2007年高考理科数学试题及参考答案(山东卷)

2007年高考数学山东卷（理科）详细解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

21 若zcosisin（i为虚数单位），则z1的值可能是

 （B） （C） （D） 6432【答案】:D【分析】：把代入验证即得。

2 （A）

2 已知集合M1,1，Nx12x14,xZ，则MN 2 （A）1,1 （B） 1 （C）0 （D） 1,0 【答案】:B【分析】：求Nx12x14,xZ1,0。 23下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是

（A）(1),(2) （B） (1),(3) （C）(1),(4) （D） (2),(4)

【答案】:D【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。 4 设a1,1,,3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为 （A）1,3 （B） 1,1 （C）1,3 （D） 1,1,3

【答案】:A【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 5 函数ysin(2x（A）,1 （B）

12)cos(2x)的最小正周期和最大值分别为 63,2 （C）2,1 （D） 2,2 【答案】:A【分析】：化成yAsin(x)的形式进行判断即ycos2x。

6 给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，

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f(xy)f(x)f(y)。下列函数中不满足其中任何一个等式的是

1f(x)f(y)（A）f(x)3x （B） f(x)sinx （C）f(x)log2x （D） f(x)tanx 【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足f(xy)f(x)f(y)，B不满足其中任何一个等式.

1f(x)f(y)327 命题“对任意的xR，xx10”的否定是

（A）不存在xR，xx10 （B）存在xR，xx10 （C）存在xR，xx10 （D）对任意的xR，xx10

【答案】:C【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。 8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 （A）0.9,35 （B） 0.9,45 （C）0.1,35 （D） 0.1,45 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 O 13 14 15 16 17 18 19

32323232【答案】: A.【分析】：从频率分布直方图上可以看出x0.9，y35. 9 下列各小题中，p是q的充要条件的是

2（1）p:m2或m6；q:yxmxm3有两个不同的零点。

（2）p:f(x))1; q:yf(x是偶函数。

f(x)tan。

n（3）p:coscos; q:ta（4）p:ABA; q:CUBCUA。

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（A）(1),(2) （B） (2),(3) （C）(3),(4) （D） (1),(4)

【答案】: D.【分析】：（2）由

f(x)1可得f(x)f(x)，但yf(x)的定义域不一定f(x)关于原点对称；（3）是tantan的既不充分也不必要条件。

10 阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是 （A）2500,2500 （B） 2550,2550 （C）2500,2550 （D） 2550,2500 开 始 是 n2? S T否 输出SSn S,T nn1 结束 TTn nn1 【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得S1009896...22550，T999795...12500。

11 在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是

输入n S0,T0 22（A）ACACAB （B） BCBABC

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2(ACAB)(BABC)2（C）ABACCD （D） CD 2AB2【答案】:C.【分析】： ACACABAC(ACAB)0ACBC0，A是正2222确的，同理B也正确，对于D答案可变形为CDABACBC，通过等积变换判

断为正确.

12 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是

1.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为 2152153132315（A）() （B） C5() （C）C5() （D） C5C5()

22222【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5

121322二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

次后位于点(2,3)的概率为PC5()(1)。

13．13 设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，

FA与x轴正向的夹角为60，则OA为________.

【答案】:

21Dm，Am2，pm2m，【分析】：过A 作ADx轴于D，令F则Fp2mp。OA(p21p)2(3p)2p. 22x2y102xy314．设D是不等式组表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线xy10距

0x4y1离的最大值是_______.

8642-10-5510 【答案】:42.【分析】：画图确定可行域，从而确定(1,1)到直线直线xy10距离的最大为42.

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15．与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.

【答案】:. (x2)2(y2)22【分析】：曲线化为(x6)2(y6)218，其圆心到直线xy20的距离为d662252.所求的最小圆的圆心在直线yx上，其到

直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为(x2)2(y2)22。

1412108642-10-5510-2 16．函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny10上,其中mn0,则

12的最小值为_______. mn【答案】: 8。【分析】：函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A(2,1)，

(2)m(1)n10，2mn1，m,n0，

1212n4mn4m()(2mn)4428. mnmnmnmn三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n2n1*(17)（本小题满分12分）设数列an满足a13a23a3...3an,nN.

3(I)求数列an的通项; (II)设bn解：: (I)a13a23a3...32n1n,求数列bn的前n项和Sn. annn1, a13a232a3...3n2an1(n2), 33nn1113n1an(n2). ann(n2).

3333an共12页 第5页

验证n1时也满足上式，an(II) bnn3n，

1(nN*). n3Sn13232333...n3n

3Sn132233334...n3n1

2Sn332333nn3n1

33n1n3n1， 2Sn13 Snnn11n1333 24418（本小题满分12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程xbxc0实根的个数(重根按一个计). (I)求方程xbxc0 有实根的概率; (II) 求的分布列和数学期望;

(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程xbxc0 有实根的概率. 解：:（I）基本事件总数为6636，

若使方程有实根，则b4c0，即b2c。 当c1时，b2,3,4,5,6； 当c2时，b3,4,5,6； 当c3时，b4,5,6； 当c4时，b4,5,6； 当c5时，b5,6； 当c6时，b5,6,

目标事件个数为54332219, 因此方程xbxc0 有实根的概率为

2222219. 36共12页 第6页

(II)由题意知，0,1,2，则

P(0)17236，P(1)3611718,P(2)36， 故的分布列为



0 1 2

P

17136 171836 的数学期望E017361118217361. (III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2bxc0 有实根”N，则P(M)11736，P(MN)36， P(NM)P(MN)7P(M)11.

19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱ABCDA1BC11D1中,已知

DCDD12AD2AB,ADDC,ABDC.

(I)设E是DC的中点,求证: D1E平面A1BD; (II)求二面角A1BDC1的余弦值.

D1C1A1B1DECAB

解：:(I)连结BE，则四边形DABE为正方形，

BEADA1D1，且BEADA1D1， 四边形A1D1EB为平行四边形，

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为事件

D1EA1B.

D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，D1E平面A1BD.

(II) 以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA1，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A,0,2). 1(1DA1(1,0,2),DB(1,1,0).

设n(x,y,z)为平面A1BD的一个法向量，

x2y0由nDA， 1,nDB得xy0取z1，则n(2,2,1).

 设m(x1,y1,z1)为平面C1BD的一个法向量， 2y12z10由mDC,mDB得，

xy011取z11,则m(1,1,1).

mn33cosm,n.

393mn由于该二面角A1BDC1为锐角， 所以所求的二面角A1BDC1的余弦值为3. 3(20)（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结A1B2，A2B2102，A1A2北 20302102， 60120 A

2B2 105 A

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B1 乙

甲

A1A2B2是等边三角形，B1A1B21056045，

在A1B2B1中，由余弦定理得

22B1B2A1B12A1B22A1B1A1B2cos45， 220(102)220102200222B1B2102.

因此乙船的速度的大小为

10260302. 20答：乙船每小时航行302海里.

(21)（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C的标准方程;

(II)若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

x2y2解：(I)由题意设椭圆的标准方程为221(ab0)

abac3,ac1，a2,c1,b23

x2y21. 43ykxm (II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2y2得

134(34k2)x28mkx4(m23)0，

64m2k216(34k2)(m23)0，34k2m20.

8mk4(m23)x1x2,x1x2. 2234k34k3(m24k2)y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m.

34k222以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD1，

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y1y21，y1y2x1x22(x1x2)40， x12x223(m24k2)4(m23)16mk40， 22234k34k34k7m216mk4k20，解得 m12k,m22k22，且满足34km0. 7当m2k时，l:yk(x2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

2k22时，l:yk(x)，直线过定点(,0). 7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7当m(22)（本小题满分14分）设函数f(x)x2bln(x1),其中b0. (I)当b1时,判断函数f(x)在定义域上的单调性; 2(II)求函数f(x)的极值点;

(III)证明对任意的正整数n,不等式ln(1)1n113都成立. 2nn解：(I) 函数f(x)x2bln(x1)的定义域为1,.

b2x22xbf'(x)2x，

x1x1令g(x)2x2xb，则g(x)在211,上递增，在1,上递减，

2211g(x)ming()b.

2211当b时，g(x)minb0，

22g(x)2x22xb0在1,上恒成立.

f'(x)0,

即当b1时,函数f(x)在定义域1,上单调递增。 2（II）分以下几种情形讨论：

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1时函数f(x)无极值点. 2122(x)12（2）当b时，f'(x)，

2x1（1）由（I）知当b1x1,时，f'(x)0,

21x,时，f'(x)0,

2b1时，函数f(x)在1,上无极值点。 21112b112b时，解f'(x)0得两个不同解x1，x2. 222（3）当b当b0时，x1112b112b1，x21，

22x11,,x21,,

此时f(x)在1,上有唯一的极小值点x2当0b112b. 21时，x1,x21,, 2f'(x)在1,x1,x2,都大于0 ，f'(x)在(x1,x2)上小于0 ，

此时f(x)有一个极大值点x1112b112b和一个极小值点x2.

22112b；

2综上可知，b0时，f(x)在1,上有唯一的极小值点x20b1112b112b时，f(x)有一个极大值点x1和一个极小值点x2； 222b1时，函数f(x)在1,上无极值点。 22（III） 当b1时，f(x)xln(x1). 令h(x)xf(x)xxln(x1),则

332共12页 第11页

3x3(x1)2h(x)在0,上恒正，

x1'h(x)在0,上单调递增，当x0,时，恒有h(x)h(0)0.

即当x0,时，有x3x2ln(x1)0,ln(x1)x2x3， 对任意正整数n，取x

1111得ln(1)23 nnnn共12页 第12页