∴x2+8x＝﹣7， ⇒x2+8x+16＝﹣7+16， ∴（x+4）2＝9． ∴故选：A．
5．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下
C．顶点坐标是（1，2）
B．对称轴是直线x＝﹣1 D．与x轴有两个交点
【分析】根据抛物线的性质由a＝1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点． 故选：C．
6．若点（2，5），（4，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上，则它的对称轴是（ ） A．x＝2
B．x＝3
C．x＝4
D．x＝5
【分析】因为两点的纵坐标都为5，所以可判定两点是一对对称点，利用公式x＝求解即可．
解：∵两点的纵坐标都为5， ∴这两点是一对对称点， ∴对称轴x＝故选：B．
7．抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴交点个数为（ ） A．无交点
B．1个
C．2个
D．3个
＝
＝3．
【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出关于x的一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数． 解：当x＝0时，y＝1，
则与y轴的交点坐标为（0，1）， 当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点． 综上所述，抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是2个． 故选：C．
8．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A．289（1﹣x）2＝256 C．289（1﹣2x）2＝256
B．256（1﹣x）2＝289 D．256（1﹣2x）2＝289
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2， ∴方程为289（1﹣x）2＝256． 故选：A．
9．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（ ） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 【分析】利用二次函数的图象的性质．
解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），∴向左移动1个单位，向下移动3个单位． 故选：C．
10．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≥﹣
B．k≤﹣
C．k＞﹣且k≠0
D．k≥﹣且k≠0
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x＝；②当k≠0时根据△≥0且k≠0，求得k的取值范围． 解：①当k＝0时，3x﹣1＝0，
解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝32﹣4×（﹣1）k≥0，解得k≥﹣； 由①②得，k的取值范围是k≥﹣． 故选：A．
二、填空题（3'×6＝18'）
11．已知二次函数y＝（x﹣1）2+6，当x ＞1 时，y随x的增大而增大．
【分析】由抛物线解析式可确定其开口方向及对称轴，由抛物线的增减性可求得答案． 解：∵y＝（x﹣1）2+6，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x增大而增大， 故答案为：＞1．
12．方程x2+6x+9c＝0有两个相等的实数根，则c＝ 1 ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得到其判别式等于0，解方程可求得c的值． 解：∵方程x2+6x+9c＝0有相等的两个实数根， ∴Δ＝0，
即62﹣4×1×9c＝0， 解得c＝1， 故答案为：1．
13．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有 10 人．
【分析】设这次聚会的同学共x人，则每个人握手（x﹣1）次，而两个人之间握手一次，因而共握手
次，即可列方程求解．
＝45
解：设这次聚会的同学共x人，根据题意得，解得x＝10或x＝﹣9（舍去） 所以参加这次聚会的同学共有10人．
14．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+11，当1≤x≤4时，函数的最大值为 10 ．
【分析】根据函数解析式即可得到开口方向和对称轴，然后根据x的取值范围以及二次函数的性质，即可求得函数的最大值． 解：∵y＝﹣（x﹣5）2+11，
∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝5，当x＜5时，y随x的增大而增大， ∵1≤x≤4，
∴当x＝4时，y取得最大值，此时y＝﹣（4﹣5）2+11＝10， 故答案为：10．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，c＜0，其对称轴为x＝﹣1，下列结论：①b＞0；②4a﹣2b+c＜0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0中，一定正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【分析】由抛物线对称轴的位置判断b与0的关系；当x＝2时，y＝4a+2b+c；然后由图象确定b2﹣4ac＞0． 解：①如图所示，
∵a＞0，对称轴为x＝﹣1， ∴a、b同号， ∴b＞0， 故①正确；
②∵x＝﹣∴2a＝﹣b．
∴4a+2b+c＝﹣2b+2b+c＝c＜0． ∴4a+2b+c＜0． 故②正确；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，c＜0， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a+c﹣b＜0，即a+c＜b． 故③正确；
＝1，
④∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④． 故答案是：①②③④．
16．已知关于x的二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则其顶点一定在第 三 象限．
【分析】由题意求出a的范围，根据抛物线的对称轴及其与x轴的交点情况可得出答案．解：∵当x＝1时，y＞0， ∴a+2a﹣1+a﹣3＞0， ∴a＞1．
∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a（a﹣3）＝8a+1＞0，
∴抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3与x轴有两个交点， ∵a＞1， ∴2a﹣1＞0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧， 又∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点一定在第三象限． 故答案为：三．
三、解答题（共8题，共72'） 17．解下列方程： （1）x2﹣2x+1＝25； （2）x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）根据完全平方公式变形，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）将常数项移到右边，两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解． 解：（1）x2﹣2x+1＝25， （x﹣1）2＝25， ∴x﹣1＝±5， ∴x1＝6，x2＝﹣4；
（2）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， ∴x﹣2＝∴x1＝2+
或x﹣2＝﹣，x2＝2﹣
， ．
18．已知方程x2﹣4x+m＝0．
（1）若方程有一根为1，求m的值； （2）若方程无实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）将x＝1代入方程，解方程即可得m的值；
（2）先计算判别式、整理得到Δ＝（﹣4）2﹣4m，再根据判别式的意义得到（﹣4）2﹣4m＜0，解不等式即可得求出m的取值范围． 解：（1）∵方程有一根为1， ∴12﹣4×1+m＝0， ∴m＝3；
（2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0， ∴m＞4．
19．如图，有一块矩形铁皮，长100cm、宽60cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为5376cm2，求铁皮各角应切去边长多大的正方形？
【分析】设切去得正方形的边长为xcm，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm， 根据题意得：（100﹣2x）（60﹣2x）＝5376， 解得：x1＝2，x2＝78（不合题意，舍去）， 则铁皮各角应切去边长为2cm的正方形．
20．已知二次函数的图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣1），且对称轴为x＝1． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P（3，m）在抛物线上，求△PAB的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据图象上的点的坐标特征求得P的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据题意得，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；
（2）∵点P（3，m）在图象上， ∴m＝32﹣2×3﹣1＝2， ∴P（3，2）， ∴S△PAB＝3×4﹣
﹣
﹣
＝3．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根．
（2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1+x2＝m+1，求m的值． 【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣（m﹣2），结合2x1+x2＝m+1，求得x1＝2m﹣1，代入方程x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：∵x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0， ∴Δ＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝（m﹣4）2≥0， ∴不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）解：设该方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（m﹣2）． ∵2x1+x2＝m+1，
∴x1+（x1+x2）＝x1﹣（m﹣2）＝m+1， ∴x1＝2m﹣1，
代入x2+（m﹣2）x+m﹣3＝0得，（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）+m﹣3＝0， 整理得，6m2﹣8m＝0， 解得：m1＝0，m2＝． ∴m的值为0或．
22．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．市场调查发现，该产品每天的销售价为25（元/千克）时，每天销售量为30（千克）．当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，设涨价x（元/千克）（x为正整数），每天销售量为y（千克）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为多少？ （3）每千克涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1 ）根据当产品的销售价每千克涨1元时每天销售量会减少2千克，进行求解即可；
（2）设利润为w元，则由（1）可得每天销售量为（30﹣2x）千克，每天的每千克的获利为（x+5），由此可得w＝（x+25﹣20）（30﹣2x）＝（x+5）（30﹣2x），再把w＝128代入进行求解即可；
（3）由（2）得w＝（x+5）（30﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+200，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
解：（1）则由题意得：y＝30﹣2x， ∵30﹣2x＞0， ∴x＞15，
∴y与x之间的函数关系式为y＝30﹣2x（0＜x＜15，且x为整数）； （2）设利润为w元，
则由题意得：w＝（x+25﹣20）（30﹣2x）＝（x+5）（30﹣2x）， ∵该农户想要每天获得128元的销售利润， ∴（x+5）（30﹣2x）＝128， 解得：x1＝11，x2＝﹣1（舍去）， ∴销售价为25+11＝36（元），
∴农户想要每天获得128元的销售利润，销售价为36元； （ 3 ）w＝（x+5）（30﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+200， ∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，w有最大值，最大值为200，
∴每千克涨价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 23．如图，A（0，2），B（7，3），P（m，0）．
（1）当PA+PB的值最小时，m＝ （2）若∠APB＝90°，求：m的值．
．
（3）已知线段AP的中垂线交AP于C，若D（m，n）在AB的中垂线上，则m、n之间的函数关系为 7m+n＝27 ．
【分析】（1）取A点的对称点A'（0，﹣2），设yA′B＝kx+b（k≠0），将A'，B代入求出函数解析式，再令y＝0，即可求解；
（2）过点B作BC⊥x轴于C，先求出△AOP∽△PCB可得即可求解；
（3）连接AB，过点D作DE⊥AB于E，连接AD、DP、DB，先求出DP∥y轴，再求出E（，），进而求出AE2＝（0﹣）2+（2﹣）2＝
，AD2＝m2+（2﹣n）2，DE2
，再解一元二次方程
＝（m﹣）2+（n﹣）2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得m、n之间的函数关系． 解：（1）取A点的对称点A′（0，﹣2），
设yA′B＝kx+b（k≠0），
把（0．﹣2），（7，3）代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣2， 令y＝0，则x＝∴P（
，
，
，0），即m＝
；
故答案为：
（2）过点B作BC⊥x轴于C，
∵∠APB＝90°， ∴∠APO+∠CPB＝90°， ∵∠PBC+∠CPB＝90°， ∴∠APO＝∠PBC， ∴△APO∽△PBC， ∴
，即
，
∴m2﹣7m+6＝0， ∴m＝1或m＝6；
（3）如图，连接AB，过点D作DE⊥AB于E，连接AD、DP、DB，
∵D在AP的中垂线上， ∴AD＝PD，
∵P（m，0），D（m，n）， ∴DP∥x轴， ∴DP＝n＝AD，
∵A（0，2），B（7，3）， ∴E（，），
AE2＝（0﹣）2+（2﹣）2＝AD2＝m2+（2﹣n）2，
DE2＝（m﹣）2+（n﹣）2， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， ∴
+m2﹣7m+
+n2﹣5n+
＝m2+4﹣4n+n2， ，
整理得：7m+n＝27． 故答案为：7m+n＝27．
24．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点（0，1）． （1）该抛物线的解析式为 y＝x2+1 ；
（2）如图1，直线y＝kx+kt交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与t2的大小关系．
（3）如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得NM+ND取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由已知可得﹣2b＝0，c＝1，即可求解析式；
（2）联立方程可求解；
，可得xC+xB＝4k，xC•xB＝4（1﹣kt），则AE•AF＝4+t2，即
（3）设抛物线上任意一点H（x，y），则y＝x2+1，HD＝＝x2+1，可
得H点到D的距离与H点到x轴的距离相等，所以当MN⊥x轴时，MN+ND的值最小，即可求N（1，）．
解：（1）将点（0，1）代入y＝x2+bx+c， 可得c＝1，
∵点（0，1）是顶点， ∴﹣2b＝0， ∴b＝0， ∴y＝x2+1， 故答案为：y＝x2+1； （2）∵y＝kx+kt＝k（x+t）， ∴A（﹣t，0）， 联立方程
，
∴x2﹣kx+1﹣kt＝0，
∴xC+xB＝4k，xC•xB＝4（1﹣kt）， ∴AE＝xC+t，AF＝xB+t， ∴AE•AF
＝（xC+t）（xB+t） ＝xC•xB+t（xC+xB）+t2 ＝4（1﹣tk）+4kt+t2 ＝4+t2， ∴AE•AF＞t2；
（3）存在点N，使得NM+ND取得最小值，理由如下： 设抛物线上任意一点H（x，y），
∴HD＝∵y＝x2+1， ∴HD＝x2+1，
，H点到x轴的距离为y，
∴H点到D的距离与H点到x轴的距离相等， ∴当MN⊥x轴时，MN+ND的值最小， ∴N（1，）．
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