背包问题中贪心算法的应用探讨

背包问题中贪心算法的应用探讨

作者：曹亚非

来源：《硅谷》2011年第24期

摘 要： 在背包问题中，取得最优解一直是解决背包问题的最终目的，就贪心算法的动态规划关系以及方案在解决背包问题上作比较，但贪心法在什么时候都能取到最优解并无一般结论，而对于普通背包问题我们却有一个完美的结果——贪心法可取到最优解。 关键词： 贪心算法；背包问题；动态规划

中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2011）1220128－02 0 引言

贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是该算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的从局部的最优选择，寻找到解决问题的次优解的方法。虽然我们希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的，但是在某些情况下，该算法得到的只是问题的最优解的近似。其基本思路是：从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。但也存在如下的问题：

1）不能保证求得的最后解是最佳的； 2）不能用来求最大或最小解问题；

3）只能求满足某些约束条件的可行解的范围。 实现该算法的过程：

Begin从问题的某一初始解出发； while能朝给定总目标前进一步do； 求出可行解的一个解元素；

由所有解元素组合成问题的一个可行解。 1 关于贪心算法在背包问题中的应用的探讨 1）问题描述

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包（1）或不装入背包（0）。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。背包问题可以定义如下：给出n个大小为s1,s2,…,sn，值为v1,v2,…,vn的项目，并设背包容量为C，要找到非负实数x1,x2,…,xn，使和在约束条件下取最大。 2）动态规划解决方案：是解决0/1背包问题的最优解 ① 若i=0或j=0，V[i,j] = 0 ② 若j

③ 若i>0和j>=si，Max{V[i-1,j]，V[i-1,j-si]+vi}（第一种情况是包中的i-1项已经达到最大值，第二种情况是i-1项占j-si的体积再加上第i项的总的价值，取这两种情况的最大值。） //sj和vj分别为第j项物品的体积和价值，C是总体积限制。

//V[i,j]表示从前i项{u1,u2,…,un}中取出来的装入体积为j的背包的物品的最大价值。 3）贪心算法解决背包问题有几种策略

① 一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2，w=[100,10,10]，p=[20,15,15]，c=105。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x=[1,0,0]，这种方案的总价值为20。而最优解为[0,1,1]，其总价值为30。

② 另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n=2，w=[10,20]，p=[5,100]，c=25。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0]，比最优解[0,1]要差。

③ 还有一种贪婪准则，就是我们教材上提到的，认为，每一项计算yi=vi/si，即该项值和大小的比，再按比值的降序来排序，从第一项开始装背包，然后是第二项，依次类推，尽可能的多放，直到装满背包。

有的参考资料也称为价值密度pi/wi贪婪算法。这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略试解n=3，w=[20,15,15]，p=[40,25,25]，c=30时的最优解。虽然按pi /wi 非递（增）减的次序装入物品不能保证得到最优解，但它是一个直觉上近似的解。而且这是解决普通背包问题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

的最优解，因为在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。

4）贪心算法解决背包问题的算法实现 C语言代码如下： #include struct goodinfo { float p; //物品效益 float w; //物品重量 float X; //物品该放的数量 int flag; //物品编号 };//物品信息结构体

void Insertionsort(goodinfo goods[],int n)

{//插入排序，按pi/wi价值收益进行排序，一般教材上按冒泡排序 int j,i; for(j=2;j {

goods[0]=goods[j]; i=j-1;

while (goods[0].p>goods[i].p) {

goods[i+1]=goods[i]; i--; }

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

goods[i+1]=goods[0]; }

}//按物品效益，重量比值做升序排列 void bag(goodinfo goods[],float M,int n) {float cu; int i,j; for(i=1;i goods[i].X=0; cu=M; //背包剩余容量 for(i=1;i {

If(goods[i].w>cu)//当该物品重量大与剩余容量跳出 break; goods[i].X=1;

cu=cu-goods[i].w;//确定背包新的剩余容量 } if(i

goods[i].X=cu/goods[i].w;//该物品所要放的量 /*按物品编号做降序排列*/ for(j=2;j {

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

goods[0]=goods[j]; i=j-1;

while (goods[0].flag {

goods[i+1]=goods[i]; i--; }

goods[i+1]=goods[0]; } cout for(i=1;i { cout cout } }

void main() { cout

int j,n; float M;

goodinfo *goods;//定义一个指针 while(j) {

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

cout cin>>n;

goods=new struct goodinfo [n+1];// cout cin>>M; cout int i; for(i=1;i {goods[i].flag=i; cout

cin>>goods[i].w; cout

cin>>goods[i].p;

goods[i].p=goods[i].p/goods[i].w;//得出物品的效益，重量比 cout }

Insertionsort(goods,n); bag(goods,M,n); cout to run agian\" cout to exit\" cin>>j; } }

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

参考文献：

[1][沙特]M.H.Alsuwaiyel，算法设计技巧与分析，吴伟昶等译，2004.

[2]苑立伟、刘付显等，改进遗传算法及其在背包问题中的应用[J].系统工程与电子技术，2005.