《高等数学》各章知识点归纳总结第9章

2023-04-06 来源：步旅网

《高等数学》各章知识点归纳总结第9章

第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间

2R 为二元数组),(y x 的全体,称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体,称为三维空间。 n

R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体,称为n 维空间。 n 维空间两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离:

||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点,δ是某一正数,与点0P 距离小于

δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈<

空心邻域: 0P 的δ邻域去掉心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}P PP δ<<。

内点与边界点:设E 为n 维空间的点集,n

P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域),(δP U ,使得E P U ⊂),(δ,则称点P 为集合E 的内点。如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点,则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界.

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聚点:设E 为n 维空间的点集,n

P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 的无穷多个点,则称P 为集合E 的聚点。

开集与闭集: 若点集E 的点都是内点,则称E 是开集。设点集n E ⊆R , 如果E 的补集n E -R 是开集,则称E 为闭集。

区域与闭区域:设D 为开集,如果对于D 内任意两点,都可以用D 内的折线(其上的点都属于D )连接起来, 则称开集D 是连通的.连通的开集称为区域或开区域.开区域与其边界的并集称为闭区域.

有界集与无界集: 对于点集E ,若存在0>M ,使得(,)E U O M ⊆,即E 所有点到原点的距离都不超过M ,则称点集E 为有界集,否则称为无界集.

如果D 是区域而且有界,则称D 为有界区域. 有界闭区域的直径:设D 是n

R 的有界闭区域,则称1212,()max {||}P P D d D PP ∈=为D 的直径。二、多元函数

n 元函数就是n R 的一个子集D 到R 的一个函数,即对任意的P D ∈,都存在唯一的

y ∈R ,使得()y f P =。习惯上,我们用()y f x =表示一元函数, 用),(y x f z =表示

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二元函数,用(,,)w f x y z =表示三元函数. 一般用(),R n y f P P =∈或12(,,,)

n y f x x x =表示n 元函数. 三、多元函数的极限

设多元函数)(P f z =在D 有定义,0P 是D 的一个聚点,A 为常数。如果对任意给定的0ε>,都存在0δ>,当0

(,)P D P U δ∈⋂ 时,有 ()f P A ε-<

则称A 为P 趋于0P 时函数)(P f z =在D 上的极限,记为0 P P lim (P)f A →= 或 0(P),(P P )f A →→。四、多元函数的连续性

设多元函数)(P f z =在D 有定义,0P 是D 的一个聚点。如果0 0P P lim (P)(P )f f →=,

则称)(P f z =在0P 点连续。如果)(P f z =在区域D 上各点都连续,就称)(P f z =在D 上连续.如果函数)(P f z =在点0P 处不连续,则称函数)(P f z =在点0P 处间断, 也称0P 是函数),(y x f z =的间断点。五、偏导数

设二元函数),(y x f z =,),(000y x P 为平面上一点。如果0(,)z f x y =在0x 的某一邻

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域内有定义且在0x 存在, 则称),(y x f z =在点),(000y x P 处对x 可偏导,称此极限值为函数),(y x f z =在点

),(000y x P 处对x 的偏导数,记为 000000(,) (,) (,) , ,x

x y x y x y z f z x x

∂∂'∂∂或00(,)x f x y ' 六、高阶偏导数 2222

xx z f f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫''=== z f f f x y x y y x ∂∂∂∂⎛⎫

''=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭ , 22yx

z f f f y x y x x y ⎛⎫∂∂∂∂''=== 2222yy z f f f y y y y ⎛⎫

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∂∂∂∂⎝⎭,22xy ∂∂∂∂∂∂⎝⎭, ⎪⎪《高等数学》各章知识点归纳总结第9章

∂∂∂∂''=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭

如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数,xy yx f f ''''都在平面区域D 内连续,那么这两

个二阶混合偏导数在D 内相等。七、全微分

设函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义,,A B 为常数。如果

()z A x B y o ρ∆=∆+∆+,其ρ= 则称函数 ),(y x f z =在点 000(,)P x y 可微分(简称可微),称A x B y ∆∆+为函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的全微分,记作dz ,即dz A x B y =∆+∆

可微的必要条件:函数),(y x f z =在点000(,)P x y 可微, 则(1) ),(y x f 在点000(,)

P x y 处连续。(2) ),(y x f 在点000(,)P x y 处偏导数存在, 且

=z d 00(,)d x f x y x '+00(,)d y f x y y '。可微的充分条件:函数),(y x f z =在点000(,)P x y 的某个邻域内可偏导,且偏导数

(,),(,)x y f x y f x y ''在点000(,)P x y 连续,则),(y x f z =在点000(,)P x y 可微。

八、多元复合函数的求导法则

链式法则:),(v u f z =,),(),,(y x v v y x u u ==

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一阶全微分的形式不变性:),(v u f z =,),(),,(y x v v y x u u ==

,z z z z dz dx dy dz du dv x y u v ∂∂∂∂=

+=+∂∂∂∂ 九、隐函数及其求导法

若),(y x F 满足:(1) ),(y x F 在),(00y x 某邻域内可偏导, 且(,),x F x y '(,)y F x y '连续,(2) 00(,)0F x y =,(3) 00(,)0y F x y '≠。则(1) 存在0x 的某个邻域,在此邻域内存在唯一确定的一元函数)(x f y =满足称函数)(x f y =称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数,且

)(x f y =具有连续导数, (,)d ()d (,) x y F x y y

f x x F x y '==-. 若12(,,

,,)n F x x x y 满足:(1) ),,,,(21y x x x F n 在点),,,,(00 0201y x x x n 的某个(n +1) 维邻域内可偏导, 且1 121212(,,,,), ,(,,

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,,),(,,,,)n x n x n y n F x x x y F x x x y F x x x y '''连续。

(2) 00 012(,,

,,)0n F x x x y =,(3) 000 012(,,,,)0y n F x x x y '≠ 则(1) 存在点),,,(0

0201n x x x 的某个n 维邻域, 在此邻域内存在唯一的n 元函数,且函数

),,,(21n x x x f y =在该邻域内具有连续偏导数,,i i x x y F y F ''=-

1,2,,i n =。

十、空间曲线的切线与法平面空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩ ⎪