TN 929.531 621.3 学号 039072 东 博d卜 南大学 学位论文
MIMO OFDM系统中信道估计及最优 导频序列设计的研究 研究生姓名 导师姓名: 胡蝶
杨绿溪教授
申请学位级别工学博士学科专业名称
论文提交日期2006年6月26日论文答辩日期 学位授予单位东南大学学位授予日期 答辩委员会主席鄂广增评阅人 2006年月日 2006年6月5日
CHANNEL ESTIMATION AND OPTIMAL PILOT SEQUENCE DESIGN FOR MIMO OFDM SYSTEMS A Dissertation Submitted to Southeast University
For the Academic Degree of Doctor of Engineering HU Die
Supervised by Prof. YANG Lu-xi
School of Information Science and Engineering Southeast University June 2006
东南大学学位论文独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名: 日期:
东南大学学位论文使用授权声明
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复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容。论文的公布(包括刊登)授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名: 导师签名: 日期: 摘要
MIMO OFDM系统中信道估计及最优导频序列设计的研究 摘要
正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing一OFDM)是信息高速传输的有效技
术，由于它可以抵抗信道的多径衰落，且具有频谱利用率高、实现简单等一系列优点，因此成为了
未来移动通信系统的主要候选方案之一。信道估计是OFDM系统中的关键技术之一，利用信道信息
的相干解调系统与不利用信道信息的差分解调系统相比，在信噪比((signal-to-noise ratio, SNR)上 可以有3 dB以上的性能提高。因此在要求高传输速率、高传输质量和高移动性的4G (Fourth Generation)通信系统中，信道估计是不可缺少的一环。本论文主要针对这个关键技术及相关的最优
导频序列设计问题进行了研究。
由于信道估计已得到广泛的研究，因此国际和国内已有较多的相关技术文献。本论文对其中一
些经典和常用的信道估计算法进行了总结，然后在此基础上对多输入多输出(Multiple Input Multiple
Output, MIMO) OFDM系统进行了分析，得到了一些新的结论。针对MIMO OFDM系统中进行信 道时域响应估计时有可能出现的方程欠定问题，论文提出了一种联合相继发送的导频序列进行共同
估计的改进算法。当发送的导频序列较为充足时，可以得到信道响应的若干个估计，根据每个估计
的均方误差(Mean Square Error, MSE)，论文给出了一种结合方式以获得最终较优的信道响应估计。
实际的OFDM系统通常会使用虚拟子载波，以此来避免发送信号受到发送端成形低通滤波器的
影响。在设计导频序列时，若考虑系统的虚拟子载波，则在某些情况下，传统均匀分布的最优导频
序列不再可用，因此如何设计非均匀分布的最优导频序列就显得十分必要。论文对这个问题进行了
深入研究，在基于信道时域响应最小二乘(Least Square, LS)估计算法的基础上，依据使估计均方
误差最小的准则推导了MIMO OFDM系统中非均匀分布下的最优导频序列。经过推导可以证明，此
时导频序列的设计与求解一个约束不等式方程组是等效的。对于这个约束不等式方程组，论
文设计
了如下三种求解算法来获得所需的最优导频，分别是:求解一个等效的约束规划问题;求解一个等
效的非约束优化问题;和利用Gram-Schmidt正交化进行直接求解。
通常情况下，信道可以等效为一个有限抽头的FIR滤波器，但对于稀疏信道，利用参数化模型
则可以更准确地逼近真实情况。由于参数化模型只包含信道路径时延和路径增益两种参数，因此在
信道稀疏时可以降低估计参数的维数，从而提高估计的性能。论文基于这种参数化信道模型，提出
了一种针对稀疏信道的最大似然(Maximum Likelihood, ML)估计算法。该算法首先沿用已有的最
小描述长度(Minimum Description Length, MDL)准则来检测信道中的路径数，然后利用估计信道
参数的旋转不变法(Estimation of Signal Parameters by Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)来获
得路径时延的初始估计。最后，利用最大似然方法对时延进行跟踪，对路径增益进行估计。为了降
低多参数ML估计问题的复杂度，论文利用广义交互空间期望最大化(Space-Alternating Generalized
Expectation-Maximization, SAGE)算法将其分解为一系列两参数的ML估计问题，通过迭代得到最
终解。对于每一次迭代中，某一信道路径上时延与增益的两参数ML估计问题，论文分别采用一种
基于牛顿迭代的快速ML算法和一种简单的求和平均方法来获得。
子载波间干扰(Intercarrier Interference, ICI)会破坏子载波之间的正交性，从而恶化OFDM系 统的性能。由于消除ICI需要利用到信道信息，因此信道估计对于快时变环境下的OFDM系统来说
东南大学博士学位论文
是十分关键的。论文对这个问题进行了深入研究，针对不同的时变环境，提出了如下三种时变的
OFDM信道估计算法，分别为:(1)基于低通插值的估计算法。该算法首先利用导频序列估计出一
个OFDM符号间隔内给定时刻上的信道时域冲击响应，然后通过对前后若干个给定时刻上已估计出
的信道响应进行低通插值，来获得所有时刻上的信道时域响应。(2)基于分段线性模型的估计算法。
该算法对时变信道进行线性建模，然后通过估计线性模型的斜率和参考点值来获得所有的待估信道
响应。该算法适用于系统相对多谱勒频率小于0.1的情况。(3)基于基扩展模型的估计算法。与前一
种算法的思想类似，该算法也是对时变信道进行建模，然后通过估计模型参数来获得所有待估的时
变信道响应。由于基扩展模型与Jakes模型的拟合程度较高，因此该算法可以适用于系统相对多谱勒
频率较大的情况。导频序列的设计对信道估计算法的性能有着重要影响，好的导频序列能极大改善
估计算法的性能。因此，论文在给出上述凡种时变信道估计算法的同时，还分别推导了相应于这些
算法最优或次优的导频序列。
关键词:MIMO通信、正交频分复用、多径信道、时变信道、信道估计、导频序列 Abstract
Channel Estimation and Optimal Pilot Sequence Design for MIMO OFDM Systems Abstract
Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) is an effective method for high data rate
transmission, and is being pursued as a potential candidate for the future mobile communication systems
due to its robustness against frequency-selective fading channels, bandwidth efficiency and simple
implementation. Channel estimation is one of the key techniques for OFDM systems. Compared with the differential demodulationn, coherent demodulation with accurate channel information can achieve 3-4 dB gain in signal-to-noise ratio (SN助.Therefore, in the fourth generation (4G) systems which require high
data rate, high quality and high mobility, channel estimation is an indispensable part. This thesis focuses on
this topic and the corresponding design issue of the optimal pilot sequence. Since channel estimation has attracted a lot of attention, there have been many literatures on this issue.
This thesis summarizes some classical channel estimation methods. After analyzing the Multiple Input Multiple Output (MIMO) OFDM systems, some new conclusions are then obtained. In order to avoid
solving underdetermined equations for MIMO OFDM systems, an improvement algorithm which combines
successively transmitted pilot sequences is proposed. If pilot sequences are sufficient, more than one
estimate can be obtained. Consequently, a combined way with consideration of the estimation mean square error (MSE) is given.
In practical OFDM systems, virtual subcarriers are usually used to avoid the transmitted data being distorted by the low-pass filter on the transmitter side. Thus, with the consideration of these virtual
subcarriers, we can find that the conventional uniformly spaced approach will not be applicable anymore in
some situations. It is, therefore, necessary to derive the optimal pilot sequences with the nonuniform pilot tone placement. Based on the least square (LS) channel estimation method, the optimal pilot sequences of
MIMO OFDM systems are derived in this thesis to minimize the estimation MSE. It can be shown that
such a design issue is equivalent to solving a system of linear inequalities. For such inequalities, three solving algorithms are given, which are solving an equivalent constrained programming problem, solving
an equivalent unconstrained optimization problem, and directly using Gram-Schmidt orthogonalization, respectively.
Usual玫channel can be modeled as a finite impulse response (FI助filter. But for sparse multipath
channel, the parametric model can approximate the actual environment better. Since there are only path
delays and path gains to be estimated in the parametric model, the estimation dimension can be reduced a
lot for sparse channel, and consequently, the estimation performance can be improve. Based on parametric
channel model, a maximum likelihood (ML) estimation scheme is proposed for sparse channel in this thesis.
First, the number of channel path are detected卜minimum-description-length (MDL) criterion and channel
path delays are initialized by Estimation of signal-parameters-卜-rotational-invariance-techniques
(ESPRIT). Then the path delays and path gains are obtained by proposed ML approach. To reduce the TTT
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complexity of multi-parameter ML estimation, the space-alternating generalized expectation-maximization
(SAGE) algorithm is applied to decouple the multi-parameter ML problem into some separate
two-parameter ML problems. And the final channel estimates are obtained卜iteration. For each
two-parameter ML problem, a fast ML algorithm based on Newton's method and a simple averaged method
are employed to estimate the path delay and path gain, respectively.
Intercarrier interference (ICI) will destroy the orthogonality of subcarriers, which worsens the OFDM
system performance. Sine mitigating ICI needs channel information, estimating rapidly time-varying
channel is very important. For different time-varying environments, three channel estimation schemes are proposed, which are as follows. (1) The method based on low-pass interpolation. After the channel impulse
responses (CI助at the given times are estimated by pilot sequence, the CIR at the remained times can be
obtained by low-pass interpolation. (2) The method based on piece-wise linear model. Since the channel during one OFDM symbol period is modeled as a linear function, the CIR can be obtained by only
estimating the slope and the reference signal of the linear model. This method is suitable for systems where
the relative Doppler frequency smaller than 0.1. (3) The method based on basis expansion model (BEM).
Similar to the former method, this method also models the time-varying channel, and then obtains the CIR
through estimating the model parameters. Since BEM can well approximate the Jakes' model, this method
is suitable for systems where the relative Doppler frequency is rather high. Pilot sequence design plays an
important role in channel estimation. Therefore, in this thesis, the optimal pilot sequences are also derived
along with the proposed channel estimation schemes mentioned above. Key Words: MIMO communications, OFDM, multipath fading channel, time-varying channel, channel
estimation, pilot sequence TV 目录 目录 摘
要........................................................................................................................................................I Abstract...........................................................................................................................................„„III 符号定义..................................................................................................................................... VII 缩略词......................................................................................................................................„„VIII 第一章绪论..............................................................................
.........................................................1 1.1引言.....................................................................................................................................1 1. 2 OFDM技术的历史与发展................................................................................................. 2 1. 3 OFDM的基本原理及特点................................................................................................. 2 1.4论文的主要工作和内容安排............................................................................................. 4 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计............................................................................. 8
2.1引言..................................................................................................................................... 8 2. 2 OFDM系统等效基带模型................................................................................................. 9 2. 3 OFDM系统中基于导频序列的经典信道估计...............................................................10 2.3.1信道频域响应估计算法..................................................................................„„11 2. 3.2信道时域响应估计算法........................................................................................13
2.4 MIMO OFDM系统中基于导频序列的信道估计..........................................................14
2.5一种改进的MIMO OFDM系统信道时域响应估计算法.............................................17 2.6仿真结果及讨论............................................................................................................... 20 2.7本章小结........................................................................................................................... 21
第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计............................... 23 3.1引言..............................................................................
..................................................... 23
3.2 MIMO OFDM系统中信道时域响应的LS估计及估计均方误差................................ 25 3.3导频非均匀分布时最优导频序列的设计....................................................................... 27 3.4仿真结果及讨论............................................................................................................... 34 3.5本章小结........................................................................................................................... 36
第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计....................................................... 37 4. 1引言................................................................................................................................... 37
4.2基于参数化信道模型下的OFDM系统等效基带模型..................................................38
4.3信道路径数的检测和路径时延的初始化估计............................................................... 39 4.4信道路径时延与路径增益的最大似然估计................................................................... 41
4.4.1利用SAGE算法分解复杂的多参数最大似然估计问题.................................... 42
4.4.2求解一个低复杂度的两参数最大似然估计问题................................................ 43 4.5算法复杂度分析............................................................................................................... 44 4.6仿真结果及讨论............................................................................................................... 45 4.7本章小结........................................................................................................................... 48 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变信道估计................................................................... 49 5.1引言................................................................................................................................... 49 5.2时变环境下OFDM系统的等效基带模型...................................................................... 50 东南大学博士学位论文 5.3基于低通插值的时变信道估
计....................................................................................... 51
5. 3. 1 P个选定时刻上的信道向量估计...........„„ 5. 3.2剩余时刻上基于低通插值的信道向量估计 5.4仿真结果及讨论.........................................................................................................„„ 5.5本章小结.....................................................................................................................„„
第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计.„„ 6.1引言.............................................................................................................................„„ 6.2时变环境下MIMO OFDM系统的等效基带模型...................................................„„
6.3基于信道分段线性假设下的MIMO OFDM系统模型...........................................„„
6.4第一种时变信道估计算法及相应导频序列的设计.................................................„„ 6.4.1时变信道估计算法····························.............................................................„„ 6.4.2导频序列的设计································· .............................................................„„
6.5第二种时变信道估计算法及相应导频序列的设计.................................................„„ 6.5.1信道估计算法..................................................................................................„„ 6. 5.2导频分布的设计..............................................................................................„„ 6.5.3导频取值的设计..............................................................................................„„ 6.6仿真结果及讨论.........................................................................................................„„ 6.6.1线性模型与Jakes模型的匹配性..................................................................„„ 6.6.2导频分布对估计算法的影响..........................................................................„„
6.6. 3导频取值对估计算法的影响..........................................................................„„ 6. 6. 4 MIMO系统中两种所提估计算法的性能比较...............................................„„ 6.7本章小结.....................................................................................................................„„
第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应最优导频序列的设计.....„„ 7.1引言.............................................................................................................................„„ 7.2基扩展信道模型.........................................................................................................„„ 7.3基于基扩展模型下的OFDM系统模型....................................................................„„
7.4快时变信道估计算法及相应的最优导频序列设计.................................................„„ 7’4’1‘决时变信道估计算法·····················................................................................„„ 7.4.2最优导频序列的设计......................................................................................„„ 7.5仿真结果及讨论.........................................................................................................„„ 7.6本章小结.....................................................................................................................„„ 第八章结论...............................................................................................................................„„ 8.1已取得的研究成果.....................................................................................................„„ 8.2今后的研究工作.........................................................................................................„„ 致
谢.........................................................................................................................................„„ 参考文献..............................................................................
.....................................................„„
作者攻读博士学位期间发表和录用的论文.................................................................................„„ 符号定义 符号定义
矩阵或矢量的共扼转置 矩阵或矢量的转置 矩阵或矢量的共扼 「二] L二」 E{-) tr(A) 一二一 }}·}} (A)一‘ (A)卞 IN ONXM diag Iv} 甲JA} x mod y Ref-I Z
不小于x的最小整数 不大于x的最大整数 数学期望 矩阵A的迹 标量x的绝对值 欧几里德范数 矩阵A的逆 矩阵A的伪逆 NxN维单位矩阵 NxM维的全零矩阵
以向量v为对角线元素的对角矩阵
取出矩阵A的对角元素使其成为一个列向量
表示取余运算，也即求解二一ny，其中。=[二/川 表示取实部 整数集合
东南大学博士学位论文 缩略词 ADSL
Asymmetric Digital Subscriber Lines 异步数据用户链路
AMPS
Advanced Mobile phone services 高级移动电话服务 BER
Bit Error Rate 误比特率 CDMA
Code Division Multiple Access 码分复用 CP CSI
Cyclic Prefix 循环前缀
Channel State Information 信道状态信息 DAB/DVB
Digital Audio Broadcasting/ Digital Video Broadcasting
Digital Advanced Mobile phone services 数字音频/视频广播 D-AMPS
数字高级移动电话服务 DFT
Discrete Fourier Transform 离散傅立叶变换 FIR
Finite Impulse Response 有限冲击响应 GSM
Global system for mobile communication全球移动通信系统 HIPERLAN/2 HIgh PERformance LAN type 2 ICI
Intercarrier Interference 载波间干扰 IDFT
Inverse Discrete Fourier Transform 离散傅立叶反变换
Intersymbol Interference Least Square 码间干扰 最小二乘 IslLs LMMSE
Linear Minimum Mean Square Error
线性最小均方误差 MIMO
Multiple Input Multiple Output 多输入多输出 ML
Maximum Likelihood 最大似然 MMSE
Minimum Mean Square Error 最小均方误差 MSE
Mean Square Error 均方误差 VTTT 缩略词 OFDM
Orthogonal Frequency Division Multiplexing正交频分复用 SAGE
Space-Alternating Generalized Expectation一广义交互空间期望最大化 Maximization SISO
Single Input Single Output 单输入单输出 SNR
Signal-to-Noise Ratio 信噪比 TDMA
Time Division Multiple Access 时分复用 WER
Word Error Rate 误码率 WLAN
Wireless Local Access Network 无线局域网 WSSUS
Wide-Sense Stationary Uncorrelated Scattering
广义平稳不相干散射 第一章绪论 第一章绪论 1.1引言
移动通信是现代通信系统中不可缺少的组成部分，它不但集中了无线通信和有线通信的最新技
术成就，而且集中了网络接收和计算机技术的许多成果。进入21世纪以后，移动通信技术更是呈现
出前所未有的发展态势。未来移动通信的目标就是能在任何时间任何地点，向任何人提供快速可靠
的通信服务。
按照移动通信系统所能提供的业务量可以将其分成若干发展阶段。以北美的AMPS['}和欧洲的
TACS为代表的第一代(IG)移动通信系统形成于20世纪80年代，它采用模拟制式为信号传输手
段，只支持话音业务。这一阶段的主要特点是蜂窝移动通信网成为实用系统，并在世界各地迅速发 展起来。第二代((2G)移动通信系统形成于20世纪90年代初期，它完成了从模拟系统到数字系统
的转变，其中包括GSM系统，D-AMPS系统，和IS-95 CDMA系统等。这一阶段的系统除了提供话
音业务外，还能提供电传和低速数据传输等多项数字通信业务。但随着人们对通信业务范围和业务
速率要求的不断提高，现有的第二代移动通信网将难以满足新的业务需求，因此人们正在发展第三
代((3G)移动通信系统。通过使用复杂的多址接入技术，如CDMA或扩展的TDMA，这一阶段的 系统有望达到超过10倍于第一代系统的系统容量。但由于3G系统的核心网还没有完全脱离2G系
统的核心网结构，所以普遍认为3G系统仅仅是一个从窄带向未来移动通信系统过渡的阶段。 目前，人们已经把目光越来越多地投向第四代移动通信((4G)系统的研究，目的是在概念和技
术上寻求创新和突破，改善现有通信质量，使无线通信系统的容量和速率有数十倍甚至数百倍的提 高阵[5]，达到高速数据传输的要求。对于高速数据业务来说，原有的单载波TDMA和窄带CDMA 系统都存在着很大的缺陷[[6]。例如对于TDMA系统来说，由于无线信道存在时延扩展，高速信息流
的符号宽度又相对较窄，因此符号之间会存在较严重的ISI，这就对TDMA系统中的均衡器提出了
非常高的要求，也即要求抽头数量要足够大，训练符号要足够多且训练时间要足够长，这样就导致
了均衡算法复杂度的急剧增加。而对于窄带CDMA来说，其主要问题则是在于扩频增益与高速数据
流之间的矛盾。在保证相同带宽的前提下，高速数据流所使用的扩频增益就不能太高，这样就极大
地限制了CDMA系统抵抗噪声的优点，从而使得系统的软容量受到一定的影响。若要保持原来的扩
频增益，则必须相应提高系统带宽。另外，CDMA系统一个非常重要的特点是采用闭环的功率控制，
这在电路交换系统中比较容易实现，但对于分组业务来说，对信道进行预测，然后再返回功率控制
命令将会导致较大的延迟，因此对于高速的无线分组业务来说，这种闭环的功率控制也存在缺陷。
鉴于这些原因，人们开始越来越多地关注具有强抗衰落能力、对窄带干扰和窄带噪声不敏感、
带宽扩展灵活和支持可变用户速率等一系列特点的正交频分复用(OFDM)技术[[7]一[[13]，希望通过这
种方法来解决高速信息流在无线信道中的传输问题，从而满足带宽要求更高的多种多媒体业务和更
快的网络浏览速度。
另一方面，MIMO技术是无线移动通信领域智能天线技术的重大突破，它采用多个天线同时发
送和接收信号，在没有任何频带效率损失的同时，利用空间中增加的传输信道获得有效的空间分集
增益[la],[1s]。可以从信息论的角度证明[16]-[zo]， MIMO技术可以成倍增加无线通信系统的容量，改善 系统的性能，因而非常适合4G移动通信系统中高速率业务的要求。所以在未来的移动通信系统中，
东南大学博士学位论文
将MIMO和OFDM这两项技术相结合就成为一种很自然的想法[21],[22]。目前，已有的实验系统的测
试结果表明，一个具有两个发射天线和两个接收天线的MIMO OFDM系统能提供凡十到一百兆的数
据传输速率，达到与单天线系统相比大得多的系统容量增益。
总之，宽带高速数据传输是4G系统的根本要求，以OFDM为代表的多载波技术和MIMO技术
则是满足该要求的必要条件，因此本论文的研究工作以4G的关键技术—OFDM为中心，主要研
究了SISO/MIMO OFDM系统中的信道估计，以及相应的最优训练或导频序列的设计问题。 1. 2 OFDM技术的历史与发展
OFDM技术的提出已经有40多年的历史。早在60年代中期，R. W Chang就提出了一种可以完
全消除ICI和ISI的正交信号多载波传输方案[[81，其基本思想是利用并行数据和相互交迭的频分复用
子信道进行传输以提高频谱利用率，抵抗脉冲噪声、多径衰落，和避免在接收端使用高速均衡器。
这种方案可以看成是OFDM的雏形，最早被应用于军用的无线高频通信链路中。
早期的正交频分复用系统使用正弦波发生器组和相干解调器组实现调制和解调，因此当子信道
数目很大时，系统复杂性非常高，造价昂贵难以接受。直到1971年，S. B. Weinstein等人将IDFT
和DFT应用到OFDM系统的调制和解调中[12]，用一个模拟前端来代替传统多载波系统中各子载波
分别需要的多个模拟前端，大大减小了系统复杂度，才使得全数字化的OFDM实现成为可能。伴随
着VLSI技术的发展，OFDM技术于80年代初期迎来了它的第一个发展高峰[23],[24] 90年代以来，OFDM技术因其强抗频率选择性衰落的能力而被广泛应用于多种高速数据接入系
统中，如无线局域网(WLAN, Wireless Local Area Network)、高速数字用户线路(High Speed Digital
Subscriber Line, HDSL )、非对称数字用户线路(ADSL, Asymmetric Digital Subscriber Line)、数
字音频广播[21] (DAB, Digital Audio Broadcasting)、数字视频广播[26](DVB, Digital Video Broadcasting) 和高清晰数字电视(HDTV, High-definition Television)等。各种标准，如IEEE802.11a, MMAC和
HIPERLAN/2也把OFDM作为物理层的传输手段[27].[28]。由于OFDM技术可以较好的解决高速无线
移动通信中的多径干扰和宽带传输等问题，因此它已经成为4G通信系统的候选方案[[21] 1. 3 OFDM的基本原理及特点
以弋表示第k个子载波上传输的已经经过调制后的信号(如PSK或QAM)，则对于含有K个 子载波且符号持续时间为T的OFDM系统，从时间t = tr开始的OFDM符号可以表示为 (ll)
s(t)一K-1y xk exp: j 2z k (tk=0一、，)，、一、·T
每个子载波上的传输信号在一个OFDM符号持续时间T内恰好都经历了整数倍的周期，而且各相邻
子载波间都只相差一个周期，因此这就解释了为什么子载波间可以相互正交的事实。接收端利用这
种正交性，就可以通过数学的方法而不是带通滤波器滤波的方法来分离各个子载波。以解调第m个
子载波为例，接收端只需对接收信号在时间长度T内进行如下积分即可 第一章绪论 子￡ J月U
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这种子载波之间的正交性不仅能够使得子载波间完全分离，而且还允许各子载波上的传输信号在频
谱上相互交叠，从而极大地提高了系统的频谱效率。图1.1给出了发送信号为矩形脉冲时OFDM系
统子载波频谱分布示意图。 恻瞥 频率
图1.1 OFDM系统的子载波频谱分布
从图中可以看出，在每个子载波上信号频率的最大值处，其他子载波上信号在这一点的值恰好
为零，这就从频域角度解释了为什么可以从多个相互重叠的信号中间提取出每一个子载波信号。在
实际的通信系统中，式(1.1)和式(1.2)分别是由IDFT和DFT来实现的。由于存在FFT这样计算
DFT的高效算法，因此OFDM技术得到了迅速的发展。
上面介绍了OFDM技术中最为核心的原理，其实作为一种多载波并行传输技术，OFDM除了具
备多载波系统共同的特点之外，还具有以下优点: (1) OFDM系统通过对高速数据流进行串并转换，增大了每个子载波卜数据符号的持续时间， 因此可以有效地抵抗由无线信道的时间弥散所带来的ISI，从而减小接收机内均衡器的复杂
度，进一步，通过在每个数据符号前端插入循环前缀，该系统可以完全消除ISI，从而信道
均衡可以由单抽头均衡器完成，与具有多抽头的单载波信道均衡器相比，其复杂度大大降
东南大学博士学位论文 低[29] (2) OFDM系统各子载波间完全正交，因此，虽然子载波的频谱相互重叠，但接收端仍可以将 各个子载波完全分离，这与传统的利用若干个不相交的子频带并行传输数据，各子信道间
要保留足够的保护频带的多载波系统相比，OFDM系统具有更高的频谱利用率，可以最大 限度地利用频谱资源[30],[31] (3) OFDM系统中各个子信道的正交调制和解调都可以通过IDFT和DFT来实现，由于存在FFT 算法，因此OFDM技术具有很强的可实现性; (4)无线数据业务一般都存在非对称性，即下行链路中传输的数据量要远远大于上行链路中的 数据传输量，这就要求物理层支持非对称高速率数据传输，而OFDM系统可以很容易地通 过使用不同数量的子信道来实现上行和下行链路中不同的传输速率; (5) OFDM系统具有很强的抗窄带干扰能力，因为此类干扰只会对部分而不是全部子载波产生 影响。
上述特点使OFDM技术成为宽带无线传输领域的研究热点，关于OFDM系统的研究包括信道
估计和导频序列的设计、时频同步[32],[33]、降低峰均比[34],[35]、自适应编码调制[36],[37}以及与MIMO相
结合的MIMO-OFDM技术等许多方面。 1.4论文的主要工作和内容安排
如前所述，OFDM系统中的关键技术包括许多方面，本论文主要是针对其中的信道估计及导频
序列设计的问题进行了较为深入的研究。众所周知，对于宽带移动通信系统来说，由无线信道的时
延扩展和多谱勒扩展所引发的频率选择性和时间选择性衰落恶化了通信系统的性能，因此为了对抗
这种未知的且具有双选择性衰落的无线环境，信道估计的研究就显得十分关键。与相干解调相比，
不进行信道估计和跟踪的差分解调系统在信噪比上有MB以上的性能损失[38],[39]。由于大部分干扰消
除算法和解码算法都需要用到全部或部分的信道信息，因此精确的信道估计可以极大提高相干解调
OFDM系统的性能。
一般来说，OFDM系统中的信道估计方法可以分成两大类:一类为盲估计(Blind Estimation);
另一类为非盲或基于训练序列(Training)的估计。盲估计方法可以在对发送数据完全未知的情况下，
只依赖于接收信号来完成信道估计[40],[42]。这种方法的实现利用了传输数据自身的特点，例如利用统
计信息和(或)发送信号的特性(像有限字符集、常模等等)[43],[44]。由于盲估计方法不需要发送特
殊的训练序列，因此与基于训练的信道估计算法相比提高了系统的频谱利用率。但由于这种方法通
常要利用大量的累积数据来获取各类统计量，因而计算复杂度相当高且灵活性差。在信道时变的实
际无线移动通信系统中，盲估计方法的应用受到了限制。鉴于以上原因，本论文主要讨论基于训练
的信道估计方法。
基于训练的信道估计方法是指在发送端发送训练符号，接收机根据该训练符号和相应的接收信
号来进行信道估计[[45]-[47]。这种估计方法的好处在于一方面它可以适用于信道时变的情况，而且另一
方面它也可以广泛地应用于凡乎所有的无线通信系统。一种典型的基于训练的估计方法就是利用发
送的块状导频序列，也即将一个OFDM符号中的所有子载波都用于放置导频，并且在时域中周期性
第一章绪论
地插入这种特定的OFDM符号，如图
数据。
所示，其中黑色圆点表示发送的导频，白色圆点表示信息 图1.2块状导频序列分布
基于块状导频序列的一种最基本的OFDM信道沽计算法就是信道频域响应的LS估计算法[48]
但由于该算法受高斯白噪声和子载波间干扰的影响较大，因此用它来进行估计的准确性受到了限制。
为了提高估计的性能，可以利用信道的统计信息，也即信道在时域和频域上的相关性来对LS估计的
结果进行滤波。但在实际中，这种二维滤波器的计算复杂度太高以至于难以实现四。因此为了降低
计算复杂度，文献[50]提出了将信道时域和频域统计信息分开使用的思想，也即分别采用一个在时
域和一个在频域的两个分离的FIR滤波器。文献[51]对其中的频域估计器进行了研究，基于最优
降秩理论[[sz}提出了一种利用奇异值分解的低秩估计算法，也即LMMSE估计算法。显然，在上述
LMMSE估计器后面再增加一个时域滤波器无疑还能提高估计的性能[[s3} o Y Li等人对利用信道时频
域统计信息的MMSE估计器进行了进一步研究，针对信道统计特性通常是未知的情况，提出了一种
对信道统计信息不敏感的、具有鲁棒性的MMSE估计器「38]。可以证明[48]，要获得相同的MSE, MMSE
估计算法比LS算法在SNR性能上有1 p-15dB的提高。除了上述采用信道统计特性来提高估计性能
的方法外，还可以利用信道本身的特性来改善估计性能。由于在大多数通信系统中，信道都可以等
效为一个有限抽头的FIR滤波器，因此可以采用所谓的基于DFT的信道估计算法，也即将获得的信
道频域响应LS估计首先进行 IDFT变换到时域，然后对其在时域内进行某种线性变换，最后再经
DFT变换到频域[[54],[55]。对于MIMO OFDM系统，基于块状导频序列的估计算法可参见文献
[56]一[[61]。在采用块状导频序列的系统中，信道估计在发送信息数据之前的时刻就己经完成。因此当
信道变化明显时，需要重新发送训练序列。在快时变环境下，由于上述系统必须不断地发送训练序
列来重新估计信道，因此在两次估计之间，使用“旧的”信道信息将增大系统的误比特率(BER) o
在快时变环境下，为了跟踪上信道的变化并获得可靠的信道估计，训练数据需要以某种连续的
方式插入到发送序列中。对于OFDM系统来说，另一种基于训练的估计方法就是利用梳状导频序列，
也即每个OFDM符号中都有一些子载波被用来放置导频，如图1.3所示。该方法可以看成是对
单载
波系统中导频符号辅助调制(Pilot-Symbol Assisted Modulation, PSAM)方法到OFDM系统的推广，
国际上己有许多文献对基于梳状导频序列的信道估计算法进行了研究[6z}-[}s}，本论文中所提出的大部
分估计算法也都是基于这种导频方式。在下一章中，论文将对其中一些典型的信道估计算法进行详 细描述。
东南大学博士学位论文 口口00目0① 0口洲00000 00①O①0。0 00000①O① 00口00000 母.0..„
口一0①O①00 0000。000 00000①00 Q曰000000 0000000①
参匆0幼匆幼翻. 00洲︺0① 00000000 O口0000①0 O口口0000① O妙OOQ曰00 ..„„ 00000000 O①000①00 000000异0 00000。00 0000①000
勿0白白翻e必. 时域 频域
图1:3梳状导频序列分布
与信道估计性能密切相关的是导频序列的设计，好的导频分布和取值将极大地提高估计算法的
性能[}s}}-}69}。在文献「67]中，Negi等人首次对SISO OFDM系统中如何选择导频进行了研究，证明
了在信道拟平稳假设下，均匀分布的导频序列是最优的选择。Barhumi等人在此基础上对MIMO OFDM系统中最优导频序列的设计问题进行了研究fssl，指出在MIMO系统中，不仅要考虑导频的分
布，而且还要考虑导频的取值。经过推导后可以证明，在采用信道时域响应LS估计算法的
MIMO
OFDM系统中，最优导频序列应该是相位正交且均匀分布的序列。由于导频序列的设计是伴随着信
道估计算法不可缺少的部分，因此基于某种准则寻找最优的导频序列也是本论文着重研究的内容之
综上所述，本论文主要针对OFDM系统中基于导频序列的信道估计方法及相应的最优导频序列
的设计问题进行了研究，有以下几个方面的工作;
在信道准静态或慢变的情况下，均匀分布的导频序列被证明是最优的。但为了避免发送端 的低通滤波器对发送信号产生影响，实际的OFDM系统通常会使用虚拟子载波，这样，在 某些情况下，导频均匀分布的条件不能得到满足。论文就针对这种非均匀分布时最优导频 序列该如何取值的问题进行了深入研究，提出了相应的解决方案，并给出了三种求解最优 导频序列的算法。
2.由于无线信道的时变性会使OFDM系统各子载波间的正交性遭到破坏，从而引起ICI的产 生，恶化系统的性能，因此为了消除ICI的影响，设计性能好的均衡器，必须获得准确的信
道信息。论文针对不同的时变环境，分别提出了三种时变信道估计算法，包括:利用低通 插值的时变信道估计算法、基于分段线性信道模型的MIMO OFDM系统信道估计算法和基 于基扩展模型的信道估计算法，并针对这些算法推导了其相应最优或次优的导频序列。 3，针对宽带无线通信系统中的稀疏信道，提出了一种基于参数化模型的最大似然信道估计算 法，并利用SAGE算法来降低这种多参数最大似然估计问题的复杂性。
4.针对MIMO系统中所给导频可能不足的情况，提出了一种改进的MIMO OFDM系统信道估 计算法。 第一章绪论
本论文的安排如下:
第二章给出OFDM系统的等效基带框图和数学模型，并在此基础上，详细介绍了一些常用的经
典信道估计算法。MIMO OFDM系统的框图和数学模型也在本章中给出。经过推导可以发现，在发
送特殊的导频序列模式下，MIMO系统可以等效为若干独立的SISO系统，由此可将SISO系统中的
信道估计算法直接推广到MIMO系统。对于不能直接推广的情况，论文提出一种改进的时域信道估
计算法，也即结合前后若干训练序列一起进行估计，并给出若干估计值之间的结合方式。 第三章考虑包含虚拟子载波的OFDM系统。在某些情况下，虚拟子载波的存在会导致导频序列
分布的不均匀，因此如何设计基于非均匀导频分布的最优导频序列就显得十分必要。本章依据使
MIMO OFDM系统中信道时域最小二乘估计的均方误差达到最小的准则，推导了非均匀分布下的最
优导频序列。可以证明，此时的最优导频序列必须通过求解一个约束不等式组来获得。文中给出三
种算法来求解这个约束不等式组。
第四章针对宽带通信系统中的稀疏信道，提出了一种基于参数化信道模型的最大似然
(ML) OFDM信道估计算法。该方法利用SAGE算法将高复杂度的多参数ML估计问题分解成一系
列低复杂度的ML估计问题，然后通过迭代得到信道路径时延和相应增益系数的最大似然估计。对
于每一次迭代，路径时延的估计通过一种基于牛顿法的快速ML算法得到，而该路径增益系数的最
大似然解则在估计出的时延基础上通过简单的平均得到。与基于非参数化信道模型的估计算法相比，
基于参数化信道模型的算法能有效提高稀疏信道的估计性能。
第五章针对时变环境，提出了一种利用低通插值的信道估计算法。该算法的主要思想是先利用
导频估计出一个OFDM符号间隔内某些给定时刻上的信道时域响应，然后通过对已估计出的信道时
域响应进行低通插值来得到其他时刻上的信道响应。根据所提估计算法，本章还推导了相应的导频
序列。可以证明，此时分组分布的导频序列为较优的选择。
第六章针对相对多谱勒频偏小于0.1的时变环境，提出了两种基于信道分段线性模型的MIMO
OFDM系统时变信道估计算法。两种算法均是要估计出信道线性变化的斜率和中间时刻的信道时域 响应，进而根据线性模型来或得一个OFDM符号间隔内所有时刻上的信道时域响应。两种算法的不
同之处在于斜率的估计，前者是利用前后符号间隔内已估计出的中间时刻上的信道响应，而后者则
是通过导频序列直接估计。另外，针对上述两种不同的估计算法，本章还分别研究了相应的导频序
列设计问题。
第七章对快时变信道进行基扩展建模，并由此给出相应的OFDM系统等效基带模型，然后在此
基础上提出了一种适合于系统相对多谱勒频率较大情况下的快时变OFDM信道估计算法。依据使估
计均方误差最小的准则，本章还推导了相应的最优导频序列，包括最优的导频取值和最优的导频分
布。可以证明，最优的导频序列是由一些相邻的等间隔、等能量的子序列构成，每个子序列的导频
之间满足一定的相位关系。仿真结果表明了该算法在快时变环境下的有效性。 第八章总结了本论文的工作，并给出了下一步工作的建议。 东南大学博士学位论文
第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 2.1引言
在绪论中已经提到，信道估计是OFDM系统中的关键技术之一，因此本章将针对OFDM系统
中基于导频序列的信道估计算法进行总结和改进。在OFDM系统中，由于整个系统频带被划分为若
干个带宽相同的独立子信道，每个子信道上传输各自的调制信号，因此信道估计的目的就是通过导
频序列来获得每个子信道上的信道状态信息(CSI)。一种获得CSI的通常做法就是直接估计信道的
频域响应，对于块状导频序列来说，最简单的就是采用LS估计算法。当已知信道二阶统计信息时，
还可以采用MMSE[38}或LMMSE[s'}算法来对LS估计的结果进行滤波，以获得更精确的估计。对于
梳状导频序列来说，LS, MMSE和LMMSE等算法同样适用，但这样只能估计出导频所在子频带的
信道频域响应，因此还必须增加一个信道频域插值的步骤，以获得所有的信道频响。插值方式可以
根据不同需要采用线性插值、二阶插值、样条插值、变换域插值或低通插值等[63]
对于移动无线环境来说，上述从频域角度进行信道估计的方法并不是唯一的方法。在给定的一
个无线环境，例如宏区无线通信系统中，信道时域响应的长度仅为有限的采样，这就是为什么通过
设计具有相同长度的循环前缀可以避免在OFDM系统中使用时域均衡器的原因。事实上，大多数针
对OFDM系统所提的估计算法都是基于上述情况[[9][51]。因此，还可以从时域的角度进行信道估计，
也即估计信道的时域响应。由于信道时域响应的参数个数要少于信道频域响应的参数个数，因此对
于给定数目的训练符号来说，减少所要估计的参数个数势必会提高估计的精度[67] 从信息论的角度，人们已经证明了MIMO技术可以成倍增加无线通信系统的容量，改善系统的 性能，因此非常适合4G移动通信系统中高速率业务的要求。将MIMO与OFDM技术相结合成为了
下一代移动通信系统研究的热点。目前，MIMO技术大致可分成三种类型[21].[7o]:一种是使空间分集
达到最大化以提高系统链路性能的技术，如时延分集、空时分组码(Space-Time Block Codes STBC)
[71],[72]和空时格码(Space-Time Trellis Codes STTC) ['3]等;第二种是空间复用技术，也即不同天线
上发送不同的数据信息，通过分层的方式来获得最大的传输速率，其中典型的技术为Bell实验室提
出的V-BLAST['4];最后一种是预编码技术，也即通过在发送端利用信道的先验信息来获得容量增益 [7s]。本论文主要针对的是第二种MIMO技术，也即空间复用技术与OFDM相结合的MIMO OFDM 系统中的信道估计。
本章首先综述了SISO/MIMO OFDM系统中一些经典的信道估计算法，然后在此基础上做了进
一步的分析，并由此得到如下结论，也即当采用特定的导频序列时，可以将MIMO系统等效成若干
独立的SISO系统。因此在这种情况下，SISO系统中的频域、时域信道估计算法均可直接推广到
MIMO系统。最后，本章针对一些情况下(例如当发送天线数增加到一定数目，或者当等效的信道
时域抽头数较大时)，将信道时域响应的LS估计算法直接推广到MIMO系统后会面临一个欠定方程
求解的问题，提出了一种改进的时域信道估计算法。该算法的思想是利用连续发送的若干个训练序
列进行联合估计。依据使估计MSE最小的准则，算法给出了此时训练序列的发送方式。另外，当发
送的训练序列较为充足时，由所提算法可以得到信道响应的若干个估计值，因此本章还给出了对这
些估计值进行组合的方式。
第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 本章的内容安排如下: 2.6 2.7
详细描述了OFDM系统的基带框图，并给出其数学模型。
在上一节数学模型的基础上，推导了频域和时域信道估计算法。
给出了MIMO OFDM系统框图、相应的数学模型和在此基础上的一种最直观的信道估计 算法。分析了在何种情况下，MIMO系统可以等效为若干独立的SISO系统，从而将SISO 系统中的估计算法自接推广到M工MO系统。
针对一些情况下，将信道时域响应LS估计算法直接推广到MIMO系统会产生欠定方程 求解的问题，提出了.种改进的MIMO OFDM系统时域信道估计算法。 仿真给出所提信道估计算法的性能曲线介 为本章的结论。 2丹、41、︶ 2，山22
2. 2 OFDM系统等效基带模型
基于导频序列的OFDM系统等效基带模型如图2.1所示。 X(k) x(n) h(n,乃
)飞灭) Y(哟 图2..1 OFDM系统等效基带模型 首先，将二进制信息数据经过数字调制叻口QPSK, 16QAM, 64QAM等)后进行串并转换。 接着，利用IDFT模块把己插入导频的长为K的调制信号{X (k)}转换成时域信号{x(n)}，也即
x}n)=mFT}X(k}}
一艺X }k}e}2}cnklKa。‘n‘K一1 (2.1)
其中K为DFT的长度。在通信系统中，为了避免符号间干扰，通常会在发送符号送入信道之前插入
一段长为凡的保护间隔。特别是对于OFDM系统来说，插入循环前缀方式的保护间隔还可以进
一
步避免ICI，以保持子载波间的正交性U6}。因保护间隔太短而引起的ISI和ICI的分析可参见文献
[77]。在本论文中，假定保护间隔的长度不小于信道的时延扩展。 东南大学博士学位论文
在插入循环前缀后，OFDM符号可写为 2)匀 e但
xJn-{ x(K+x$ (n) _ }x(n.)”， n=-Kg n=0, I; .
-Kg + 1,..一1 .,K一1
发送信号xs (n)}z}f串转换后送入衰落信道，在接收端、信号可表示为I7sl 五-I y$, (})一艺h(n; l)xg (n一l)+w(n}，一K}‘。<_K一1 t-o
其中、(n)为零均值的加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise, AWGN}; h(n;l)为时变信道
h(t;zj在第n个时刻第/个抽头上的采样值;L为等效的最大信道抽头数。可以看出，此时信道被等
效为一个具有时变抽头系数的FIR滤波器。Medard在他的博士论文中，对如何确定时变信道h认灼
的采样速率，以及如何通过选取合适的工来达到所要求的拟合程度都做了详细的研究f}91。本论文就
假定所需的采样速率和L等全部满足要求，只针对等效后的离散时间模型进行研究。 在串并转换并去除保护间隔后，接收信号为 J'(n)=J'g,(?})} n=a}h·二K一1 (2.4)
然后通过DFT模块可以把接收信号从时域变到频域，也即 }O}=DFT fy(n}} =告又Y}n}}'zn}}x 入n=0
=G(k, k双k+艺G(k，m)X (m) +W (k (2.s)
其中n,k=O,I,...,K一1;W(k)为、(n)的DFT变换，其方差为嵘。上式等号右边的第立项代表了
由信道时变性引起的工CI，不难得出其中G (k, m)的表达式为 G(k,m)
}l}Yl,l}ej2}cn(m-k)lKe-j2}cm1/K (2.6) Ll艺I=0 月艺间 1-K
在随后的信道估计模块中，接收到的导频信号被提取出来用于信道估计，最后通过估计出的信道信
息进行解调得到所需的二进制信息数据。
2. 3 OFDM系统中基于导频序列的经典信道估计
由式仅.5)可知，信道的时变性破坏了子载波间的正交性，从而导致了IcI的产生。但当信道
的这种时变性不强时，工CI的影响可以忽略不计。因为当信道变化较慢时，可以假定信道拟平稳(也
即信道在一个OFDM符号间隔内保持不变，而只在不同的符号之间变化)，所以一个符号间隔内的
信道冲击响应}(}>}就可以用一个时不变的值h(l)来代替。这样，根据式((2.6)可以得到 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 G(k, m)二0，因此对于信道慢时变的环境，可以忽略ICI对系统的影响，也即式((2.5)可重写为
Y(k)=H(k)X(k)+W (k) (2.7) 其中
H (k)=G(k, k)= 牛丫h(l)e K 7 --o j2)ckl/K (2.8)
在论文中，若不做特殊说明，则均假定信道拟平稳，并且使用上述的接收信号模型。对于快时变的
环境，也即当信道在一个符号间隔内的变化不能忽略不计时，相应的信道估计算法将在论文的第五、
六、七章中给出。
2.3.1信道频域响应估计算法
从式(2.7)可以知道，要最终检测出发送信号X (k)，系统需要知道H (k)的值。信道估计的目
的也就是通过发送的训练序列来得到H (k)的估计。由H (k)的定义可以看出它其实是信道在频域上
的响应，因此直观的做法就是利用导频直接估计出H (k)。当使用块状导频序列时，可采用LS,
LMMSE和MMSE等信道估计算法，并且利用判决反馈均衡器来对信道信息进行更新[川。上述估计
算法也适用于使用梳状导频序列的系统，不同的是它只估计出导频所在子信道的频响，而其余的信
道频响则需要通过插值获得。由于在MIMO系统中，为了避免不同天线间相同子载波上的相互干扰，
各天线一般采用正交的导频序列，这样从每个天线的角度来看，导频序列均为梳状，因此本节主要
针对基于梳状导频序列的OFDM信道估计算法进行总结。
假定每个OFDM符号中有M个导频，且被均匀放置在频点ko,„，添，上，其中气= mD.f ,
m = 0,...,M一1,乓=KIM为相邻导频之间的子载波数，则发送信号X (k-)可表示为 「C__.
“(k，一tinf. data, k=m马
k=m乓+d,d= ,...,D.f一1 (2.9)
其中蛛表示发送的导频符号;inf. data为信息数据。根据式(2.7)，可以得到导频子载波上的接收信 号为
Y(气)=H(气)吼+W(气) (2.10)
由此，导频子载波上信道频域响应的LS估计为 H(气)=Y(气)/呱，m=0,...,M一1 (2.11)
由于LS估计对噪声较为敏感，而后继的频域插值又要依赖于估计出的导频子载波上的信道频
响，因此要求在这些导频子载波上的信道估计要比较准确。这时可以利用信道的统计信息来提高估
计的性能，例如利用信道频域相关性的LMMSE估计算法。可以证明，要获得同样的估计均方误差，
后者比LS算法在SNR上有10-15dB的性能提高[48]。在采用梳状导频序列时，LMMSE估计的表达
式为[6z],[8o]
东南大学博士学位论文 HT,MMST=
Rjjf, (Rjjf,·07,2 (}H)一‘)一‘“一 (2.12)
其中nLS斤(瓦)，„，斤(硫-T)] T为由式(2.11)估计出的导频子载波上的信道频响组成的Mxl维向
量;又=[C0,...,喘_，了为发送的导频组成的Mxl维向量;RfIft =E}nnH}为导频子载波上信道频域
响应的M xM维相关矩阵。不难看出，信道的LMMSE估计实际上就是对LS估计的一种滤波，由
此来达到抑制白噪声和ICI影响的目的。由于式(2.12)的计算复杂度较高，文献「62]又给出了一
种低秩估计器，其思想与第一章中提到的基于块状导频序列下的低秩估计算法[[5T}类似，都是利用到
了信道频域相关矩阵的奇异值分解。
在获得导频子载波上的信道响应估计之后，接下来就可以对它们进行频域插值来获得信息数据
所在子载波上的信道频响。常用的插值方式有以下几种:
·线性插值利用相邻导频点上的信道频响进行线性组合，以获得这两个导频点间各数据子载波上的
信道响应。对于子载波k, m场<_k<_(m+1)Df，利用线性插值方法获得该子载波上信道响应估计
的表达式为
H(k卜H (m斗+d)
一(FI(km十T，一H (km ))母·H (km) (2.13)
其中m = 0,...,M一2, d=0,...,马一to但对于处在第M一1个导频之外的数据子载波上的信道响应，
也即((M一l)场 一(FI (kMT，一H(kMz)}母·FI (kMT， (2.14) 文献「81]对线性插值估计算法进行了详细的研究，给出了导频间隔与估计算法性能之间的关系，并 证明了这种估计算法的性能依赖于信道的频率选择性程度。 ·二阶高斯插值文献「62]指出，二阶多项式插值的性能要优于线性插值，因此可以将信道频响建 模成多项式的形式。二阶插值的表达式为[8z] H (k)=H(mD f+d) =c-, H(气-,)+co H(k},)+c, H (k+,) (2.15) 其中c1 -a(a+1)/2, co=一(。一1)(a+ 1)，c一，=。(。一1)/2,。=可马。一般来讲，插值的阶次越 高，对已知点的拟和程度就越好，但随着阶次的增加复杂度也随之增大。 。三次样条插值用一个三阶多项式来逼近每个子载波上的信道频响。利用连续两个导频子载波上的 信道响应和它们的二阶导数来获得多项式的系数，其估计式如下[83] H (k)=月刀(硫)+BH(硫+1)+(.2(硫)+DZ(硫+1) (2.16) 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 其中A, B, C, D是由刃斗所确定的常量;Z(k) -H,} (k)是子载波k上信道频A向的二阶导数。关 于这些系数的获得可参见文献[84] o ·低通插值通过对导频子载波上信道响应序列补零后进行低通插值，可以得到所有子载波上的信道 频响。这样插值得到的信道频响在导频子载波上与原始的估计值相同，而在数据子载波上则与理想 信道频响之间有着最小的均方误差。 ·变换域插值这是一种基于补零和DFT/IDFT的高分解度插值方法[[&5]。在得到导频子载波上的信道 频响估计户(气)后，首先利用DFT将其转换到变换域 M-1 QM }})一艺方(气}e-}Wcmgf.Mm a一0,I，二二M一1 m=0 (2.17) 然后根据下式将其通过补零由M点扩展到K点 练匆) 0, 9s}}一K+M), 0<_q<只 Pc‘q 其中P。为截断频率，通常选择P。使得通带内的信号能量占总能量的90%以上。最后，通过对练(的 进行IDFT变换，可以得到信道的频响估计为 K-1 H(k}=a.叉`LK }}}e}}}qkK‘k<_K一1 (2.19) 由于在频域和变换域之间进行了M点FFT和K点IFFT变换，因此需要一个常量a做为校准尺度。 文献[63], [83]对上述这些插值算法进行了比较。从比较的结果可以看出，按照线性插值、二阶高 斯插值、变换域插值、三阶样条插值和低通插值的顺序，系统的性能依次提高。 另外，第一章中还提到了一种块状导频序列下基于DFT的信道估计算法，事实上，对于梳状导 频序列，这种算法也是适用的}ss} 2. 3. 2信道时域响应估计算法 在绝大多数情况下，信道的时延扩展是有限的，其长度不超过系统保护间隔的长度，因此可以 将信道等效成一个具有有限抽头的FIR滤波器。这就意味着除了可以直接估计信道的频域响应之外， 还可以对信道的时域响应进行估计。当获得时域响应之后，可以根据需要再将其变换到频域，这种 算法的思想与上节提到的基于DFT的信道估计算法是类似的。由于时域上信道待估参数的个数要小 于频域上信道待估参数的个数，因此当给定导频的个数时，时域信道估计算法一般具有更好的性能 [s}] 式((2.8)给出了信道频域响应与时域响应之间的关系式，将其写为矩阵形式有 东南大学博士学位论文 H=FT五 (2.20) 其中H = [H(0), H (1), . . ., H (K -1)]T为Kxl维信道频域响应向量;FL为由KxK维标准傅里叶变换 阵F(也即F(l,k) -1/认瓜-jc2zlK>zk， 0 } /, k } K -1)的前L列组成的KxL维子矩阵; h = [h(0),...,h(L -1)]T为Lxl维信道时域冲击响应向量。有了上式，接收信号也可以表示成有关h 的函数形式，也即式((2.10)可以写为如下矩阵形式 Y=diag}X)H+W =XDFLh+W =Ah+W (2.21) 其中'=[1'(ko),1'(ki),...,Y(k,,_i)]T， H= [H(ko),H(ki),...,H(k,,_i)]T，和 W =[W(ko),W(kl),...,W(k,,_1)]T均为Mxl维向量;XD =diag}X}为由导频序列所组成的M xM维 对角矩阵;虱是由FL中相应于导频位置所在的行组成的MxL维子矩阵;A=又n虱。 由此可得到h的LS估计为 6=凡tY (2.22) 在W为高斯白噪声的情况下，式((2.22)其实也是h的ML估计f871 为了让式(2.21)有确定的解，也即h有确定的估计，应选择导频数M使其多于待估参数的个 数，也即对全LM >L。这样，矩阵A就为列满秩，其伪逆可表示为A卞=(入HAI‘入H。同样，若已知信 道的时域相关矩阵，则可以进一步采用时域最优滤波的方法来提高估计的性能。最后根据需要，可 将估计出的时域响应按照式((2.20)变换到频域。 另外，对于估计算法来说，导频的选取显得尤为重要，其分布和取值均会对估计算法的性能产 生较大影响，因此如何设计出最优的导频序列是十分必要的。可以证明旧}，对于上述时域估计算法， 导频应均匀分布于频域中，也即等间隔分布的导频序列是最优选择，它能使算法的估计均方误差达 到最小。 2.4 MIMO OFDM系统中基于导频序列的信道估计 上一节介绍了SISO OFDM系统中基于导频序列的一些经典信道估计算法，在这一节中，我们 将对MIMO OFDM系统中一些基本信道估计算法做一个简单的介绍。 前面已经提到，多天线技术可以极大地增加无线通信系统的容量，并能改善系统的性能，因此 非常适合4G移动通信系统中高速率业务的要求。MIMO技术包括发送分集技术、空间复用技术和 预编码技术三种。其中发送分集技术指的是在不同的天线上发送包含相同信息的信号，从而达到空 间分集的效果，目前研究最多的是空时分组码和空时格码技术。而空间复用技术则与发送分 集不同， 它在不同的天线上发送的是不同的信息，因此真正体现了MIMO系统容量提高的本质。贝尔实验室 的V-BLAST就是空间复用技术的典型应用。本论文主要针对的也是空间复用技术与OFDM相结合 的MIMO OFDM系统中的信道估计问题。 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 假定MIMO OFDM系统中发送和接收天线数分别为N,和NY，则系统的等效基带模型如图2.2 所示 Y1(0) 心一 YN(0) X'(K YN(K-1) 图2.2 MIMO OFDM系统等效基带模型 图2.2给出了MIMO OFDM系统的一个简单框图，实际上对于每一对收发天线来说，都包含如 图2.1所示的一套完整的调制解调过程。在这里，我们只给出了其中的一小部分，其余的可参看图 2.1。从图中可以看出，每根接收天线上的信号都是所有发送天线上信号的叠加，因此将式(2.7)推 广到MIMO系统有 Y9 (k)=艺H 90 P (k)X P (k)+W9(k), 0<_k<_K一I (2.23) 其中1 收天线q的信道在第k个子载波上的频域响应。可以看出，子载波k上的接收信号受到了来自子载 波k上所有发送信号的影响。考虑所有接收天线在子载波k上的接收信号，式(2.23)又可写成如下 矩阵一向量形式 Y(k)=H(k)X(k)+W(k) (2.24) 其中Y(k) = [Y' (k),...,YNr (k)犷和W (k) = [W' (k), ..., W N, (k)了分别为NYxl维接收和高斯白噪声向量; X (k)一[X' (k), ..., X伙k)] T为Nt x 1维发送向量;H(k)为NY x Nt维信道在子载波k上的频域响应矩阵， 其表达式为 ﹁||||||||||||||| 、.尸 、尸八Jk kk右︺ 勺ftN 凡N尸 1，2„N 尸川„砂 厂||||||||||||||| -- (k)(k) H(k) H'`z (k) Hz`z (k)„ (2.25) (k) HN,`z (k)„ 由于式(2.24)中未知的信道参数有NY x N,个，因此在不采用特殊导频序列的情况下，仅仅使用当前 东南大学博士学位论文 一个符号间隔内接收与发送信号来估计出所有的信道频响是远远不够的。因此为了估计出H(k)，一 种可行的做法就是将作为训练序列的OFDM符号个数增加到从，也即持续发送从个训练序列[[s7] 然后将接收端的N,个接收向量按照下式进行组合 Y(k)=H(k)X(k)+W (k) (2.26) 其中X(k) = [XI (k), Xz (k), ... , XNr (k)1为Nt x Nt维导频信号矩阵，下标表示发送的导频序列在时间上 的索引值，,(k) =[yl(k)>Y2(k)>...,YN,W]和W(k)=[Wl(k)IWz(k),...,W从(k)]分别为NY x Nt维接收 信号和白噪声矩阵。由此不难得到，此时子载波k上所有收发天线间信道频域响应的LS估计为 宜(k)=Y(k)X_' (k) (2.27) 只要X (k)非奇异，那么又一‘(k)就可事先算好，这样一来，通过对不同天线上的接收信号进行线性 叠加就可以估计出信道。但并不是所有能使X (k)非奇异的导频序列都是较好的选择，因为在OFDM 系统中，除了要考虑信道估计的性能以外，还要适当考虑使用这种导频序列时，系统其他的性能要 求能否得到满足，例如是否有低的峰均比，是否能容易的进行时频同步等等。所以为了避免选取的 导频对MIMO系统中的其他性能产生负面影响，可以首先选用针对SISO系统设计的较优训练序列， 然后再将其扩展到MIMO系统中[[s7]。另外，与2.3节中介绍的SISO系统中信道估计算法类似，可 以通过利用多径衰落信道在频域上的相关性来提高式((2.27)中LS估计的性能[[s6] 在上述估计算法中，由于发送训练序列的OFDM符号个数与发送天线数相同，因此当从增 大时 所需训练序列的个数也将增大。在发送天线数较大的情况下，这种方式将严重影响系统的效率。为 减少发送的训练序列个数，提高系统发送效率，需要对导频序列的选取进行设计。结合SISO系统中 采用梳状导频序列进行信道估计的思想，这里可采用分组发送的方式。举例来说，当Nt = 4时，可 以将发送天线分成两组，第一组发送天线只在奇数子载波上发送导频信号，而第二组则只在偶数子 载波上发送导频信号。对于第k-个子载波上的接收信号来说，由于只有一半数目的发送天线上发送 了信号，因此式(2.24)中H(k)的维数就变成NY xNt12维，这样，为了估计出H(k)所需要发送的导 频序列个数就由Alt随之减少到Nt12个。由式(2.27)以可得到H(k)的估计。但不难看出，通过式 (2.27)估计出的分别是来自第一组发送天线奇数子载波上的信道响应和来自第二组发送天线偶数子 载波上的信道响应，因此对于那些没有由导频序列直接估计出来的子载波上的信道频响(也即第一 组发送天线偶数子载波上的信道频响和第二组发送天线奇数子载波上的信道频响)，需要通过对已估 计出的频响进行插值后获得。插值方式与2.3小节中介绍的类似。 当分组的个数达到Nt时，意味着不同发送天线给导频所分配的子载波均不相同，也即对于任意 一个子载波来说都只有一个发送天线处于“活动”状态。因此在这种分组发送的模式下，式(2.23)给 出的接收信号表达式可重写为 Y“(k)=H9p(k)Xp(k)+W9 (k), 0<_k<_K一1 (2.28) 上式表明对于某一接收天线q来说，任意一个子载波上的接收信号都只与一个发送天线有关，而与 其他发送天线无关。进一步比较式件28)与式(2.7)后可以发现，两者在形式上完全一样，这就意 味着在采用这种导频位置完全正交的导频序列方式下，MIMO系统可以等效成若干独立的SISO系 统。从发送天线的角度看，每一个发送的导频序列都是梳状的，因此2.3小节中所给出的SISO系统 中的信道估计算法均可以扩展到MIMO系统[fss}.f611.f6s1，这里不再赘述。 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 当然，为了提高系统的发送效率，可以不采用上述位置正交的导频序列，这样对于MIMO系统 来说，必然会有天线间干扰的存在。为了抵消这种干扰，提高估计算法的性能，需要对发送的导频 序列进行设计[[59].[68]，好的导频序列能使系统的性能得到较大改善。一般来说，由于此 时不同发送天 线在相同的子载波上都发送导频信号，因此干扰抵消主要依靠的是导频的取值，例如文献「68」中的 相位正交导频序列。关于MIMO OFDM系统中这种导频位置非正交时最优导频序列的设计，论文后 面的章节里将有进一步的探讨。 2.5一种改进的MIMO OFDM系统信道时域响应估计算法 上一节已经提到，当采用完全正交的导频序列时，2.3节中提到的slso系统信道估计算法均可 扩展到MIMO系统。对于信道频域响应估计算法来说，这种扩展是可以直接进行的，但对于信道时 域响应估计算法来说，在某些情况下，直接扩展将会导致一个欠定方程的求解问题，从而产生不可 靠的估计。因此需要在估计中避免欠定方程的产生。本节针对这个问题，提出了一种改进的时域信 道估计算法。 首先对时域信道估计算法扩展到MIMO系统做一个简单描述。根据式(2.20)中给出的信道时 频域响应间的关系，可将式((2.28)进一步表示成同式((2.21)类似的矩阵形式，也即 Y9=X戎巩Ph90PFT,+W9 (2.29) =APh9'P+W 其中又Pn = diag}XP I = diag f[Co ,鲜，„，弓_T ]T}为发送天线p上由导频序列组成的M xM维对角矩 为导频个数，这里，每根天线上所用的导频数均相同;CP -XP(m_碟)为天线p频点碟上的 频信号;AP =X戎酬 亏“=[Y9(叮)，Y9(ktP)，. .， Y9(嵘_t AT和 =[W9(ko ), l'I'9(ktP),...,W9(knP,,_t)lT分别为Mxl维接收天线q上的接收信号和噪声向量; 阵导~W h 90P =[h90P(p)， ...， h90P (L一1)]T为Lxl维发送天线p到接收天线9的信道时域响应向量。 若定义'\"P={叮，鲜，„，碟_T}为天线p 则，M，应为均匀分布[67]也即取袱= mD. f 上导频所在的位置集合，则考虑到均方误差最小的准 +p一1，m=0,1,...,M一1，p =1, ... ,从。对于位置正 交的导频序列来说，'\"P还应该满足UP',MP -}0,1,...,K-1}且mp nmu，其中 p,u。}1，二，从}，p}uo 由式((2.29)可得到h 90p的LS估计为 hq}p一(Ap)十I' q (2.30) 前面2.3.2节中已经提到，为了得到确定的估计，应使矩阵AP为列满秩，因此每个天线上所分配的 导频数M应满足M >- Lmax的条件，其中Lma、为等效的最大信道抽头数。这个条件在SISO系统中很 容易得到满足，但在MIMO系统，当发送天线数增加时，分配给每个天线上的导频数势必会减少， 这样就有可能导致求解条件不能够满足，进而使式(2.29)成为一个欠定方程。例如，当K=64时， 若发送天线数为从=4，则分配到每个天线上的导频数为M=叼从=16,此时只要信道的最大抽 头数大于16，就会导频求解条件不能满足。针对这种情况，下面提出一种联合前后连续发送的导频 序列进行估计的算法，并给出导频序列的发送方案。 东南大学博士学位论文 当求解方程为欠定时，说明未知参数的个数大于方程个数，在这就意味着每根天线上使用了过 少的导频，但为了保持每根发送天线上导频序列的正交性，所以并不能随意增加各个天线上的导频 数。为解决这个问题，一个很自然的想法就是联合后面R一1个时刻发送的导频序列一起进行估计。 对于每一根发送天线来说，若前后R个发送时刻上导频序列的导频位置分布均正交，也即 -\"PY自-\，二，珊且:笋S，其中-\"PY定义为天线P第:个发送时刻上导频序列所占用 的子载波位置集合，则联合估计时实际可用的导频数就为RM，选择R使得RM > Lma、即可。另外， 2.3.2节中提到，若要使时域估计算法的均方误差达到最小，导频序列应均匀分布。因此将该结论扩 展到这里，意味着要求组合后的导频序列分布，也即声YP a A ,P也应为均匀的。 以K=64,从=4,几ax -18为例，由于分配到每个天线上的导频数最多为M=16个，因此 至少要联合前后两个时刻的导频序列来进行估计，也即取R=2。根据之前所给出的导频序列应满足 的条件，可按照如下方式设计不同天线上第二个时刻的导频分布: 洲=洲3，对=洲“，对=洲‘，对=洲2 (2.31) 也即按照时间顺序，各天线上发送的导频序列所占用的子载波位置集合分别为 对对洲对 time 1 antenna 1:洲‘ antenna 2:洲z antenna 3:洲3 antenna 4:洲4 time 2 (2.32) 在接收端，根据式((2.29)可以得到相应于发送时刻1和时刻2的接收信号分别为 =A厂h 90P+城9 =A岁h 90P+W梦 (2.33) ~酬~丫 其中A岁= diag}X岁}E，r=1,2。将两个时刻的接收信号组合起来可以得到 [Y9Y9z一[AP'」 h9APz，二[W99Wz (2.34) 也即 Y9=APh9'P+w9 (2.35) 由于RNI >几ax，入p为列满秩，因此可得到hq'p的LS估计为 69，一(入·)卞Y9 (2.36) 由于在系统的信号解调过程中，一般用到的是信道的频域响应，因此应再将估计出的时域响应 变换到频域，也即 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 Hq,p=巩hq,p 一Hq,p+FL (Ap )t wq (2.37) =Hq,p+eq,p 其中Hg0p = [Hg0p (0)， Hg0p (1)， ..， Hg0p (K一1)]z为Kxl维发送天线P到接收天线q的信道频域响应向 量;R.pe为Kxl维估计误差向量。由此可得到估计的均方误差为 NMSE=一生一 KN,Nr N, N, 艺艺tr E Je9.pe9.pH}) (2.38) p=1 g=1 当系统可发送的导频序列个数R:多于联合估计时所需的导频序列个数R时，可以获得不止一个 的信道频响估计宜q, p。所以，算法的后续任务就是要对这些估计进行某种方式的组合。下面以 凡=4, R=2为例进行说明，其他情况可依此类推。由于发送的导频序列数增加到4，因此根据(2.32) 可得到此时各天线按时间顺序发送的导频序列子载波位置集合分别为 time 1 time 2 time 3 time 4 antenna 1:洲‘}3 y1 1洲3 antenna 2:洲2洲 4洲 2洲4 antenna 3:-\"31洲‘-\"31洲‘ antenna 4:_,\"4 \"2洲 4洲2 (2.39) 可以看出，在这种发送模式下，每一个发送天线上时刻3与时刻4就是对该天线上时刻1和时刻2 的重复。考虑到组合后导频分布的均匀性，我们只将发送时刻1和时刻2上的导频序列、时 刻3和 时刻4上的导频序列分别进行组合后估计，由此可以得到有关H q0’的两个估计，分别用宜q, p(l)和宜q, p(2) 来表示。由于这两个估计值是采用完全相同的发送方式得到的，因此对其进行简单的平均就可以获 得最终的估计值，也即 Hq, p= Hq0p(l)+H q,p(2) (2.40) 在采用上述导频序列发送方式的情况下，边缘子载波上会存在较大的估计均方误差。为了减小 这个误差，文献「61]提出一种循环发送的方式。借助该思想，我们将导频序列的发送方式重新设计 如下: time 1 time 2 antenna 1:洲‘洲3 antenna 2:-\"21洲4 antenna 3:-\"31洲‘ antenna 4:-\"4洲2 time 3 time 4 _,\"2洲 41 1 洲3洲11 1 _,\"4洲 21 1 -,\"1洲 3 (2.41) 可以看出，在这种发送模式下，某一个天线上时刻3与时刻4是对其他天线上时刻1与时刻2的重 复。采用这样的循环发送模式可以减小边缘估计误差。根据式((2.37)可知，由于不同的导频分布构 东南大学博士学位论文 成了不同的E1 p，因此与其伪逆密切相关的估计误差R.pe也就各不相同。为了使组合后的估计均方误 差达到最小，不能再同式(2.40)一样对宜籽和宜脚进行简单的平均，而是要进行加权平均。若定 义D盯，:一1, 2,为对第:个估计值进行加权的对角矩阵，则最终的估计值可通过下式获得 厂三丫‘三 Hq0p一忌D (r>忌 D (r> H (r>r=1 r=1 Hq,p+一r=1刊菩Dq,peq,pr=1 Hq,p+j2q,p (2.42) 其中喇为第·个帜犷的估计误差。通过最小化估计均方误差tr(E{酬，夕酬，Htr(Egjq'pjjq,pD，可以得到最优的 加权矩阵为 D q,pr一:diag j T}E}eq，二;，pH}}})一‘ (2.43) 也即加权系数与每个估计的估计误差成反比，其中T}A}表示取出矩阵A的对角元素并使其成为 一个列向量。此时平均估计均方误差为 NMSE=一I KN,N} N, N, tr(E}n90pn90pH}) (2.44) 艺e=l凡 艺月从 1 KN,N} 艺艺tr(890p) p=1 g=1 ，.. - 、、|，/ 1 - 、、|，/ !、了l IJ了J 1、J I 2/r 其中yq,p一艺}diag{ `I'} E} eq,peq,p\" 2.6仿真结果及讨论 仿真部分给出2.5节中提出的改进的MIMO OFDM信道估计算法的性能曲线，并将其与2.4节 中的估计算法(以下简称算法一)做了比较。所用的系统参数如下:发送天线数Nt = 4;接收天线 数戈=4;系统带宽珠= 800 kHz;DFT的长度K一64;等效的信道最大抽头数为L一18，每个抽 头系数均为时间相关函数满足Jakes模型的独立同分布随机变量;信号采用QPSK调制;信道多谱 勒频偏取几=40。当采用完全正交的导频序列时，根据上述给定的系统参数，可以求得每根天线所 分配的导频数为M=叼从=16，所要联合的前后导频序列数为R一20系统采用信道频域响应的归 一化均方误差(NMSE)作为性能指标。 图2.3给出了凡=R=2时，两种估计算法的NMSE性能曲线。由于凡<从，因此对于算法一 来说，需要将发送天线分成两组，第一组只在奇数子载波上发送导频信号，而第二组则只在偶数子 载波上发送导频信号，最后通过插值获得所有子载波上的信道频域响应估计。在仿真中，算法一分 别采用线性插值和低通插值。 第二章OFDM系统中基于导频序列的信道估计 田仍芝2 SNR(dB) 图2.:3 RT= 2:时，本章所提估计算法与频域估计算法((227)的NMSE比较，其中频域估计算法分 别采用线性插值和低通插值 从图中可以看出，对于具有有限抽头的信道来说，时域估计算法的性能要远优于频域估计算法， 这与文献[67]所分析的一致，因此本章所提出的改进算法具有实际意义。另外，从图中还可以看出， 基于频域插值的估计算法存在着较大的估计误差平台。因为信道抽头数的个数对应于信道频域选择 性的程度，所以等效的抽头数越多就意味着信道的频域选择性越强，从而导致的频域插值误差也就 越大。而在高信噪比时，由于估计误差主要来自于插值误差，因此这也就解释了为什么在所给定的 系统仿真参数下，基于频域插值算法会出现估计误差平台的原因。 图2.4给出凡=4时，两种估计算法的NMSE比较。从图中可以看出，虽然频域估计算法没有 了估计误差平台，但性能仍远逊于时域估计算法。 2. 7本章小结 本章首先对SISO OFDM系统等效基带模型进行了详细描述，然后在此基础上，综述了现有的 一些基于导频序列的经典信道估计算法，并将其进行总结分类。 接下去，本章给出了MIMO OFDM系统的等效基带模型，并基于相应的数学表达式进行了分析， 指出在特殊的发送导频序列模式下，MIMO系统可以等效为若干独立的SISO系统，这样SISO系统 中的信道估计算法多数可以直接推广到MIMO系统。最后针对某些情况下，信道时域响应LS估计 算法不能直接推广到MIMO系统的问题，提出了一种改进的算法，并给出了相应的导频发送方式。 东南大学博士学位论文 所提算法的主要思想是利用前后连续发送的若干个导频序列进行联合估计。当发送的导频序列较为 充足时，可以获得信道响应的若干个估计，本章给出了对这些估计进行组合的方式。 系统的仿真结果显示在信道为有限抽头的晴况下，时域信道估计算法的性能要远好于频域信道 估计算法。本章所提的改进算法使得SISO系统中的信道时域响应估计算法顺利扩展到MIMO系统， 因此具有一定的实际意义。 图2.4 RT= 4时，本章所提估计算法与频域估计算法归.27)的NMSE比较 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 第三章MTMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频 序列的设计 3. 1引言 论文的前两章中都已提到，导频序列的设计与信道估计算法的性能密切相关，特别是对于采用 梳状导频序列的系统来说，好的导频分布与取值将极大提高估计算法的性能。在文献[67]中，Negi 等人首次对SISO OFDM系统中如何选择导频进行了研究，证明了要使SISO OFDM系统信道时域响 应LS估计的均方误差达到最小，导频序列只需均匀分布即可。但这一思想并不能直接推广到MIMO OFDM系统，因为对于MIMO系统，需要考虑不同天线间的相互干扰。因此为了使MIMO情况下 信道时域响应LS估计的均方误差达到最小，不仅要对导频分布进行最优设计，而且对于导频本身的 取值也要进行最优设计。在文献[68]中，Barhumi等人对这个问题进行了仔细的研究，推导了使时 域LS估计均方误差可以达到最小的导频序列，也即最优导频序列。可以证明，此时的最优导频序列 应该是等能量、等间隔且相位正交的，也即每一个发送天线上的导频序列都是等能量等间隔的，不 同发送天线间的导频序列满足相位正交的条件。从上述介绍中可以看出，无论是文献「67]还是文献 [68]，它们所设计出的最优导频序列都要求是均匀分布，这个条件对于含有虚拟子载波的OFDM系 统来说，在某些情况下是得不到满足的。 虚拟子载波是指那些处在系统所分配带宽边缘的、不用来进行数据传输的子载波[fss}.fs97。使用虚 拟子载波主要是为了避免发送端的低通滤波器对发送信号产生影响。我们知道，在OFDM系统中， 调制信号送入信道之前需要进行IDFT变换，因此从IDFT输出信号的频谱具有周期为lets的循环特 性，其中Ts为OFDM符号的采样间隔。每个周期都由K个频域间隔为1}K7;的sinc(x) -sin(x)}x脉 冲够成，示意图如图3'.1所示。 lhs 闷卜 1!K不{ 图3.1经IDFT变换后输出信号的频谱 图中的每个6脉冲都代表着一个中心在该频率且过零点间隔为1 f KTs Hz的sine脉冲·因此为了将发 送信号的频谱限制在只含有K个调制信号的IDFT块内，需要在发送端增加一个低通滤波器，理想 情况如图32所示。可以看出，理想的低通滤波器可以使输出信号的频谱宽度为1}TS。 东南大学博士学位论文 1/TS 阅卜 1lKTs 图3.2经理想低通滤波后发送信号的频谱 但在实际中，上述理想低通滤波器是很难实现的，因此一般只能采用非理想的滤波器，例如升 余弦滤波器。图3.3给出了采用升余弦滤波器进行低通滤波时，发送信号最后的频谱。 探荞、kokl-一1;k,,+··-，···、一k}_:一，，kK-1 ko .....-kr 图3.3经升余弦滤波器滤波后发送信号的频谱 从图中可以直观地看到，位于低通滤波器通带范围内的调制信号，也即在子载波气，瓦十1,.，棍-r-1上 的调制信号被完整地保留下来，而位于低通滤波器滚降区域内的调制信号，也即K点IDFT块边缘 的:个调制信号却受到了不同程度的衰减。因此，为了避免发送信号受到低通滤波器的影响，位于 频带边缘的这2:个子载波通常不用来进行数据传输，这也就是为什么称之为虚拟子载波的原因。当 这些虚拟子载波上的信号为零时，发送信号最后的频谱为 kr称+l kK-r-2 kK-r=1 图3.4采用虚拟子载波后发送信号的频谱 不难看出，此时系统可用来传输数据的子载波数只有K一2r个。 在作者所知的目前有关最优导频序列设计的文献中，一般都是考虑不含虚拟子载波的系统，因 而在此基础上得到的一些最优导频序列并不一定能直接推广到含有虚拟子载波的OFDM系统中。例 如在文献[67]和「68]中，推导出的最优导频序列都是均匀分布的，当采用最少的导频数时(此时 导频间的间隔最大)，若两个相邻导频间的子载波数小于虚拟子载波数时，势必会有导频被分配在频 带的边缘，也即虚拟子载波的范围之内，又由于该范围内的子载波不用来传输数据，因此这些落于 虚拟子载波范围内的导频实际上是不可用的。因为缺少了一些必要的导频子载波，所以从整个频域 来看，导频的分布就不再是均匀的，从而得到的序列也不再是最优的。 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 本章所要解决的就是含有虚拟子载波的MIMO OFDM系统中最优导频序列的设计问题。在采用 信道时域响应LS估计算法的基础上，推导了能使信道估计均方误差达到最小的最优导频序列。可以 证明，该最优导频序列为非均匀分布，其具体分布方式与导频取值可以通过求解一个约束化不等式 组得到。 本章的内容安排如下: 简要重述了MIMO OFDM的系统模型和信道时域响应的LS估计，给出估计的均方误差 表达式; 根据最小化估计均方误差的准则，推导了导频非均匀分布下的最优导频序列，证明了最 优导频序列的分布和取值可以通过求解一个约束化不等式组得到，并给出三种求解该不 等式组的方法; 给出仿真结果; 为本章的结论。 3.2 MIMO OFDM系统中信道时域响应的LS估计及估计均方误差 上一章中已经给出了发送天线为Nt，接收天线为NY，子载波数为K的一个MIMO OFDM系统 基本框图，现将其数学模型简单重述如下。在接收天线q上进行DFT变换后，子载波k上的接收信 号可表示为 Y9 (k)=艺H 90 p (k)X p (k)+W9 (k), 0<_k<_K一1，1 信道在第k个子载波上的频域响应;W 9 (k)为接收天线q上均值为0方差为嵘的加性高斯白噪声。 前一章已经指出，当发送天线采用导频位置完全正交的导频序列时，对于同一个发送时刻来说，任 意一个子载波上只有一个发送天线处于“活动”状态，因此在接收端可以很容易将不同天线上的发 送信号区分开来。由于不存在发送天线间同频点上发送信号的相互干扰，因此进行信道估计时可将 MIMO系统等效成为若干独立的SISO系统，从而使估计变得简单。这种位置正交的导频序列分布 方式可以用如下数学形式表示 mp nmu -o，p,uE }1，二，从}且p } u (3.2) 其中‘44P为发送天线p上导频所在的子载波位置集合。若令 刀一日Nr1 '\" Pp-1 (3.3) 则也可以从另一个角度来解释正交导频序列，也即每个发送天线上的导频分布均为‘44，只是对于 任意一个发送天线p来说，它只在属于声'IP的频点上发送非零导频，而在其他‘44一‘}/P中的频点 上发送零导频。这样一来，实际上导频所占用的子载波数就为M一yNtI MPP=1个，其中“P为发送天 线p上的非零导频个数。一般情况下每个发送天线都采用相同的非零导频数，因此又有M=从皿， 其中邓f定义为每个天线上的非零导频数。 东南大学博士学位论文 由此看来，对于正交导频序列来说，每个发送天线上都有(Nr一1)m个频点是闲置的。 那么， 是否可以将这些频点也利用起来，设计出另一种性能较优的导频序列呢?答案是肯定的，在文献「68] 中，Barhumi等人就设计出了一种相位正交的导频序列。在这种导频序列发送方式中，每个天线采 用相同的导频分布，通过使不同发送天线同一频点上的导频相位满足一定的条件来使估计算法的均 方误差达到最小。与位置正交的导频序列相比，这种导频序列的优势在于它利用了所分配的全部导 频子载波，因此对于每一个发送天线来说，实际可用的导频个数就为M个。对于同样数目的待估参 数，增加实际可用的导频数无疑能提高估计的性能，这一点在文献「68」中得到了验证。鉴于此，本 章也将采纳这种相位正交导频序列的设计思想，尽量利用所分配的全部导频子载波，期望通过设计 导频取值来使信道估计的性能达到最优。 假定OFDM符号中的M个导频被放置在子载波ko,„，kM1上，也即刀={瓦，„，偏-1 )，则由 式((3.1)可以得到导频子载波上的接收信号为 Y9(km)=艺H\"P(km)XP(km)+W9(km), 0<_m<_M一1 (3.4) 进一步，可以得到长为M的接收导频向量[68]. I' 9=艺diag}XP)H90P+W (3.5) 其中亏9 =[Y9(瓦), .. ., Y9硫_1A T又P =[XP(瓦), ...,XP(硫-1)]T，W9 =[W9(瓦),...,W9(硫-1)]T和 Hq0p =[H90P(ko),...,H90P(硫_, )]T分别为Mxl维的接收、发送、加性白噪声和信道频域响应向量。 由于本章采用的是时域信道估计算法，因此需要将接收信号写为信道时域响应的函数。定义h 90P 为从发送天线p到接收天线9的信道时域响应，则n9.P与h 90P之间的关系式为 H 90P=FT五9.P (3.6) 其中h 9,P -[h9,P(0),...,h9,P(L_1)]T为Lxl维向量;L为等效的信道最大抽头数;双为由万倍标准 DFT矩阵对应的M行和前L列组成的MxL维矩阵。由此，式((3.5)又可写为 Y“一艺diag }XP )凡h 90P+Wq (3.7) 若进一步定义N,L x 1维向量hq -[hq0'T， ...， h90NtT了和M x N,L维矩阵A=「又毛凡，„，又含氮]，其中 Xn -diag}XP)，则式((3.7)可重写为一个紧凑形式，也即 Yq=Ah q+Wq (3.8) 由此可得到h“的最小二乘估计为 6、=入卞Y9 =h9+At*q (3.9) 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 前一章中已经提到，为了使h“有确定的估计，要求所给的导频数能够使得矩阵孟为列满秩，也即要 求M>_凡L。因此所需的最少导频数为M=LNto 式(3.9)给出了本章所采用的信道估计算法。众所周知，评价一个信道估计算法性能的好坏， 一般是通过计算其估计的均方误差，因此可以将它作为设计导频序列的准则，这也意味着最优导频 序列就是可以使估计均方误差达到最小的序列。本章下面的部分将首先给出所用估计算法的均方误 差，然后依据此来推导最优的导频序列。 由式((3.9)可以得到估计均方误差的表达式为 ﹄臼川门，J MSE= 扮1}}fi“一h9 贪{ll‘卞‘“11 (3.10) 一华tr}AtE}WqWqH不tH! 乙刀，LL J J 因为对于加性白噪声来说有E}W“WH嵘IM，所以式(3.10)最终可写为 MSE一其tr( (AHA)一‘) 乙N,\\、‘/ (3.11) 有了上述MSE的表达式，导频的设计就有了目标，也即寻找能使该表达式取值达到最小的导频序列。 在随后的一节中，我们将根据式((3.11)推导出最优的导频序列。 3.3导频非均匀分布时最优导频序列的设计 对于式(3.11)何时可以取到最小值，文献「90]已经给出了证明，也即当AH入为对角阵，且对 角元素均相等时，MSE达到最小。采用数学的形式，该条件可以写为 AH入=r ILNr (3.12) 其中尹为分配给导频序列的固定功率。由此可以知道，能使式(3.12)成立的导频序列就是最优的。 为了得到最优时导频序列的取值和分布，需要将式(3.12)写成与导频有关的表达式。根据矩阵孟的 定义，可以得到AHA的表达式如下 FL XD XDFL F H Xn`H XD FT. „FL XD XD r FL „H XN`H X \"' N`FT. nn FT. (3.13) 厂|||||||||||||L -- ~A H ~A 其中每个子矩阵衅又g又轧虱均为LXL维。由上式，则式(3.12)给出的要求可重写为 东南大学博士学位论文 城 I 尹 -- 门||||||||||||J F -H -jH -1 -,I X, X, F,„F -H -jH -Ar -,I X, X, IF, F H XT)tH XlDFT„F -H - ArH - Ar -T, XD` Xn`FT. (3.14) 这也意味着要求每个子矩阵需满足 FHXPHX-。一(VIL, if:一、 --一{OLXL，if p#、 (3.15) 其中p,sE M...,从}。当系统不考虑虚拟子载波时，文献「68]中给出的等间隔等能量且相位正交的 导频序列即可满足上式的要求。但在OFDM系统中，为了避免发送端的低通滤波器对发送信号产生 影响，一些落在发送低通滤波器滚降区域中的子载波(也即所分配带宽边缘的一些子载波)是不用 来传送数据的。所以当均匀分布方式中两个相邻导频间的子载波数小于虚拟子载波数时，一些导频 就会被分配在虚拟子载波的区域内。由于在发送时这些虚拟子载波上的信号全部都置为零，因此最 终发送的导频序列将不再是均匀分布的，从而原来最优的导频序列此时也就不再是最优的。本章接 下来所要讨论的，就是在导频非均匀分布的情况下，如何设计最优的导频序列。 首先来考虑式(3.15)中p#、时的要求。若导频可以均匀分布，则不同发送天线上的导频序列 虽然占据同样的子载波，但只要满足一定的相位条件即可[6s]。但若导频为非均匀分布，则该条件只 有当不同天线上导频序列相互正交时才能满足，也即 贡尸HP贡s=n __- __-’切X切 (3.16) 这就意味着xP(硫)与XS(硫)中至少有一个为0。若定义皿为每个发送天线上的非零导频数(这里 假定每个天线使用相同的导频数)，刀’为发送天线p上皿个导频所在的位置集合，则由正交 导频 序列的性质，有NIM -M，}p n lt-t“一②，p笋、和UNr1 '\"PP=T一刀。这就说明，当导频序列为非 均匀分布时，为了获得好的估计性能，不同发送天线上只能采用位置正交的导频序列，这与导频序 列可均匀分布时情况有所不同。由于发送天线上的导频序列相互正交，因此不同发送天线上导频序 列的设计可以看成是相互独立的。 接下去再看式(3.15)中:一、的清况。若定义犁一xp (km)一z为发送天线:子载波袱上导频的 发送功率，则可将式((3.15)中的第一部分重写为 Hdiag{「刀 P，„， P1 TFL diag [R , ..., }M_T ]} FL一IVIL (3.17) 通过计算上式等号左边的矩阵乘法，可以得到如下2L -1个方程 咨=1一L,...，一1,1,...,L一1 咨=0 (3.18) 0，只 /十飞 -- Y ,VPej(z)rlK>km}m 推导到这一步可以发现，所要设计的最优导频序列实际上就是发送功率ppm满足上述方程的导频序 列。鉴于数学上推导的简便性，下面将式((3.18)写成等效的、由实系数组成的方程组，也即 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 艺VmP cos(2zkmJ/K)一0, m=o f-1 I PMP sin (2zkm jlK)一。 m=o 解-1 Y IVmP=只 咨=1,...,L一1 咨=1,...,L一1 (3.19) 咨=0. 通过定义MX1维向量,vP -[p,P,...,P\"P- 和(2L一1)XM维矩阵 BP= cos(2)T - ko·1/K)„cos(2)T - kmP-1·1/K) cos(2)T - ko·(L一1)/K)„cos(2)T - kMP-1·(L一1)/K) sin(2)T - ko·1/K)„sin(2)T - kmP-1·1/K) sin(2)T - ko·(L一1)/K)„sin(2)T - kmP-1·(L一1)/K) 1„1 (3.20) (3.19)中的方程组可以写成如下紧凑的矩阵形式 BP尸P=bP (3.21) 其中bP -[0,...,0,尸犷为(2L一1)x1维向量。考虑到户p代表的是发送功率，必须满足户p>_0, 因此对于pp的设计需要在式(3.21)的基础上再加上一个约束条件，也即pp必须通过求解如下的 约束线性不等式组得到 BP尸P=bP 尸P>DAffXAff (3.22) 当求解出pp以后，最优导频序列{X p (km )}可随之得到，也即其幅度满足 一XP(km)一PmP I d碟。M P, m=0,„，皿一1,湘。}1,„，从} 而相位可以取任意值。事实上，对于任意一个长度为卿的单位模值序列 b'm钊0'..., m一1))，若XP(袱)是最优的，则XP(袱)c(m)也是最优的。 (3.23) c(m)(一c(m)卜1 到这一步为止，最优导频序列的设计问题就演变成一个如(3.22)所示的约束不等式组的求解问 题。为了在导频非均匀分布下获得尸P的确定解，这里要求M>-2L-1。下面本章将给出三种求解 (3.22)的方法。由于对于不同发送天线来说，其上得导频序列设计都是独立的，因此为了记号的方 便，在下述三种算法描述中将省去发送天线的索引值p0 方法一:求解一个等效的约束规划问题。 东南大学博士学位论文 从数学上可以推得，求解一个线性不等式组与求解一个规划问题是等价的[91]。因此，根据该结 论，可以将求解((3.22)中的约束不等式组转化为求解下述具有等式约束的规划问题 一告m}-1m=o一rm， rm I ) (3.24) -尸 F(=b .m-尸 mB /十l 从上式中F(P)的定义可以很容易得到其梯度表达式为 VF(P)一户一月 (3.25) 其中VF(P)即为F(P)的梯度，一月一(一翻，一州，„，一PM -，一)T 因此对于该规划问题，卢可以通过以下步骤得到[91] 1)初始化尸，令 户(o)=e一BT (BB T)一‘(Be一b) (3.26) 其中e一[1,1,..., 取任意小的正数 2)计算 T为M x l维全1的列向量。 ,u > 0，置迭代次数k一。。 ‘(‘)一(，、一D(k)一‘BT (BD (k)一‘BT)一‘B)D(k)一‘VF(;ff(k) ) (3.27) 其中D(k) - d‘二{d (k)o可k)， ..， d盅1}为一个 mxm维的对角矩阵，其对角元素为 >0 k)<0 习习 刀11- /11 -- 碟 3)如果此时t(k) = 0mXl，则迭代结束，否则继续。 4)求a (k) > 0，使得 F(户(‘)+a(k)t(k))一理n F(0户(‘)+at (k') (3.28) 令户(k+l)=户(k) +a (k)t(k)，置k一k +1，转到步骤2)0 当迭代结束后，所得到的尸即为(3.24)规划问题的最优解。但同时应该指出的是，(3.24)规 划问题的解不一定就是(3.22)中约束不等式组的解。这是因为根据「91]中给出的引理可以知道， 规划问题(3.24)存在最优解户‘，而(3.22)相容的充要条件是FC厂.)=0，如果FC厂.)=O，则户‘ 就是(3.22)的解，否则就不是。换句话说也即:只有当(3.22)相容时，通过求解(3.24)得到的最 优解才是不等式组的解，反之当(3.22)不相容时，由于此时它的解不存在，因此即使通过求解(3.24) 得到了一个最优解，它也只是规划问题的解，而不是不等式组的解。 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 那么，(3.22)所给出的不等式组的相容性取决于什么呢?观察其中的等式方程组不难看出，矩 阵B决定了不等式组的相容性，而它又依赖于每个发送天线上非零导频的分布(也即非零导频所在 的子载波位置集合)，因此这就意味着:只有选取那些可以使不等式组相容的导频分布，才能在此基 础上求得最优的导频序列。但是根据方法一的思想，只有在求得了等效规划问题的最优解之后，才 能判断该解是否也满足约束不等式组，进而才能知道不等式组是否相容。因此在具体实现时， 只能 先假定一种导频分布，并由此构造出矩阵B，接着按照方法一获得规划问题的最优解。当该解同时 也满足不等式组时，则说明此时已经找到了合适的导频分布和相应的最优导频序列，若该解不满足 不等式组，则说明在给定的导频分布下不等式组是不相容的，所以这时需要重新再假定一种导频分 布，然后重复上述工作。当依次测试所有可能的导频分布直到找到合适的以后，最优导频序列的设 计就算完成了。由此可以看出，对于有从个发送天线的系统来说，因为各天线上导频分布要正交， 所以需要寻找从个相互正交且每个都能满足不等式组相容性的导频分布。 方法二:求解一个等效的无约束最优化问题。 为了避免方法一中步骤4)的一维搜索，降低计算量，还可以将(3.22)中的约束不等式组转化 成如下等效的无约束最优化问题[9z] min (p(尸) 一告(B户)T(B户)+F(P) (3.29) 其中F(P)一1/2.;ffT(;ff一列，一月一((IpoIdpll „，一pM-1 I)T。 户一月 很容易得到此时F(1v)和拭尸)的梯度 表达式分别为 VF(尸)= v (P(户)=BTB户+VF(户) (3.30) (3.31) 对于该无约束最优化问题，尸可以通过以下步骤得到 I)初始化卢，令户(0)为M x l维全1的列向量，也即 户(0)=[l，l，„，l]T[1,1, ...,1] (3.32) 置迭代次数k=Oo 2)计算 t(k)=v沪(户(k) ) (3.33) 若t(k) = 0Mx1，则迭代结束，否则继续。 3)计算 户(k+l)=户(k) (A_lt(k))T t(k)(A_lt(k))T (A_lt(k))T A(A_lt(k)) (3.34) 其中E1=BTB+21,v,o 东南大学博士学位论文 4)置k=k+l，转到步骤2)0 与第一种方法类似，这里根据(3.29)求出来的最优解未必是(3.22)的解。因此在求解出户后 还必须进行判断。当给定的导频分布不合适时，需要对其进行更改并重新求解。具体做法如前所述。 方法三:利用Gram-S chmidt正交化进行求解。 对于方法一和方法二来说，它们都存在如下问题，也即只有当等效的问题求解完成之后，才能 判断得到的最优解是否也满足原约束不等式组，所以即使对于不等式组不相容的情况，也只能在求 解完成之后才能知道，这样无疑大大增加了搜寻和判断的计算量。因此如果能够在求解的过程中就 能做出是否相容的判断，则可以大大减少计算量。基于这个想法，本章提出了一种利用Gram-Schmidt 正交化来进行求解的方法。但这种方法只适用于矩阵B为方阵的情况，也即只适用于导频数 M=2L一1的情况。 从前面的(3.19)可以看出，最后一个方程其实是对发送导频的总功率进行约束，求解的关键在 于前面的2L一2个方程，因此在所提的求解算法中，我们将矩阵B重新定义如下 cos(2)r - k0·1/K)„cos(2)r - k ml' _1·1/K) cos(2)r·k0\"·(L一1)}K) sln(2)L·叮·1压) cos(2)r·k ml' -1·(L一1)压) sin(2)r·端_，·1压) (3.35) sln(2)L·k0\"·(L一IJ压) sin(2)r·k ml' -1·(L一1)压) 厂||||||||||||||| -- B 由此可以得到((3.19)中方程组的另一种紧凑形式，也即 B尸=0(2L-2)xl y r.=尸 (3.36) 与前两种方法不同的是，方法三将最优导频序列的设计问题分成两大步:首先是对如下不等式组进 行求解 B尸=0(2L-2)x1 尸}! DAffxAff (3.37) 然后是利用(3.36)中的最后一个方程对求解出的户进行功率约束，也即对设计出的导频功率进行 等比例的放大或缩小，使其总和为尸。 对于((3.37)中的等式部分，可以将其重写为 bm_,Pm_, --B[P, P,„凡一2 (3.38) 其中b., m = 皿一1，表示矩阵B的第m列;B = [bo b, ... bll_2]为(2L一2) x (M一l)维矩阵。 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 当所分配的导频数M = 2L一1时，B为一个方阵，因此根据Gram-Schmidt正交化的思想，可以将其 进行UT分解，也即 一‘人 二___二引0 B=U『f=}u- u,„u，二。日 [U‘一‘门: LO ,0 t2,0 t2,1 t(M_2),0 t(二一2),1 (3.39) 0 0 其中U是一个正交阵，其每一列为 um=bm一艺tm,nb, m=0,...,M一2 (3.40) T是一个上三角阵，其第((m, n)个元素为 tm,n=b TMUnAu。一，n=0,...,m一1 (3.41) 将式((3.39)代入式((3.38)后可以得到下面的表达式 ﹁||||||||||||||| ﹃乙 刀刀·:赚 厂||||||||||||||L 门||||||||||||||| b邢_i/vM一 ti,o t2,0 0 1 t2,1 t(二一2),0 t(M-2),1 (3.42) 0 0 0„1 考虑到U是个正交阵，有u二un=O,m#n成立，因此在上式两边分别乘以u二( m=0,...,M-2)后， 可以得到如下M-1个方程 ﹁||||||||||||||| 2 月刀·:乱 厂||||||||||||||L 门||||||||||||||| t(M-2),o 2 t(M-z), 1 (3.43) u ,mr-z 02训州州州州州州 ﹂尸U 二二二二 O 矛﹃2 口|||月川 |月川U„O U| 叭。„o 厂||||||||||||||| -- 门|||||||||||J ，.. - F--l孺 凡，卿 腿少 b.„ r。r解 UU 厂|||||||||||L 进而， 尸可以通过以下步骤得到: 初始化焉-1 =1，置n=M一2。通过(3.43)的最后一个方程，可计算出焉-z为 只一PM-2一uM-zbM-IPM-i/ IluM-z}I2 (3.44) 2)判断只是否小于0，若只<0，则算法终止，否则，继续。 3)判断此时n是否为0，若n=0，则算法结束，否则，将'Vn, ..., IV,M,-2代入第((n一l)个方程计 算Pn-1。 4)置n=n一1 转到步骤2)0 东南大学博士学位论文 若算法终止于步骤2，则说明计算出了某个不满足不等式组约束条件的解，从而马上可以判断 在此时给定的矩阵B下(也即导频分布下)，(3.37)是不相容的。由此可以看出，在所提的方 法三中， 一旦求解碰到不满足不等式组约束条件的情况时，算法就终止了，因此可以在不用求出所有解的情 况下就能判断给定的导频分布是否能使约束不等式组相容。另外，又由于没有了方法一和方法二中 的矩阵求逆，因此方法三的计算量要远小于前两种方法。 这里需要特别指出的是，在上述推导最优导频序列的过程中，为了使不等式组有确定的解，我 们要求导频数M >_ 2L一1，也即最优导频序列所包含的导频数最少为2L一1个。但同时，根据式(3.9) 可以知道，要估计出h“其实只需M = LN一个导频即可，也即分配到每个发送天线导频序列的导频数 最少只要L个。由此可以看出，最优导频序列所需要的导频数接近于所要求的最少导频数的两倍， 这说明，为了达到最优的估计性能，需要牺牲一些频谱利用率，通过增加导频数来换取性能的提高。 本章下面的仿真部分将比较采用不同导频数时估计算法的性能，从仿真结果中将可以清楚地看到由 牺牲频谱利用率带来的性能提高。 3.4仿真结果及讨论 考虑一个有两根发送天线和四根接收天线的MIMO OFDM系统。它有K= 128个子载波，其中 118个子载波用来传输数据，而频带两边各剩下5个作为虚拟子载波。由于使用IFFT变换来实现 IDFT，因此负频带部分将被映射到正频带部分，以64点IFFT为例，原1到26上的系数仍作为位 置为1到26的IFFT的输入，而一26到一1上的系数则作为位置为38到63的IFFT的输入，剩 下的27到37和。位置的IFFT输入都置为。[z7]。因此本章中所提到的子载波位置均是针对已经调整 后的正频率。由此，根据给定的系统参数可以得到仿真中的有用子载波(包括导频子载波和数据子 载波)和虚拟子载波所在的子载波位置集合分别为{0,..., 59, 70,„，127}和{60,„，691。系统带 宽为800 kHz，信号的调制方式采用QPSK。假定等效的最大信道抽头数为L=10，且每个抽头系数 均为时间相关函数满足Jakes模型的独立同分布随机变量。系统采用信道估计的均方误差(MSE) 和迫零均衡后的误符号率(WER)来作为性能指标。仿真中信道多谱勒频偏取几= 40 Hz, 仿真比较了如下四种不同的导频序列:(1)本章所推导的最优导频序列。总共所分配的导频数为 M=M' +M2一从(2L-1)一38，不同天线上非零导频所在的子载波位置集合分别为刀‘一{6, 7, 8, 18, 20, 32, 33, 45, 46, 58, 71, 83, 84, 96, 97, 109, 111, 121, 123}和-44z一{9, 11, 19, 24, 26, 35, 36, 47, 48, 59, 70, 79, 80, 89,100,110,114,122,12610 (2)等能量的随机导频序列。发送天线上所分配的导频数 与导频分布均与((1)相同，只是导频取值不同，也即M= 38, A4 = ./41 U A42, (3)等能量的正交导 频序列，其导频数与((1)相同，为M=M' +M2一NtL一38，每个发送天线上的导频序列采用近似的 均匀分布，也即此时不同天线上非零导频所在的子载波位置集合分别为刀‘一{0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 74, 80, 86, 92, 98, 104, 110, 116, 122}和-44z一{1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 75, 81, 87, 93, 99, 105, 111, 117, 12310 (4)等能量的正交导频序列， 其导频数为M= 20，每个发送天线上的导频序列也采用近似的均匀分布，也即此时不同天线上非零 导频所在的子载波位置集合分别为刀‘一{2, 14, 26, 38, 50, 70, 82, 94, 106, 118}和-44z一{3, 15, 27, 39, 51, 71, 83, 95, 107, 1191。第四种导频序列使用了估计信道所需要的最少导频数，它满足条件 (3.16)，但不满足不等式组(3.22)0 图3.5和图3.6分别给出了四种导频序列的MSE和WER性能曲线。从图中可以看出，通过牺 第三章MIMO OFDM系统中基于非均匀导频分布的最优导频序列的设计 牲频谱利用率，前三种导频序列都获得了比第四种导频序列更好的系统性能，其中本章所推导的最 优导频序列在MSE和WER上都要优于其它三种导频序列，例如，与第二种导频序列相比，最优导 频序列在MSE和WER = 10-3时的性能改进均为2dB:与第三种导频序列相比，在MSE和WER = 10-3 时的性能改进分别为1.8dB和0.9dB;而与第四种导频序列相比，在MSE和WER = 10-}时的性能改 进则分别为4dB和2.8dB。另外，从图中不难看出，第二种导频序列已经接近最优导频序列的性能， 因此当传统均匀分布的导频序列不可用时，可以通过增加导频的个数，利用近似均匀分布的序列来 逼近最优导频序列的性能。 图3:5采用如下四种不同导频序列时系统的MSE性能:本章所设计的最优导频序列;与最优导频 序列分布相同但取值随机的导频序列;导频位置正交的导频序列;导频位置正交且采用信道估计所 需的最少导频数的导频序列。 东南大学博士学位论文 SNR(dB) 图3.6采用如下四种不同导频序列时系统的WER性能:本章所设计的最优导频序列;与最优导频 序列分布相同但取值随机的导频序列;导频位置正交的导频序列;导频位置正交且采用信道估计所 需的最少导频数的导频序列。 3. 5本章小结 本章推导了当传统最优的均匀导频分布不可用时，基于非均匀导频分布下的MIMO OFDM系统 中的最优导频序列。可以证明，当采用信道时域响应LS估计算法时，为了获得最小的信道估计均方 误差，不同发送天线上的导频序列必须是正交的，且每根天线上的最优导频序列必须通过求解一个 约束线性不等式组来获得。本章给出了三种求解约束线性不等式组的方法，分别为:求解一个等效 的约束规划问题;求解一个等效的无约束最优化问题;利用Gram-}chmidt正交化进行求解几。三种求 解方法的计算量依次降低。另外，本章还指出只有选择了合适的导频分布，也即合适的导频所在子 载波位置集合时，才能通过求解相应的等效问题来得到最优导频序列。当导频分布不合适时，不存 在对应此分布的最优导频序列，因此这时要想获得最优导频序列就必须通过调整导频分布来重新求 解。仿真结果表明，采用本文所推导的最优导频序列要优于其它三种导频序列，也即包括有着相同 导频数和导频分布的随机导频序列、有相同导频数且分布近似均匀的正交导频序列、和仅使用估计 信道所需的最少导频数且分布近沮均匀的正交导频序列。 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 4. 1引言 在前面几章所提到的信道估计算法中，都是假定信道的时域冲击响应是有限长度的，小于信道 的时延扩展。所以当接收端得到的等效信道冲击响应位于该长度范围内时，便被视为有用信号，反 之则是噪声。这样，对于采样信号来说，信道估计的维数可以认为是信道时延扩展范围内所包括的 采样点数，在OFDM系统中则是保护间隔内所包括的采样点数。在这种假定下的信道估计算法可以 称之为基于非参数化信道模型的算法。 实际上，估计算法还可以利用一些信道的先验知识。我们知道，在无线通信中，信道通常是用 多径传播来描述的。例如，在一个宏区(Macrocell )中，当基站天线位置较高时，这时的多径信道 将主要由2到6条反射路径(( Specular path)构成[93]，因此可以使用参数化的信道模型来描述无线信 道。在参数化模型中，由于每条路径只包含时延和路径增益两个参数，因此信道估计器只用 估计出 各个路径上的这两个参数即可。在宽带无线通信系统中，这样的稀疏信道是一种较为常见的信道。 所谓稀疏信道，是指与信道时延扩展范围内的采样点数量相比，到达接收机的散射信道路径数目相 对较少，且路径到达时间的间隔也相对较远的多径信道[94]。信道的稀疏性定义为信道时延扩展范围 内的采样点数目与信道路径数目的比值[95]，数字广播信道和障碍物比较少的空旷郊区即为典型的稀 疏信道哪]，[97]。对于一个稀疏信道来说，基于参数化模型的估计方法可以明显降低信道沽计问题的维 数。在训练数据量相同的情况下，减少所要估计问题的维数势必可以提高估计的准确性。以两径信 道为例，若信道的路径时延(用系统的采样间隔进行归一化，也即灯界)和路径增益分别为‘二3.64 j al =1和22, = 2$.7 , cz} -1，则等效后的离散信道采样点数接近60，如图4. 1所示。虽然信道路径的 大部分能量只泄漏在临近的采样点上，但在基于非参数化信道模型的算法中，估计的维数就是位于 信道时延扩展范围内的等效采样点数，因此远远多于基于参数化模型时的估计维数。 0908 四瞥 o日esesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesesJ上主土 -.里止止主里里土 ...里土里止止里立 ...立里土」里星星 -.里士星士士士1 ...刀」土日上」日」」日上日卫- 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 归一化时延 图4: 1两径信道的等效离散信道采样 东南大学博士学位论文 文献「98]提出了一种利用导频的基于参数化信道模型的信道估计算法，该算法首先采用最小描 述长度(Minimum Description Length, MDL)准则来检测信道中的路径数，然后利用信号一参数模型 中的旋转不变法(Estimation of Signal Parameters by Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)来对各 路径时延进行初始估计，接着采用路径间干扰抵消(Inter-Path Interference Cancellation, IPIC)的延 迟锁定环路(Delay Locked Loop, DLL)来跟踪信道路径时延，最后利用信道的路径时延信息推导 出一个信道频域响应的MMSE估计器。可以看出，在文献「98]所提的估计算法中，信道路径时延 与路径增益的估计是相互分开的，因此对于当前符号间隔内路径时延的估计来说，它依赖的只是上 一个符号间隔内估计出的路径增益。另外，由于MMSE估计器中包含矩阵求逆，因此计算复杂 度会 随着信道路径数的增大而急剧增大。 针对文献「98」中上述两个方面的问题，本章提出一种基于参数化信道模型的最大似然(ML) 估计算法。对于信道路径数与路径时延的初始估计，本章分别沿用「98]中的MDL准则和ESPRIT 方法，而对于之后路径时延的跟踪和路径增益的估计，则通过ML方法获得，这样可以保证信道的 路径时延与路径增益的估计是同时进行的。但我们知道，多参数最大似然估计的计算复杂度是相当 高的，所以本章将SAGE算法引入到多参数的最大似然估计中，目的是将复杂的多参数最大似然优 化问题分解成为一系列低复杂度的最大似然优化问题。 SAGE算法[99]是经典期望最大化(Expectation-maximization, EM)算法[loo]的一种推广，有着比 EM算法更快的收敛速度。利用SAGE算法的思想，本章将多参数的ML优化问题分解成一系列两 参数的ML优化问题，通过迭代计算得到路径时延和增益的最大似然估计。对于每一次的迭代，算 法采用一种基于牛顿法的快速ML算法[[10l}来跟踪路径时延。在得到时延的估计后，通过一种简单的 求和平均来得到路径增益的最大似然估计。这样，不仅路径时延和增益的估计是同时进行的，而且 在估计路径增益时也避免了MMSE算法中的矩阵求逆。 本章的内容安排如下: 给出参数化信道模型下的OFDM系统等效基带模型。 给出检测信道路径数和初始化路径时延的方法。 利用SAGE算法将多参数(包含所有信道路径时延和路径增益)最大似然估计问题分解 为一系列的两参数最大似然估计问题。对于每一次迭代中的两参数最大似然估计问题， 推导了如何利用一种基于牛顿法的快速ML算法来跟踪路径时延。在获得路径时延的同 时，给出了一种简单的路径增益最大似然估计方法。 讨论了算法的复杂性。 给出仿真结果。 为本章的结论。 4.2基于参数化信道模型下的OFDM系统等效基带模型 根据稀疏信道的定义，信道冲击响应的数学模型可表示为 h(-c, t)=艺hl(‘)·g(:一;) (4.1) 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 其中L为信道的路径数;'tt为第l条路径的时延;乓(t)为第l条路径的增益。不难看出，此时h(r,t) 仅由参数L, 2t和乓(t)所决定，通过估计这三个参数来重现信道冲击响应的方法即为参数化信道估 计方法。这里，路径增益仇(t)}是宽平稳的窄带复高斯随机过程，其功率谱满足Jakes模型，且不 同路径的增益系数互不相关。为了不失一般性，将信道的总能量归一化为to 本章考虑包含虚拟子载波的OFDM系统。在系统的K个子载波中，只有处在所分配频带中间的 Ku十1个子载波被用来传输数据，而处在频带边缘的剩余子载波被用来作为虚拟子载波。这样，在接 收端，如果传输条件理想，也即保护间隔的长度大于信道路径的最大时延扩展，且假定信道拟平稳， 则如同2.3节中所分析的，第k -个子载波上的接收信号可以表示为 Y. M=Xn CkJHn (k)+Wn (k), K,，K, 一--二二丛ky--二二 (4.2) 其中索引值二代表接收到的第二个OFDM符号;X\" W为子载波k-上的发送信号;W\" (k)为方差为嵘 的零均值复高斯白噪声;Hn (k)为信道在k点的频域响应，其表达式为 L .}_kZl(n) Hn W=乞hl(n).“ (4.3) 式中TS为系统采样间隔;h, (n)为第n个OFDM符号间隔内第l条路径上的路径增益，在信道拟平 稳假定下，它在一个OFDM符号间隔内是不变的;2z (n)为第n个OFDM符号间隔内第l条路径上 的时延，它随符号索引值n缓慢变化。比较上式与式(2.8)可以看出参数化信道模型与非参数化信 道模型的差别。 4.3信道路径数的检测和路径时延的初始化估计 由上节给出的系统模型可以看出，要得到信道频域响应的估计，关键是要估计出稀疏信道的路 径数，以及这些路径上的路径时延和路径增益。对于信道的路径数，只用在最开始的时候检测一次 即可。由于路径时延随时间变化较慢，因此可以先用复杂但精确的算法对其进行初始化估计，然后 再用简单的算法对其进行跟踪。由此可见，基于参数化信道模型的估计算法可以分为两个步骤:一 是初始化，二是跟踪与估计。对于信道路径数的检测和路径时延初始化这个部分，本章沿用文献「98] 中的MDL和ESPRIT算法;而对于后续的时延跟踪与增益估计这个部分，本章则提出一种最大似然 算法。下面首先对信道路径数的检测和路径时延初始化的估计做一个简单介绍。 假定每个OFDM符号中有M个导频，且被均匀放置在子载波ko,„，kM1上。则若定义‘44为 导频信号所在子载波的位置集合，我们有 「，}，( M一1入_ ‘f4 =}弋I k-=}m一—IDf, m=U,...,M一1 l’训’又2少 (4.4) 其中D.f为相邻导频之间的子载波数，它与导频数之间的关系为 F K,+I1 M=}—} }幼} (4.5) 东南大学博士学位论文 这里，马被假定为一偶数。当Df为奇数时，也可以定义一个类似的集合。若用具有相同幅度的{Cm1 来表示发送的导频信号，也即 X, (k-.)=Cm，m=0,...,M一1 (4.6) 则在接收端，导频子载波上的接收信号为 Yn (k-,)=Hn (km)Cm+嗽 (k-.) (4.7) 由此可得到导频子载波上信道的频域响应LS估计为 Hn (k卜Yn(气)/吼 =艺乓(n).。 __k .'r, (n) 一J L7d一一二二二万一一 人 l, (4.8) +嗽(k )/ Cm 其中m=0,...,M-1。从式(4.8)可以看出，斤。(气)实际上是凡个复正弦曲线信号与一个复高斯白 噪声的和，因此对于这种模型，要估计其中包含的复正弦曲线信号的个数，这里也即信道中的路径 数，最通用的方法就是利用最小描述长度准则[10z] 首先利用fin (k)构造一个如下的观测矩阵 Hn(称-1) Hn (kP ) (4.9) 认伏„ 凤八凤 、J、.尸 瓦瓦 H八H Hn(硫-P) Hn(硫-P+1)„Hn(硫-1) 厂||||||||||||||| -- Q 进而，可以得到信道相关矩阵的一个样本估计 Rn= 2K 其中J为交换阵，其反对角线上元素均为1, 平均，可以得到更准确的信道相关矩阵估计 一QnQn+J(QnQn)“)(4.10) 其余位置上的元素均为零。通过对N个这样的宜。进行 一土IV -1宜。 N忿 (4.11) 对R进行特征值分解，可以得到 P=M-P+1 宁二}H /L_U_U_ Y Y Y (4.12) 艺月 -- R 其中凡>...>而-P+，为特征值;u1， ...， nM-P+l为相应的特征向量。这样，对于基于前向一后向的方法 来说，MDL准则可描述成[98] 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 MDL(p)--N/一{ (n篇‘},) 1/(M-P+1-p) M-丸而}M-P+1G} p=p+l P } (4.13) 、丰:[2(M一:、I)一:+1] log、 4 最终，信道路径数可由下式确定 L=arg min PC {0,...,M一尸} MDL(p) (4.14) 其中arg min MDL(p)表示能使MDL(p)取到最小的p值。 根然 在得到信道路径数后，接下来就可以用ESPRIT方法来对各路径时延{毛}进行初始估计了。 据ESPRIT方法，首先将对应于矩阵宜的艺个最大特征值的特征向量组合成矩阵亡一睡，，„，凡 后分别构造如下两个矩阵 U，一[I、一O(M-P)xl]U, U2一[0(M一)、I、一」U (4.15) 通过计算矩阵 乒一(U1 H U1)一‘U1 H U2 (4.16) 的艺个特征值{}vA允，后就可以得到第l条路径的时延估计为 ii一arg(vz )叼(2zDf )T ,‘一1，„，艺 (4.17) 其中arg(可)表示可在[[o, 2z)区间内的相角。 4.4信道路径时延与路径增益的最大似然估计 由于ESPRIT方法的复杂性，因此只将它用于信道路径时延的初始化估计中，对于后继信道时 延的跟踪，则需要采用其他的方法。在本节中，我们提出一种最大似然算法来跟踪信道的路径时延， 并同时估计信道的路径增益。 首先将式((4.8)写为向量形式，也即 H。一艺h, (n)Zz (n)+Wn (4.18) 其中“。一脚k,)，二二Hn (k,-1汀，Zn,，一[[e-jznkKTsn'，. .，. e-'z)rkMKT}IT Wn -}W (ko)}Co,...,W (k,_i)IC,u-i]TT均为Mxl维向量。若假定Wn为高斯噪声，则通过最小化下式， 东南大学博士学位论文 可以得到此时信道路径时延与路径增益的最大似然估计 L 。一> hl (n)Zn,l (4.19) 、|||几千 ﹃乙 八H /十l 板 卜[l么，’l r rJ 4.4.1利用SAGE算法分解复杂的多参数最大似然估计问题 直接求解式(4.19)中的多参数最大似然估计问题将是十分复杂的。所幸的是，文献「100]提出 了一种有效的基于EM算法的混叠信号中各参数的估计方法。我们知道，EM算法是一种解决ML 估计问题的常用算法，文献「100]就是利用EM算法将观测信号分解成了若干个信号部分，然后分 别估计各个信号部分所包含的参数。通过前向和后向迭代，并利用当前估计出的参数值来进一步分 解观测信号，可以提高下一次估计的精度。但由于EM算法在每一次迭代时都同时对所有的参数进 行更新，因此收敛速度较慢。在文献「99]中，Fessler和Hero对这种经典的EM算法进行了扩展， 提出了SAGE算法。与EM算法不同的是，该算法使用了多个“隐藏”数据空间而不是仅使用一个 “完整”的数据空间，并且在每次迭代中只更新参数向量元素中的一个子集。可以证明，在对高斯 噪声干扰下的混叠信号进行估计时，SAGE算法有着比EM算法更快的收敛速度。所以在本章中， 我们将引入SAGE算法来对式(4.19)中的多参数最大似然问题进行求解，希望通过收敛速度快、且 实现简单的方法来获得各个待估信道参数的最大似然解。 根据「99」中SAGE算法的思想，式(4.19)中信道路径时延和增益的最大似然估计问题可以分 解为如下几步: 1)首先是对待估参数的初始化。对于每一条信道路径1, 1<_l<_L，令 澎0' (n)=ii (n一1) h(0' (n)=hl (n一1) (4.20) (4.21) 这意味着将上一符号间隔内估计出的信道路径时延和路径增益作为当前符号间隔内待估参 数的初始值。然后再根据2l(0' (n)初始化向量Zn,l，也即 Z(0)n,l一[e-j2n ko可0)(,) K刃， km-i可0)(,) KT, (4.22) 2)迭代估计。对于第Z次迭代(， „)，若信道路径6满足 =1+[i mod M] (4.23) 则计算由该路径上时延和增益组成的fl浮，也即 “义;一hl k;> (n)Vin (;,;一“· L 一y }(l) (n)znl (4.24) 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 这里， 因此， Hn,，一乓(n)Zn,，可以看成是宜。中由路径l上时延几n)和增益乓(h)够成的子部分， 通过求解下面两参数的最大似然问题可以对ill l) (n), l2,\") (n)进行更新，也即 21;+l) (n), h,(;+') (n) = ag min{11 g n;z,.h,、一、(n)Zn'l (4.25) 在获得澎‘+l) (n)和房‘+l) (n)后，重新计算向量之二，，也即 _4.}(i+1) (n)_k, .t(\") (n) 八，、一7乙兀一一1乙兀一 几rl1十1J「\" ! I c ..以 ! I c 1}n,l=L‘一，„，‘ (4.26) 对于剩下的路径p, 1<- p<-L且p- l，则不对其对应的时延和增益作任何改变，也即令 Z(i+1)n, p一Z(')n, p (4.27) 公·‘)(n)一hp') (n) (4.28) 置迭代次数i=i+1。 3)当算法收敛后，迭代结束。 通过上述步骤可以获得信道路径时延和路径增益的最大似然估计式(n)和乓(n)。最后，信道的 频域响应估计由下式给出 底(k)一艺乓h·。 一户二kXn)-j2/7 -KT,,-，-K- 进行求解，因此计算复杂度大大降低。另外从步骤2)还可以看出，在迭代过程中，路径时延和路径 增益的更新是同时进行的。 4.4.2求解一个低复杂度的两参数最大似然估计问题 利用SAGE算法对式(4.19)进行求解时，在每一次的迭代中都包含了一个两参数的最大似然估 计问题。本小节针对该问题，提出一种两步求解法，也即首先对路径时延进行更新，如下式所示 、)(n)一arg塑rllty/i，(t)(·卜zn，Z zarg min j }O/h2(')(n)-Zn,l (4.30) 然后再利用最新的时延估计值对路径增益进行更新。 根据zn.，的定义可以知道，它的每个元素都是以路径时延2z (n)为参数的复指数函数，因此可以 将式((4.30)中路径时延的最大似然估计问题转化为一个复指数函数中的频率估计问题，也即估计 东南大学博士学位论文 Z imt (km一HnJ (km)/' 01(t) (n) =Zn,t (km卜、 _。- j 2)G kml 1 s n)2、、 (4.31) 中的以h，其中m一0,...,M -1;亥兮(气)和Zn Z (k}n)分别为宜思和Z n.，中的第m个元素;、 为噪声。对于含噪复指数函数中频率的估计，文献「101]给出了一种基于牛顿法的快速ML估计算 法，它包含粗略估计与精确估计两个部分。由于这里可以将澎') (n)作为2t (n)的初始估计，因此只需 对其进行精确估计即可。根据[[101]中的迭代思想，我们可以利用下式得到讨+1)(二)的估计值 ,it(t+l)、。，一、，)、。，一、}二 一‘兀“ 艺k }n粼(动 (20)( ))...m n,t m n,t m M-1k2 . Z(;)(、)( z(i)m n,t(kJ( n,t(、))‘ { (4.32) 其中Zntt (km)一。-j2)rk,, j(')(n)/KTs为Zn.，中的第m个元素。由于噪声会影响路径时延估计的准确性， 因此在计算式(4.32)之前需要对之分(气)进行滤波。鉴于路径时延变化缓慢的特点，一阶低通滤波 器即可达到滤除噪声的效果。 在获得路径时延的最新估计值后，接下去可以通过一种简单的平均得到路径增益h(;+1> (nt)的最大 似然估计，也即 h(;+1) (n)t _愚H(,> (k) /z(;+1) (k )n,t m / n,t mm=o M 考“ (4.33) 这样就完成了两参数的最大似然估计。 4.5算法复杂度分析 在初始化阶段，MDL准则需要对宜进行特征值分解，因此其计算复杂度为((M一P+1)3的数量 级;同样对于ESPRIT算法，由于需要对乒进行特征值分解，因此其复杂度为L0 +(M-P)P的数量 级。尽管初始化时的计算复杂度很大，但它只需运行一次即可。 对于跟踪阶段的计算量，我们用每个OFDM符号间隔内获得信道路径时延和增益所需要的复数 乘法(Complex Multiplications, CMs)次数来衡量。当利用SAGE算法求解式(4.19)时，初始化部 分需要LM CMs。由于每次迭代中只对一个路径上的时延和增益进行更新，因此除了在第一次迭 代时计算量为LM + 4M CMs，其余迭代中计算量均只有5M CMs。这样计算式(4.19)总共需 要2LM+4M+5M(1一1) CMS，其中I为迭代次数。下面给出文献「98]中基于参数化信道模型估 计算法所需要的计算量。 文献「981使用了IPIC DLL来跟踪各路径的时延，并用如下MMSE估计器来获得路径增益 h(n)一Rhfl, R斌H, Hn (4.34) 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 其中h (n)一氏(n),...,凡一，(n)] T;RhH。一E}h(n)Hn);RHnH。一E{宜。 flH}fln n。这两者的计算复杂度分别 为6Llhl CMs和2LM+EM+2若CMS，因此对于文献「98]，跟踪阶段的计算量总共为 8LM+L2M+2若CMS。在仿真部分，我们将根据给出的系统参数，比较上述两种算法的计算量。 4.6仿真结果及讨论 与文献[98]类似，本章仿真选用为测试UNITS无线接口建议而定义的“Vehicular A”信道环 境。该信道的路径时延{动和路径增益{h, (t)}的方差如表4.1所示。信道的最大Doppler频率设为无- 100 Hz- 表4.1 ETSI \"Vehicular A”信道环境特性 路径时延(nseo) 归一化时延(TJ 平均功率(dB) 310 710 1090 一10 1730 一15 2510 12.55 -20 仿真考虑一个有K = 1024个子载波的QPSK-OFDM系统，其中K,,+1 = 901个子载波用来发送数 据，剩余的子载波作为虚拟子载波。系统采样间隔为TS一0.2 Bs，经采样间隔归一化后的信道各路径 时延也显示在表4.1中。系统工作在2.4 GHz的频段内，所分配的带宽为5 MHz，其码元保护间隔 取16个OFDM采样间隔，也即乓一3.2 Bs。包含保护间隔在内的整个OFDM码元长度为T=208 p, 取相邻导频之间的间隔为场一32，则在K,,+1个传输子载波中共有M = 29个导频子载波，对于导频 值的选择可以从QPSK符号中任意挑选一个。根据上述参数，可以求得文献「98]中估计算法在跟 踪部分的计算量约为2508 CMs o 将本章所提的估计算法独立进行500次仿真，且每次仿真包含1000个OFDM码元。系统采用 估计的均方误差(MSE)和误符号率(WER)作为性能指标，其中MSE的定义如下 MSE一1Ku + 1葺E} fn(k，一Hjk)2 1 图4.2给出取不同迭代次数时估计算法的均方误差曲线。信噪比(SNR)定义为EblNo，其中Eb 代表每个信息比特的能量。从仿真结果可以看出，经过8到10次迭代后，不同信噪比下的估计均方 误差都很快收敛到最大似然解。因此下面的仿真中迭代次数均取为I=10。由此可以得到所提算法 的计算量约为1769 CMs，比文献「98」中所提算法的计算量减少了约30%0 东南大学博士学位论文 W 的 乏 Number of Iterations 图4. 2取不同迭代次数时的估计算法的均方误差 图4.3与图4.4分别给出在不同信噪比下，三种估计器的MSE性能，其中包括基于非参数化信 道模型的MMSE估计器[3 8]. [64]基于参数化信道模型的估计器[[98〕和本章所提的采用10次迭代的估计 器。信道完全己知时系统的WER曲线也在图4.4中给出，以作为参考。 从图中可以看出，由于基于参数化信道模型能有效减少信道相关矩阵的信号子空间维数，而信 号子空间维数的减少可以提高估计的性能，因此本章所提的估计算法在MSE与WER上分别比基于 非参数化信道模型的估计算法提高了SdB和ZdB o另外，由于所提算法避免了矩阵求逆，并同时对 路径时延和增益进行估计，因此与文献[98]中同样基于参数化信道模型的算法相比，不仅降低了计 算量而且使性能也有所提高。 下面测试所提算法在路径时延缓慢变化时的跟踪性能。这里假定路径时延}l e 1 }l 化后的第二条路径时延z}的估计值与真实值曲线。从图中可以看到，所提算法能较好地跟踪上变化 的路径时延。 第四章OFDM系统中基于参数化模型的最大似然信道估计 w 凶 乏 SNR(dB) 图4. 3分别采用下列三种估计算法时系统的MSE性能:本章所提的基于参数化模型的最大似然估 计算法;基于非参数化模型的MMSE信道估计算法;文献「9$]中基于参数化模型的信道估计算法。 proposed method non-parametric channel model method in [98] perfect channel knowledge, 图4. 4分别采用下列三种估计算法时系统的WER性能:本章所提的基于参数化模型的最大似 然估 计算法:基于非参数化模型的MMSE信道估计算法:文献[98]中基于参数化模型的信道估计算法: 信道理想已知时。 东南大学博士学位论文 ︹s匕洲卫。P。E一利兰叮d 图4.5 SNR = 20dB时，所提算法对路径时延zz变化的跟踪 4. 7本章小结 本章针对稀疏的多径信道提出了一种基于参数化模型的信道估计方法。在获得信道路径数和路 径时延的初始值后，该方法基于最大似然准则对路径时延与路径增益同时进行更新。对于所产生的 多参数最大似然估计问题，本章利用SAGE算法来将其进行分解，以降低计算复杂度。对于分解后 每次迭代中的两参数最划以然估计问题，本章采用一种基于牛顿法的快速ML算法来获得路径时延 的ML估计，然后采取一种简单的平均方法来获得路径增益的ML估计，这种简单的ML估计方法 可以避免矩阵求逆。仿真结果表明，所提方法不仅优于基于非参数化信道模型的估计算法，而且在 性能和计算复杂度上也优于同样基于参数化信道模型的已有的估计算法。 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变信道估计 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变信道估计 5. 1引言 不论是第二章中介绍的经典信道估计算法以及随后提出的针对MIMO OFDM系统的改进算法， 还是第三章中最优导频序列设计所采用的信道估计算法，它们都是基于式(2.7)所给出的数学模型， 也即在信道拟平稳假定成立的条件下推导而来的。实际上，由于宽带无线传播环境的复杂性而使得 无线信道具有频率选择性和时间选择性的双选择性，因此传输信号在时间和频域上都将遇到难以预 计的衰落。特别是对于OFDM系统，信道的时变性会破坏子载波之间的正交性，从而导致子载波间 干扰(ICI)的产生。当信道时变性较强，也即发送的OFDM符号间隔与信道相干时间之间可以进 行比较时，信道拟平稳的假设不再成立，此时必须考虑ICI对系统的影响。 实际中，会有很多因素导致ICI的产生，比如相位噪声、载波频偏等等，但在本章中，我们假 定其他条件是理想的，只考虑由信道时变性引起的ICI。由于ICI对信号干噪比(Signal-to-inter -carrier-interference-plus-noise, SINR)的影响很大，因此当给定了数据传输速率和SINR之间的关系 时，ICI的存在会使整个系统的吞吐量下降。关于ICI对系统性能所产生的具体影响，国际 上已经有 许多文献进行了分析[78].[103]。例如在文献「104]中，根据中心极限定理，ICI被建模成一个高斯随机 过程，从而可以在此基础上分析它对系统误比特率(BER)的影响;文献「105]分析了在不同的多 谱勒频率下，ICI对系统性能的影响;文献「106」则证明了对于宽平稳不相关散射(WSSUS >信道 [logy]，当OFDM符号间隔大于8%的信道相干时间时，SINR将低于20dB。由此看来，消除ICI对于 OFDM系统来说是非常重要的。不管是采用ICI自消除算法[los}还是采用时域滤波的方式消除ICI 都需要知道信道的信息[109].[111]，因此这就对信道估计技术提出了挑战。由于此时在一个OFDM符号 间隔内，信道特性都会发生明显的变化，因此若仍基于信道拟平稳假定而推导相应的信道估计算法 必然会导致估计误差平台的出现。由此看来，研究快时变环境下OFDM系统中的信道估计算法是十 分必要的。论文将从这一章开始，进入到OFDM系统中时变信道估计算法的研究。 前面已经提到，当信道拟平稳假定成立时，ICI的影响可以忽略不计，从而可将OFDM系统的 接收信号模型表示成如式(2.7)所示的一个简单形式。在这样一个接收信号模型的基础上，我们可 以推导出包括频域或时域的LS算法、利用信道统计特性的MMSE算法、LMMSE算法和鲁棒算法 等等在内的各种信道估计算法。但当信道拟平稳假设不再成立，也即信道在一个码元间隔内的变化 不能忽略不计时，子载波k -上的接收信号将受到来自其他子载波上发送信号的影响。由于子载波间 的正交性遭到了破坏，因此待估的频域参数将从原来的K个猛增到KxK个，其中K为系统子载波 数。这时即使所有的子载波上都发送导频信号，也难以将未知的频域参数全部估计出来。考虑到信 道时域与频域响应之间的关系，且时域上的待估参数要远小于频域上的待估参数，因此在快时变环 境下，估计算法大多针对信道的时域冲击响应进行[110][111] 虽然在快时变环境下，信道时域冲击响应的参数为KxL个(其中L为等效的信道抽头数)， 远远小于频域中的待估参数，但仍是时不变或慢变情况下信道时域冲击响应参数个数的K倍。因此 若要利用一个OFDM符号中的导频直接估计出所有的时域参数是不现实的。由此本章提出了一种利 用低通插值的时变信道估计算法，其主要思想如下:首先，利用导频估计出当前符号间隔内KI一个 信道时域待估参数中的一小部分，如PL个(P+K)，然后，通过对已估计出的参数进行低通插值得 东南大学博士学位论文 到当前符号间隔内剩余的待估时域参数。 如第三章所述，导频的分布与取值对估计算法有着很大影响，每一种估计算法都有其对应最优 或较优的导频序列，好的导频序列能极大提高估计算法的性能。因此，本章在所提算法的基础上讨 论了较优的导频分布。可以证明，在快时变环境下，分组且每组均匀分布的导频序列要优于等间隔 分布和集中分布的导频序列，它是相应于所提估计算法一种较优的导频序列。 本章的安排如下: 介绍快时变环境下OFDM系统的等效基带模型。 提出利用低通插值的时变信道估计算法，并给出相应较优的导频分布方式及组合系数的 选择方式。 给出仿真结果，比较了所提估计算法在不同导频分布方式下的性能，同时也比较了所提 算法与已有的时变信道估计算法的性能。 为本章的结论。 5.2时变环境下OFDM系统的等效基带模型 第二章中已经给出了OFDM系统的等效基带模型，这里简单重述如下。在接收端，子载波k上 的接收信号可以表示为 Y(k，一”FT}y(n)‘一K蕙y(n)ej2nnk/K =G(k, k)X (k)+艺G(k, s)X(s)+W (k) (5.1) s=o,s#k 、一一一一一一一一一~一 丁c丁 其中K为系统子载波数;n,k=0,1,...,K一1;y(n)为去除了保护间隔的时域接收信号;X (k)为子 载波k上的发送信号;W(k)是零均值且方差为嵘的高斯白噪声。上式等号右边的第二项代表了由信 道时变引起的ICI，不难得出其中G(k,s)的表达式为 1 k上L- G(k, s’一K蕙菩h(n;l)ejlmn(‘一“)lKe-j2mselK (5.2) 其中h(n;l)为时变信道的等效离散冲击响应;索引值n表示当前符号间隔内第n个采样时刻;l表示 等效的第l个信道抽头;L为等效的最大信道抽头数。 若分别定义Kxl维的接收、发送和噪声向量Y = [Y (0), Y (1), ..., Y (K -1)] X=[X(0),X(1),...,X(K一1)]T和w=[W(0),W(1),...,W(K一1)]T，则式(5.1)可以表示成如下矩阵 形式 Y=GX+W =FhFHX+W (5.3) 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变信道估计 其中F为标准的KxK维DFT矩阵;h为KXK维时变信道冲击响应矩阵，其表达式如下 [h(0; 0) 0·h(0; 2) h(0;1) 一“(1;卜h(1; 0)’:’.’h(1; 3) h(1; 2) h一“(L一I; L一1) h (L一I; L一2)‘0: 0 一:::h(K - 2; 0) 0 L 0 0„h(K一1;1) h(K一1; 0) (5.4) 当信道时不变或慢时变时，由于一个符号间隔内的h(n;匀可以用一个不随采样时刻n变化的值来代替， 也即h(n; l)二h(l)，因此式(5.4)所示的信道冲击响应矩阵h将成为一个块循环矩阵，而信道频域响 应矩阵G也将随之成为一个简单的对角阵。这就意味着在信道拟平稳假设下，信道时域和频域上的 待估参数分别为L和K个。但当信道快时变时，由于ICI的影响不能忽略，因此信道时域和频域上 的待估参数分别增加到LxK和KxK个。 5.3基于低通插值的时变信道估计 本节将针对时变环境，提出一种基于低通插值的信道估计算法。如前所述，在快时变环境下， 由于子载波间干扰的存在，信道频域响应矩阵G不再是一个对角阵，此时的频域待估参数为KxK 个，因此，若用导频直接估计如此多的参数是不现实的。另一方面，由于此时信道的时域待估参数 只有LxK个，而将信道响应从时域变到频域又十分容易，因此所提算法是针对信道的时域响应进行 估计。 定义当前符号间隔内第n个采样时刻上的Lxl维信道时域冲击响应向量 h-=[h(n;0),...,h(n;L一1)] (5.5) 其中0<-n<-K-to则由式(5.4)可以知道，信道时域矩阵h中包含了K个这样的Lxl维向量h,,, 分别对应于K个采样时刻。因此尽管此时信道时域待估参数远远小于频域待估参数，但仍要多于信 道拟平稳假定时的L个，所以即使在所有的子载波上都发送导频信号，也还是难以对这些参数进行 精确估计。为了利用有限的导频估计出所有的信道时域参数，我们将第二章中提到的频域插值思想 引入到时域中，也即采用时域插值的方法来获得所有的待估参数。所提算法的基本思想如下:假定 在一个OFDM符号间隔内，第n与n+l个采样时刻上的信道响应没有突变，则可以由导频首先估计 出该符号间隔内所选定的P个时刻上的信道向量，也即hp(o) , ...,hp(p_,)，然后再利用这些已估计出 的信道向量进行插值，得到其它剩余时刻的信道向量。本节下面的内容就将对所提的低通插 值估计 算法进行具体描述。 5. 3. 1 P个选定时刻上的信道向量估计 当只估计P个采样时刻的信道向量时，由于P+K，因此所要估计的信道参数个数由原来的 东南大学博士学位论文 双个锐减到PL个，对于给定数目的导频，减少待估参数的个数无疑能提高估计的性能。为了利用 导频直接估计出所选定的PL个参数，需要将导频子载波上的接收信号表示成与这PL个参数相关的 形式，也即表示成hp(o) , ..., bp(p-1)的函数。根据式(5.1)和(5.2)可以知道，要想达到上述目的， 首先要将非选定时刻上的信道冲击响应h (n; l)表示成选定的P个时刻上信道冲击响应h(p (p); l)的 函数形式，其中0<_ p<_P一to 当假定信道在第n与n+l个采样时刻上的响应没有突变时，h(n; l)与h(p(p); l)之间可以有如下 关系式 h (n; l)=a万[h(p(0);l),...,h(p(P一1);/)]' 0<_l<_L一1, n v-尸 (5.6) 其中an= [an (p (0)),..., an (P (P一l))了为Pxl维组合系数向量;p = }P(0),..., P(P一1)}为选定的P个 时刻集合。有了这个关系式，就可以将式(5.2)中的G(k, s)重写为 K-1 l,-1 P-1 G(k,、)一I I I Y an (P)h(P(P); l)e j 2}cn(s-k)/K e - j 2}csl/K 八n=0 l=0 p=0 (5.7) 注意这里G (k, s)实际上只是G (k, s)的一个近似，其近似程度与组合系数a。有很大关系，对于a。的 选择将在后面的部分进行讨论。 为了将接收导频信号写成hp(p)的函数形式，接下来我们定义一个1xL维的行向量 b讯)=[b言gyp) (0),..., b言(p) (L一1)] (5.8) 其中每一个元素的表达式为 bk,s‘ l =e-jznsl/K-p(p) ( )K蕙an (P)ej 2nn(s-k)lK (5.9) 这样，式(5.7)就可以表示成hp(p)的函数形式，也即 6(k, S)一艺b魏)h p(p) (5.10) 若进一步将选定的P个时刻上信道向量hp(p)组合在一起，形成一个PLxl维列向量 h一[hT。。)， ..， h T。:一1) lp(0)'' ' p(P-1), (5.11) 则式(5.10)还可以表示成一个更紧凑的形式 G (k, s)=bk0sh (5.12) 其中bk0s = (b k,s p (0)，„， b豁-1))为1xML维行向量。这样，有了G(k, s)的表达式后，就可以由式(5.1)得 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变信道估计 到子载波k -上的接收信号为 K-1 Y(k)=X (k)bk0kh+艺X (s)b\"h+W(k) (5.13) s=o,s#k 、--------一- 丁c丁 若假定每个OFDM符号中所包含的导频数为M,导频分布为‘l了={肠，„，硫-1 )，则根据上式可以得 到M个导频子载波上的接收信号，将这些接收信号写成方程组的形式有 X(瓦)bko,ko (5.14) X (k-A4 -1 )b km-\"km -- 刁||||||||||J 、.尸 、.尸，.. ，尤订 Y右钊 Y 或写为 Y(wr)=B(M)h+noise (5.15) 对于形如式(5.15)中6的估计，通常的做法是利用矩阵B (M。的伪逆。 和bkmP(夕之间存在着比例关系，因此由其构成的矩阵B (M)并不是列满秩。 但不难证明，由于系数bkm.kmP (P) 利用这样一个矩阵的伪逆去 估计6将是不准确的。因此为了构造一个列满秩的矩阵B(M)，文献「78]中提出一种结合所有发送 导频的方式，这里我们也借用这种方法。 由式(5.13)，可以将导频子载波上的接收信号重写为如下形式 Y(kj=X(k )bkm0kmhm+艺X(r)bkm0rh+W(k,.) r=O,rtkm 一二(km)b一。一 艺 k, E切，stm X (s)bkm,ks)“·: 艺X(r)bkm 一丫(5.16) ’‘{“+w(km) 从上式的第二个等式可以看出，根据发送的信号是否为导频可以将1c1分成两个部分，分别对应于 导频产生的干扰和信息数据产生的干扰。这样，为了构造一个列满秩的矩阵，可以将与导频信号有 关的部分全部联合起来，也即将式(5.16)进一步写为 ·(、)一、互X(k )b km0ksSEM)“·:互X(r)bkm，rCr}M!“一(、) (5.17) =6km6+e(k ) 其中bkm和。(气)分别定义为b k'\" -}ksE,}(X(ks)bkm0ks)和。(km) = (Y-,, X (r)bkm0Y )h + W (k. ) o根据式 (5.17)，可以重新得到关于h的M个线性方程 I叼」[“川。「e (k-,,)」 :一_:一“+一:一 Y(kM_})」LbkM一1」Le(kM-1)」 Y(、)=B(M)h+ecM} (5.18) 或写为 (5.19) 东南大学博士学位论文 由于矩阵B (M)列满秩，因此可最终得到6的估计为 6一Bt (M)Y(M) (5.20) 其中B(M)一(BH (M)B(M))一‘BH(M)。 从估计6的过程中可以看出，矩阵B(M)的构造与导频分布有着密切的联系，正如第二章所述， 导频的分布将会直接影响到估计性能的好坏，因此需要仔细选择。可以证明，干扰项。(km)的方差 E}e(km )112}是一个随《km -k )modK)递减的函数[7s]，这就意味着当导频子载波k,离km (s#m) 越近时E}e(km )112}越小。由此可以推得在快时变环境下，上述估计算法要求导频尽可能的集中分布。 但另一方面，在时不变频率选择性信道下，均匀分布的导频是最优方案旧}，因此对于时变且频选的 信道环境，导频应该分组放置，每组由连续的导频点构成，且组与组之间等间隔分布。本章的仿真 部分将对上述关于导频分布的结论进行验证。 下面对组合系数a。的选择做一个简单的讨论。当不对信道做任何假设时，选择an 数是一种最简单的方式。例如当P=2时，若选择第0时刻和第K一1时刻的ho和hK_, 接估计的信道向量，则a。可以取 为线性插值系 作为由导频直 an=[an (0), an (K一1)] T _一K一1一” n K一1 (5.21) K一1 倘若事先知道信道模型的相关信息，则可以使用更为精确的组合系数。以Jakes模型[logy}为例(此时 信道时域相关性满足E}h(m;l)hH (n; /)) = Jo (2z几(m - n)T )，其中几为多谱勒频率，TS为采样间隔， Jo(x)为零阶贝赛尔函数)，当P=2，且同样选定信道向量h。和hK，时，则可以通过最小化误差 E{一“(。;‘)一an h(l)一2}来获得组合系数an，其中“(‘)一「h(0; l), h(K一1;1)]T o、。用正交险原理可以得至。 此时的a。为 其中Rhn‘一E }h(n; l)6H (l)}， 阵的具体形式 aHan一R、‘ R1, O 则可以得到相关矩 Rhn -[Jo[n], Jo[K一1一n]] Rnn一[;一1}JO1][:一，一 (5.23) 本章的仿真部分将给出分别采用这两种组合系数时估计算法的性能比较。 5.3.2剩余时刻上基于低通插值的信道向量估计 当利用导频估计出给定时刻的信道向量h后，需要通过某种插值来获得其他剩余时刻上信道向 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变信道估计 量hn ( h}对)的估计。从上节对组合系数a。的讨论中就可以看出，一种最简单的方法就是根据 式臼.6)，直接由事先给定的系数a。插值得到6、}?s}n。但是断中插值方法仅仅只利用了当前OFDM符 号间隔内已估计出的P个信道向量。我们知道，信道响应在时域上是存在相关性的，因此如果将前 后若干个OFDM符号中已估计出的信道向量联合起来估计当前符号间隔内剩余时刻的信道向量，则 应该可以改善估计的性能。本章所提的低通插值算法就是基于这样的考虑。 信道的多谱勒功率谱反映了信道的时变特性，它给出了信道在多谱勒功率谱上的谱扩展。信道 的最大多谱勒频率定义为 fn=V/兄 (524) 其中V为移动台速度，兄为信号的波长。从实际信道的多谱勒功率谱可以看出[yo}}时变信道是一个 带限信号，因此根据奈奎斯特(N}quist)抽样定理，可以通过理想内插在均方意义上恢复该带限信 号，也即插值后得到的值与理想值之间的均方误差可以达到最小。在实际OFDM系、统中，由于信道 的最大多谱勒频率远小于系统的采样速率[}nz}，因此将若干个OFDM符号间隔内已估计出的信道时 域响应值作为时变信道的采样点是符合抽样定理条件的，通过对这些采样点进行低通内插就可以获 得所有采样时刻上信道的时域响应。 定义当前符号间隔内的信道时域冲击响应为hcul(n;l)，假定已经获得了当前符号间隔内给定时 刻上信道冲击响应的估计值凡ux(爪川l)、当前符号前R个符号间隔内给定时刻上信道冲击响应的估 计值{}}e }P}P)}l)}R=}和当前符号后R个符号间隔内给定时刻上信道冲击响应的估计值 }}aSx}P}P)}l)}R }，则根据前面的分析，可以把辛e(烈川、l)，辛e'}P}h)}l).，h},}}P}P)al) 橄s} }P}P)} l )，二，职st(ptP)>l)这2R+1个估计值作为时变信道时域响应的一系列采样点，通过对 它们进行低通插值来得到h},} (}}l)的估计。不难看出，对于每一个给定的时刻爪川，都可以由上述 低通插值方法获得hcur(n;l)的一个估计，因此，对于当前符号间隔内的某一个时刻。来说，总共可 以获得1} (n} })的P个估计值{恕(n;l)‘其。将这“个估计值几进行组合后就可以得到}}} }}al)的最终 估计，也即 h}} (n; l)一艺气cP} }}cxph},} n,l ,。、‘、一‘ (5.25) 其中ap为组合系数，满足Fm aF一‘。拜中最简单的组合方式就是对这p个估计值求和取平均，也 即取Gyp -1}F。由于上述算法使用到了后R个祠号间隔内给定时刻上信道时域响应的估计值，因此 对当前符号间隔内信道冲击响应的估计会延迟R个符号，但对于快时变信道，实际操作的时候R一 般取1即可。 下面以P=2, R=1为例将上述算法具体化。选择第0时刻和第K一1时刻作为给定时刻，从而 可以用导频直接估计出这两个时刻上的信道向量h。和h} _,。假定己经获得了估计值瓜(0;z)， 反二(K一1;l)，橄。(0、l)，橄。(K一1、l)a host }Da l)和}'osc }K-hl)，其中。 通过对一估值h}} (K一l;l)，hIe (K -l,l)和橄sr.(K一1;l)进行低通插值还可以得到hcUr(n;l)的另外一个 估计，记为礁(n;l)。这样，将两个估计值按照下式进行组合即可得到反二(n;l) 东南大学博士学位论文 瓦_(n;l)翻}o>- (n; l) = ahh .-} (n; l) + (1一a)礁(n; l), 0<。 得到信道时域响应h(n;l)的估计算法的性能。 5.4仿真结果及讨论 本章所用的OFDM系统参数如表5.1所示，其中信道的每个抽头系数均为时间相关函数满足 Jakes模型的独立同分布随机变量。 表5.1 OFDM系统参数 系统参数 FFT点数(K) 参数值 系统带宽 800 kHz 信号调制方式 QPSK 信道模型 Jakes模型 等效信道抽头数(L) 载波频率 2.4 GHz 由表中给定的系统参数可以知道一个OFDM符号的码元间隔为T = 800 p，当信道多谱勒频率 取几= 400 Hz时，系统的相对多谱勒频率达到了几T = 0.032，所以ICI对系统的影响不能忽略不 计。仿真中取P=2，给定时刻为第0和第K-1时刻，也即直接由导频估计出的信道向量为ho和hK_1 0 另外，对于所提算法，我们取R=1。系统采用估计的MSE作为性能指标，其定义如下 钊招。fl，，，、:，7,121 么念“Slnkn;c’一“L“，‘’lJ 下面的仿真将考察导频分布对所提信道估计算法的影响。根据5.3.1节，我们设计了三种不同的 八J工、~ 24 导频分布，分别为:(a)分组分布，导频被分成四组，每组之间等间隔，也即‘lil = }6, 7, 8, 9, 22, 24, 25, 38 49_ 53_ 57 39, 40, 41, 54, 55, 56, 57); (b)等间隔分布，‘lil = } 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, ,61}和(。)集中分布，‘44 -X24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39)。三 种不同导频分布所对应的导频序列的取值均相同。由于只是比较导频分布对性能的影响，与 插值系 数a。无关，因此仿真中的a。就采用式(5.21)中给出的线性插值系数。 图5.1给出三种不同导频分布下，所提估计算法的MSE性能。从图中可以看出，导频分布对估 计算法的性能影响很大，当导频集中分布时估计算法的性能最差，而当导频分组分布时估计算法的 性能最好。正如5.3.1节中所分析的，由于干扰项的方差是一个随导频之间距离递减的函数，因此对 第五章OFDM系统中基于低通插值的时变作道估计 w 的 乏 SNR(dB) 图5.1采用如下三种导频分布方案时所提估计算法的MSE性能:导频分成四组，每组等间隔分布; 导频均匀分布;导频集中分布。 于本章所提的时变信道估计算法来说，在信道时变且频选的情况下，采用分组导频分布估计给定时 刻信道向量所产生的估计误差要远小于采用其他两种导频分布进行估计时所产生的误差。 上面的仿真结果验证了分组分布的导频方案是相应于所提估计算法较优的一种选择，因此在本 章后面的仿真中，所提估计算法均采用分组分布的导频序列。在接下来的仿真中，我们将把所提的 低通插值估计算法与获f} h后直接按照式(5.6)来估计h伪;l)的算法(后面简称直接组合估计算法) 进行一个比较，结果如图5:2所示·与上一个仿真一样，所提算法中利用到的组合系数a、就取简单 的线性插值系数，而直接组合估计算法中的系数a。则分别采用线性插值系数和根据式(5.23)计算出 的Jakes模型系数。 从图5.2中可以看出，对于直接组合估计算法来说，采用由Jakes模型导出的插值系数比采用线 性插值系数要略微好一些，但是两者的差别非常小，因此从实际实现的角度考虑，采用线性插值系 数就是一个很好的选择。另外从图中还可以看出，与5.3.2中所分析的一致，本章所提的低通插值方 法要优于直接组合的估计算法，它在MSE上比后者有约1.8 dB的性能提高。 5. 5本章小结 本章对快时变环境下OFDM系统中的信道估计进行了研究。由于快时变时待估信道参数较多， 因此所提算法引入时域插值的思想，并根据时变信道的多谱勒功率谱具有带限的特点，提出了一种 东南大学博士学位论文 W 的 乏 SNR(dB) 图5.2本章所提估计算法与直接组合估计算法的MSE性能比较，其中直接组合估计算法分别采用 线性插值系数和Jakes模型插值系数。 基于低通插值的估计算法。算法利用导频序列首先估计出一个符号间隔内给定时刻上的信道冲击响 应，然后将这些已估计出的值作为信道时域响应的采样点，通过低通插值恢复出一个符号间隔内其 余时刻上的信道冲击响应。本章的仿真将所提算法与己有的一种时变信道估计算法f}sl，也即直接组 合估计算法进行了比较，结果表明，由于利用了信道的相关信息，所提算法比直接组合估计算法在 MSE性能上有一定的提高。另外，本章还讨论了与估计算法密切相关的导频分布问题，可以证明， 分组且每组均匀分布的导频序列是相应于所提算法较优的一种选择，这一结论在仿真中得到了验证。 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估 计及相应导频序列的设计 6. 1引言 上一章针对快时变环境下，OFDM系统中的信道估计问题进行了研究，提出了一种基于低通插 值的估计算法，该算法没有对信道的变化做更多的假设。但事实上，当系统相对多谱勒频率小于0.1, 也即一个OFDM符号间隔小于10%的信道相干时间时，信道在一个符号间隔内的变化可以近似看成 是线性的[[11s]，由此可以将这种线性模型应用到信道估计中来，将信道时域响应建模成一个线性函数。 我们知道，对于线性函数来说，只要知道线性变化的斜率和某一个参考点的值，就可以重构整个函 数。这就意味着若将信道时域冲击响应建模成线性函数，则只需估计出信道时域响应变化的斜率和 某一个采样时刻的时域响应即可，其余时刻上的信道时域响应可以通过线性模型随之得到。这种利 用模型的思想与前一章利用时域插值的思想类似，在很大程度上降低了快时变环境下信道估计任务 的复杂性。基于这种信道变化满足分段线性模型的假设，本章提出了两种MIMO OFDM系统中的时 变信道估计算法。 所提的两种估计算法都是以当前符号间隔内中间时刻上的信道时域响应作为参考点。在第一种 算法中，我们首先利用导频序列估计出中间时刻上的信道时域响应，然后利用前后两个符号 间隔内 已估计出的中间时刻上的信道时域响应计算出信道线性变化的斜率，最后由线性模型得到当前符号 间隔内其他时刻上的信道时域响应值。不难看出，对于这种算法来说，为了获得线性变化的斜率， 需要知道下一个符号间隔内中间时刻上的信道响应，因此当前符号间隔内所有时刻上信道响应的估 计会延迟一个符号的时间。 针对第一种算法中存在的不足，本章提出了第二种估计算法。该算法利用导频序列直接将当前 符号间隔内信道变化的斜率和中间时刻上信道的时域响应同时估计出来。显然，第二种算法中的待 估参数比第一种算法要多了一倍，因此在发送的导频数相同的情况下，第二种算法的性能要逊于第 一种算法。所以实际中究竟选用何种估计算法，需要根据系统的性能和实时性进行综合考虑。 伴随信道估计算法的是导频序列的设计问题。本章以降低估计均方误差为目标，分别推导了相 应于上述两种估计算法各自最优的导频序列。通过分析可以得到如下结论，对于第一种估计算法来 说，均匀分布且相位正交的导频序列是较优的选择，而对于第二种估计算法来说，分组且每组均匀 分布的导频序列则是较优的选择。 本章的安排如下: 给出快时变环境下MIMO OFDM系统的等效基带模型。 将时变信道建模为分段线性函数，并在此基础上给出相应的系统模型。 提出第一种时变MIMO-OFDM信道估计算法，同时分析了估计的均方误差(MSE)，并通 过最小化MSE得到最优的导频序列。 提出第二种时变MIMO-OFDM信道估计算法，给出相应最优的导频序列。 乙U乙U乙U 东南大学博士学位论文 给出仿真结果。 为本章的结论。 6.2时变环境下MIMO OFDM系统的等效基带模型 论文的第五章已经给出了时变环境下，SISO OFDM系统的等效基带模型，该模型可以直接扩展 到有从根发送天线和NY根接收天线的MIMO OFDM系统中，也即在接收端，接收天线q在子载波 k -上的接收信号可以表示为 丛K-1 Y9 (k)=艺艺G90, (k, s)X p (s)+W 9 (k) (6.1) p=1 S=o 其中K为系统的子载波数;0<-k<-K-1; XP(s)为来自发送天线p子载波、上的发送信号;W g (k) 为第q根接收天线上零均值且方差为嵘的加性高斯白噪声;G9'p(k,s)的表达式如下 G、，，(、，、)一土 K K-1 1,-1 艺艺h甲，刃(n, }ej2)on(hg pCnlJ0‘一‘)lKe-j2mmZlK (6.2) n=o t=o 其中h p, q (n; l)为从发送天线p到接收天线q上时变信道冲击响应的抽样值;L为等效的最大信道抽 头数。 若分别定义Kxl维的接收、发送和噪声向量为Y9 -[Y9(0),Y9(1),...,Y9(K-1)了、 Xp -[Xp(0),Xp(1),...,Xp(K-1)]T和W9 -LW9(0),W9(1)}...,W9(K-1)]T，其中1< p<从， 1 其中F为标准的KxK维DFT矩阵;h 90p为KXK维信道时域冲击响应矩阵，其表达式如下 h 90p (0; 2) h90p (1;3) :0 :hip (K一2; 0) hq,p(K一1; 1) h 90p (0; 1) h 9'p (1;2) 、..r ︵0 : 1 ‘„ P ， 口. h h90p (0; 0) h9'p (1; 1) h 90p= (6.4) 、..r 2 - L 1 - L ‘ P q， h 、..r 1 - L 1 - L ‘ P q， h h 90p (K一1; 0) 可以看出，对于MIMO系统，接收天线q上的信号是来自各个发送天线信号的叠加。由于在快时变 环境下，ICI的影响不能忽略不计，因此此时的系统模型与第二章中所给出的基于拟平稳假设下的模 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 型是不同的。这里由于h 90p不再是一个块循环矩阵，因此对应的G 90p也就不再是一个简单的对角阵。 6.3基于信道分段线性假设下的MIMO OFDM系统模型 前面已经提到，对于时变信道，当发送的OFDM符号间隔小于10%的信道相干时间，也即相对 多谱勒频率小于0.1时，信道在一个符号间隔内的变化可以看成是线性的[113]，因此可以将信道时域 响应建模成一个线性函数。而对于线性函数来说，只要知道线性变化的斜率和某一个参考点的值， 就可以重构整个函数。这就意味着若将信道时域冲击响应建模成线性函数，则只需估计出信道时域 响应变化的斜率和某一个采样时刻上信道的时域响应即可，而其余时刻上的信道时域响应可以通过 模型随之得到。这样就大大减少了所要直接估计的参数个数，从而降低了信道估计的复杂性。那么， 在当前符号间隔内的K个采样时刻中，应该选择哪个时刻的信道时域响应来作为线性模型中所需的 参考点呢? 首先将式((6.1)重写为如下形式 Yq (k)=艺G90p (k, k)X p (k)+ 丛K-1 艺艺 p=1 m=0, mtk G q0 p (k, m)X p (m)+W q (k) (6.5) 、--------------- 丁e丁 假定每个发送天线上的OFDM符号都含有M个导频，且分布均为A}1-- }ko,...,硫_1 )，则由式(6.5)可 以得到导频子载波上的接收信号为 Y甲(气)=艺G9p(k_m,km)Xp(kj+ICI+Wq(km) p=1 Nf (6.6) 一艺Gq,p (km, km)X p (km)+noise 若定义haq,p (l) _艺 Khq,pve n=-lhy0l，则G90p (k, k)可以看成是k q, p'e在k点的FFT变换，因此式(6.6)又 可写为如下矩阵形式 1} q一全diag ([X p(、)，„，xp)」·)“;、:+noise p=1 Nf (6.7) 一艺XpD凡h 90pave+noise P=1 其中y9 -[Y9(ko),...,Y9(硫_1扩和C黔=[G 9'P (ko,ko),...,G9'P硫、，硫_1厂均为Mxl维向量; 丸=diag}[XP(ko),...,XP(kM_1)]T}为M xM维对角阵;h 9,P -[h9,P(p)，. .， h9,P(L_1)]Tave ave ave为Lxl维向 量;风为在倍的标准DFT阵F中对应于导频位置的M行和前L列组成的MXL维子矩阵。若进 一步定义、x城维矩阵B“一「又留凡，..， X90Nf凡]和城x1维向量h ave一[[h黔,...,h黔T了，则式(6.7) 还可以进一步写为一个更紧凑的形式 y9=B9h集。+noise (6.8) 东南大学博士学位论文 由此可以得到h9ave的估计为 69ve=B“卞I' 9 (6.9) 可以验证[11a]，按上述方式估计出的念(l)h q, pave与h 9,P州2-l;l)之间最为接近，也即 一念:(‘)一“9,P(州2一1;1)一2最刁、，因止匕可以用hq0p (lave)作为信道在第州2一1个采样时亥。上的时域口向应估 计，这也就意味着应该选择该时刻上的信道时域响应作为线性模型中所需的参考点。下面给出以 叼2一1时刻为参考点的线性模型。 设可.P为当前OFDM符号中从发送天线P到接收天线q的第l个抽头上信道的变化斜率，则根 据线性模型，时变信道冲击响应h 9,P (n; 1)可以表示成[““} h90 P (n; l)二h 9,P (州2一1;l)+(n+1一州2)xa90PxTr, 0<-n<-K一1 (6.10) 其中TS为系统的采样间隔。由此可以看出，只要估计出h9,P(州2一1;1)和可.P就可以通过式(6.10)获 得h 90P (n; 1)的估计值。将上述信道模型代入式((6.4)后可得到如下矩阵表示 h 9.P二h蓄岌+MxA90P (6.11) 其中h黑和A 9.P均为K X K维的Toeplitz矩阵，h黑的第一列与第一行分别为 [h 9.P(州2一1; 0)， ...， h 90P(州2一I; L一1), 0,„，of和[[hq,P(x12-1;0),0,...,o,hq,P(xi2-1;L-1),...， hq'P(Kl2-1;1)]T，而A的第一列与第一行分别为「a q,p， .， a9.Po， p,...， Of,.. , L _l ,和「a q, P， 0， . .， 0， a 90Po , , , , L_1 ,...,可门T; M是KXK维的对角阵，其对角元素为M(k, k) =T, x (k+1一州2), 0<-k<-K-1。由此，可以将式 (6.3)中给出的接收信号重写为 Y9_夸F(h9,P、MxA90P )FHXP、W ‘.曰、1111以/ P=l 一Altj:(HmPmid+CxHq P e )XP+W9 (6.12) 其中H黑= Fh黑FH，C = FMFH和H纂e =FA 90PFH均为KXK维矩阵。 由于每根接收天线上的信道估计可认为是独立的，因此为了分析的方便，本章后面的部分将省 略其中关于接收天线的索引值q。 6.4第一种时变信道估计算法及相应导频序列的设计 6.4.1时变信道估计算法 由式(6.10)可知，要估计来自发送天线P的信道在第n时刻第l个抽头上的响应值hP(n;l)，需 要知道hp(叼2一1;1)以及该抽头上的斜率可。本章所提第一种信道估计算法的思想就是首先利用导 频估计出hp叼2-1;1)，然后再利用估计出的前后符号间隔内的hp(叼2-l;l)计算出变化斜率可。 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 为了估计出hp(叼2-l;l)，需要将接收信号写为关于hp(K/2-l,l)的函数形式。若定义Lxl维 向量hp二[fhP州2一1; 0，二，hp(州2一13L一1)lT和。P二「可，二，，哈]7则根据Toepltz矩阵的性质， 可将式(}.1为重写为 (diag}FLhP}+CXd‘ag}FLap}}XP+W NtV﹄P=l饥 ~~ Y =艺diag}XP}FLhP+C艺diag}XP}FLaP+W (6.13) F司F司 - Bh+Qvec+W 其中双为由在倍标准DFT阵F的前L列组成的KxL维矩阵;B = [dag}X} NFL } .,.z diag}X}'f }F}: ]为 KxLN}维矩阵;h = h1T， .，,，， h}vtT TL ,. , l为LNt x l维向量;Qvec -艺势(dag,Xp}FLaP)为Kxl维干扰 向量。 假定系统采用的导频数为M(M>-从L }}且导频分布为.1l- }ko,，硫_1}，则同上一小节一样， 我们可以根据式伍13)得到由对个导频子载波上接收信号形成的对个线性方程，写成矩阵形式也 即 =Bh+Qvec+W (6.14) 其中全为Mxl维接收到的导频向量;Qve。和W分别为Qve。和W中对应于导频位置的Mx维向 量;后为MxLNf维矩阵。由此，可以得到h的LS估计为 h=gty 这样就得到了当前符号间隔内来自各个发送天线第K/2-1个时刻上的信道时域响应·若每个 符号中插入的导频序列不变，则Bt只需计算一次即可。 (6.15) OFDM 对于斜率可的估计，由于第一种算法将利用到下一个符号间隔中第叼2-1个时刻上的信道时 域响应估计，也即磕(叼2一lzl)，因此估计会延迟一个OFDM符号，如图6.1所示。 K/2 K/2一1 K/2-1 一 第一部分一第二部分 前个符号卜叫当前符号 后一个符号 图6.1利用前后符号间隔内中间时刻的信道响应来估计斜率 从图中不难看出，可以将当前符号I}} f}r}中的K个习是样时刻以州2-1为界分成前后两个部分f61} 第一部分中信道变化的斜率利用前一个符号间隔第叼2-1个采样时刻上的信道响应橄e挤}2-hl) 来估计，也即 东南大学博士学位论文 哪(l)a, _hP j K12一1;1)一hp(州2一l; l) T 0<_l<_h一1 (6.16) 而第二部分中信道变化的斜率则利用下一个符号间隔第叼2-1个采样时刻上的信道响应 K., (州2一1;1)来估计，也即 Pcz> _hp gt(K/2一1;1)一hP(K/2一l; l) T 0<_l<_h一1 (6.17) 其中T为OFDM码元长度。 有了信道时变斜率和参考时刻上的信道响应估计后，就可以利用线性模型来获得所有时刻上信 道时域响应的估计。由于这里将一个符号间隔内的斜率分成了两个部分，因此信道时域响应矩阵hp 的形式将与式(6.11)有所不同。根据式(6.16), (6.17)和(6.10)，最终可以得到来自发送天线P的 信道时域响应矩阵hp的估计为 hp=hPhm;d+M, x AP+M2 xAP (6.18) 其中M:与M:均为KXK维对角阵，其对角元素分别为 T袱。+1一习2),。=0,...,到2一1 n=K/2，„，K一1 ‘口Mz(一，一{ 0, n=0,...,K/2一1 T袱。+1一到2)，。=习2,...,K一1 护!l -- n n M 卿和盆Pz均为K\\K维的Toeplit，矩阵，盆若的第一列与第一行分别为「哪(l) 衅哪 0,„，0 (‘)1T AP2的第一列与第一行分别为「p(t)，一 ., G}L_1 稍， ，0,..., Of和 0,...川T和 O，„，O (2) 1T 酬名 导频序列的设计 ，，Q‘ l)助 才汀厂，尸，4 八峨八峨、 在这一小节中，我们将根据估计均方误差最小的准则，推导相应于上述信道估计算法最优的导 频序列。由式(6.15)可以得到当前符号间隔内参考时刻上信道时域响应的估计均方误差(MSE)为 、||几IJ 2 /十飞 MSE一卫生E Z一N h一h 、一/ IJ了J H +| ~B H LN E } Btt 次叫 (。„+*)}}21 Bt(Ovec+w)(Qvec+w) (6.19) 次tr“卞E{ Qvec4)vec“卞H·“卞E}QvecWH}“卞H +。卞E{w。袅。}“卞万+“卞E{wwH}“卞H) =MSE,+MSE2+MSE'3+MSEQ 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 首先来看MSEI。将向量Qve。重写如下 Alt Qvec=C艺diag}XP )FLaP P月 Alt =FMFH艺FAPFXP P=j (6.20) 其中GP =FMAPFH为KXK维的一个普通矩阵。由此可知，Qve。的每一个元素都与未知参量aP以 及所有的发送信号有关，又因为官涉及到矩阵求逆，所以很难将MSE1表示成只与导频有关的简洁 形式，从而将其最小化。同理，也很难通过导频的设计将MSE:和MSE:最小化。 最后来看MSE、的最小化。对于零均值的白噪声，由于有E}WWH1=瞬IM，因此MSE、又可 写为 ,ri“卞万“卞)一‘! tr((BHB)一‘) (6.21) 上式中MSE4的形式与论文第三章中所要最小化的MSE形式类似(式3.11)，因此可以采用类似的 推导方式。但不同的是，第三章中考虑的是导频非均匀分布下最优序列的设计，在这里，我们不考 虑虚拟子载波，认为导频可以均匀分布，由此可以推导出使MSE4最小的导频序列为相位正交的导 频序列[6s]，也即发送天线p上的最优导频为等间隔分布，且满足 XP(气)=e-j2nnpmlM (6.22) 其中n，一(p一1)L，b'm E I 0,...,M一11, b'pc l1,...,Nt}。 6.5第二种时变信道估计算法及相应导频序列的设计 6.5.1信道估计算法 正如前面所说，由于第一种信道估计算法利用了后一个符号间隔内参考时刻上的信道时域响应 估计来求得变化的斜率，因此当前时刻的估计会有一个符号的延迟，无法满足实时性要求较高的情 况。因此在该小节中，我们又提出了另一种估计算法，可以将信道的变化斜率和当前符号间隔内参 东南大学博士学位论文 考时刻上信道的时域响应同时估计出来。 由式((6.13)可以得到第k个子载波上的接收信号近似为 Y(k)·Alt一XP(、)、(、)、一。(k, k)X P(、)、(、)一Y C(k, s)X P(·)、(·)二)+、(、)(6.23) P=j\\stk/ 其中FL(s)表示矩阵FL的第、行。根据矩阵C的定义，可推出其第((k; s)个元素C(k, s)的表达式为 C(k,s)= (r+1一K12)e' K(一‘)· (6.24) 户艺间 Ts-K 为了同时估计出斜率和参考时刻的信道响应，需要将式(6.23)表示成这两个参数的函数形式。 因此若进一步定义1x2L维行向量BP (k) = [X P (k)FL (k) C(k, k)X P (k)FL (k)]和2Lx1维列向量 Ti P -[(hPmid丫(aP)T了，则可以将式(6.23)表示成如下有关斜率和参考时刻信道响应的紧凑形式 、二[”‘」 Y (k，一LW (k)”‘B\"` (k)」一+e(k) LT1‘」 (6.25) 其中。(k) = Y- p`--, (Y-s,kC(k, s)X p (s)FL (s)ap) +W(k)。同第一种算法一样，若假 定每个OFDM符号包 含M个导频，且分布为m-- }气，„，偏_1}，则可以得到下面的线性方程组 _Y(ko’一Bl(ko”一B At (k-0 Y(kM-1)J LBl(kM-1)„BNr (k,-1) (6.26) ﹁|||||||||||引 、.尸 、.尸，.. 呱„嵘 C 厂||||||||||L + 门|||||||||||J 1„丛 nn 厂|||||||||||L 门|||||||||||J 或写为Y=BTI+e (6.27) 但仔细观察BP (k)的定义可以看出，由于其元素间具有相关性，因此由BP (k)构成的矩阵B其秩只 有LN一维，不是列满秩。这时若通过求B的伪逆将不能得到信道参数的可靠估计，所以需要重新构 造一个列满秩的B。参考前一章的作法，下面将结合所有的发送导频来重新构造B。 重新定义向量Bp (k)为Bp (k) = f Xp (k)FL (k) L-me,i L (C(k, s)X p (s)FL (s))]，则式(6.23)可重写 Y(k)一鑫(Xp(k)FL(k)“二 艺C(k, s)X P (s)FL (s)aP一+e(k) (6.28) 其中e(k)的表达式为 e(k)=艺 :具C(k, t)X P (t)FL (t，二)一‘、， (6.29) 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 经过重新定义后，又可以得到形如式((6.26)的线性方程组，记为 Y=BTI+e (6.30) 其中B和e均由重新定义的Bp(k)和e(k)构成。当取导频数M>_2从L时矩阵B列满秩，由此可最终 得到Ti的LS估计为 几=Btu (6.31) 这样就同时获得了参考时刻上信道时域响应和信道变化斜率的估计，信道时域冲击响应hP(n;l)的估 计随及可通过式(6.10)获得。 6.5.2导频分布的设计 这一小节将推导相应于上述估计算法较优的导频分布。我们以式((6.29)中的误差e(k)为评判 标准，寻找能使EQe(k)II2}达到最小的导频分布。 为了分析的方便，首先来看频率非选择性时变信道，也即L=1的情况。假定发送信号独立同分 布且;茜足E{一XP (k)一2}一1，贝」由式(6.29)可以得至」 E}IIe(k)一}一Alt一tIC(k, t)Fl, (t)R,p,P F1,H (t)CH (k't)J·07,2 (6.32) 其中R。，。，一E{。刃。HR,P,P -E}apaP嵘一EQW(k)}}2}为加性高斯白噪声的方差(这里认为所有子载波上的均 相同)。由于对于t#k，有艺公(1-州2)ej2nr(t-k)lK -0成立，因此可将式(6.24)中的C(k, t)进一 步写为 户艺﹃ Ts-K C(k,t)= j誓(K，一、): _Ts (6.33) 2)r(t-k)lK一1 上式中第二个等号成立是因 }K-1r rr=o YCO一(W(K(。一‘)一叼+。)/(。一‘) 2成立。 C(k, t)FL (t)RaP(xP衅(t)CH (k, t) 为对于 考虑到L= co = e j(z)r(t-k)ix>，有W =i和 1时R,P,P = 1，所以可以得到 _戮Ts ej2m(t=k)In 一};2m(t=k)In (6.34) ‘一k)/引 月些阿 2一2 cos 根据上式可将EQe(k)IIz}最终表示成如下形式 E{Ile(k)IIz}一鑫 二KT 2) 夕—I+口an 2vt} Al /-一2 cos k 2z(t一k)IK)) (6.35) 东南大学博士学位论文 从式(6.35)可以看出，当非导频子载波t离导频子载波k越远时，它对k的干扰也就越 小，因 此尽可能地将所有导频靠近放置可以使E}IIe(k)II2}达到最小。这就意味着对于平衰落时间选择性信 道来说，算法应采用集中分布的导频。但另一方面，对于时不变频率选择性信道，均匀分布的导频 是最优方式。因此可以推知，对于时变的频率选择性信道，估计算法应采用分组且每组均匀分布的 导频序列，这与上一章低通插值算法中的结论一致。仿真中将验证上述结论。 6.5.3导频取值的设计 上一小节推导了相应最优的导频分布，那么导频序列的取值是否也存在最优的选择呢?本节将 对此问题进行探讨。为了简化分析，下面从L=1,从=1的情况入手，首先考虑快时变平坦衰落信 道环境下的SISO系统。 根据式(6.31)，可以写出此时的估计均方误差为 MSE一忘E{IIA一。Ifl 华E{3t_,EI12E }Ijf? 乙刀tL\" ii jt MSE,+MSE2 (6.36) 同6.4.2节中的分析类似，其中MSEI与发送信号及未知参量都有关，所以很难将其最小化;而 MSEz一责tr}BTEE}WWH)B勺只与t'ht白噪声有关，因此通过选取导频可使得该项最小化。 如前所述，最小化MSE:意味着要求BHB为对角元素均相同的对角阵。假定使用的导频数为M =2，则可以得到此时的矩阵B为 二「B(kn)] B=}一’}= LB(ki)」 X(瓦)C(瓦，瓦)X(瓦)+C(瓦，瓦)X(瓦) X(汽)C(汽，气)X(气)+C(毛，汽)X(汽) (6.37) 根据式(6.24)可以知道有C(瓦，瓦)=C(凡，凡)和C(瓦，瓦)=C*(瓦，瓦)成立，因此若定义 吼=C(气，气)和C=C(气，名)，则可以得到 _-_L,g,双] BB=}，一} L戏戊」 (6.38) 其中六一X(引2+一X(引2 ,g2一C。一X(引2+CX'(ko)X(k-,)+C'X(ko)X'(k-,)+C。一X(引2， 'g3一川X(引2+一C1 12一X(k,)f+一C1 12一X(引2 +C20一X(kl)一2+2COCX' (ko)X(k-,)+2CoC* X (k0 ) X * (k1) 从而最小化MSE:的条件就可具体写为 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 才六一戏 l戏=U (6.39) 将上述方程组进行整理后可得 (C20+一Ci Iz一1)一X(训z+2CoC,* X (k0 ) X * (k, ) 、2COC,X *(ko )X (k,)+(C20+一C,一z一1)一X (k-,)一z一0 c。IX(ko)一z+C,X* (ko)X(k,)+C1*X (ko )X *(k,)+c。}X (k-,)一z一。 (6.40) 将(6.40)中第二个方程乘以2Co再减去第一个方程后可以得到如下方程 一X(ko)Iz+一X(k,)Iz一0 (6.41) 由此可以看出，不存在能满足上式的非零X(k)和X(k1)，这就意味着能使MSE:达到最小的最优导 频取值是不存在的。虽然上述推导只是针对L=1和从=1的简单情况，但从其推导过程及结果可以 推知对于更为复杂的L}1或从#1的情况，最优的导频取值是不存在或是很难获得的。因此，综合 上述分析可以得出结论，对于第二种估计算法来说，分组且每组等间隔分布的随机取值导频序列就 是一种较优的选择。 6.6仿真结果及讨论 本章仿真中的系统参数与第五章类似，考虑的是子载波数为K = 64的QPSK-OFDM系统，系统 的带宽为800 kHz，采样间隔为TS一1.25p。当不作特殊说明时，信道的最大多谱勒频率设为儿一400 Hz，信道的等效抽头数取L=4，且每个抽头系数均根据Jakes模型产生。仿真中采用信道估计的均 方误差(MSE)和误符号率(WER)作为性能指标。 6.6. 1线性模型与Jake s模型的匹配性 在本章所提的算法中，我们对一个OFDM符号间隔内的信道时域冲击响应进行了线性建模，因 此有必要考察这种线性模型与Jakes模型之间的匹配性。由于假定每个抽头上的信道时域响应是独立 的，因此匹配性测试与抽头数无关，这里令L=1。仿真中根据Jakes模型产生的信道共持续S=10000 个OFDM符号的间隔时间，对于其中每一个符号间隔，都以其第州2一1时刻上的信道响应作为参 考点进行线性建模。 图6.2给出了在不同相对多谱勒频率下，两种信道模型的平均拟合误差，其定义为 CMSE一1 }hJKS --o‘·，一h,‘·，一z 东南大学博士学位论文 tiJS芝O 。0 j() 1丫 Relative Doppler Frequency 图62在不同相对多谱勒频率下线性模型与Jakes模型之间的平均拟合误差 从图中可以看出，正如文中所述，当相对多谱勒频率小于0.1时，由线性模型产生的信道能很 好的拟合真实信道，因此在一个OFDM符号间隔内，对时变信道进行线性建模是可取的。但对于相 对多谱勒频率大于0.1的情况，线性模型就不再合适，论文的下一章将对这种更快时变情况下的信 道估计进行研究。 6. 6. 2导频分布对估计算法的影响 对于不同的信道环境和不同的信道估计算法来说，导频分布对系统性能的影响是不同的。这一 部分的仿真将考查两种信道:平衰落时变信道和频率选择性时变信道下，导频分布对所提两种估计 算法的影响。 图6.3和图6.4分别给出平衰落时变信道下(此时信道抽头数L=1)，导频数为M= 4且采用三 种不同导频分布方案时，估计算法的MSE和WER性能。其中三种导频分布分别为:(a)导频均匀 分布，:}l=}1, 17, 33, 49}; (b)导频分为两组，每组等间隔分布，.llil = } 17, 18, 49，50} ; (c)集中 分布，,}1= X31, 32, 33, 34}。从图中可以看出，对于不同的估计算法，导频分布的影响是不同的， 例如对于第一种估计算法来说，采用分组分布的导频序列时性能最差，而对于第二种估计算法来说， 则是采用均匀分布的导频序列时性能最差。但不论对于哪种估计算法，当信道只具有时变性而不具 有频率选择性时，集中分布的导频序列都是最好的选择。这与6.52节以及第五章中的所分析的结果 是一致的。 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 10} 10' 二一共 100~.\". 一 传 今之一 山的乏 拱参 一‘卜 10' 、、、‘弓 ，、、、、 ，伙舒，，一 、石 书毯 仁臼丫活 不孚哎甘泞未 口一一一 a)b)c)a)幼c) 闷.月Jlli，.︻2︻尹︻2 method method method method method method 落洁玄 0 2 4 6 8 1D 12 5NR(dB) 14 16 18 20 图6.3平衰落时变环境下两种估计算法在三种不同导频分布方案下的MSE性能 100 一，，，一，一，一令，”石一‘-一‘一石 炭之 '0. ,, 乍甘份E3};._ __井; -一一少-一一少--一一户--一一扣一 ，。一， 、、 、红 二、一兰 _、 入_.入- 盏、 、卜、 卡 ..- 一、 扩贾一、‘ 叙、 习 \\ 、 逸 :、. 凡、、 叱山劣 、 卜卜v v窿井 一_\\一之 ︸花一卒于一于 一卜 a)b)c) a) b)c) method 1， method 1， method 1， method 2, method 2 method 2, 分县合分任合 2 4 6 8 10 12 SNR(dB) 14 16 18 20 标匕标匕匕订日日日日日比10 它勺 图6.4平衰落时变环境下两种估计算法在三种不同导频分布方案下的WER性能 71 东南大学博士学位论文 图6.5和图6.6分别给出频率选择性时变信道下((L一封，采用以下三种不同导频分布时估计算 法的MSE和WER性能:(a)导频均匀分布，./I}l = } 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61}; (b)导频分成四组且每组等间隔分布，.}l = }6, 7, 8, 9, 22, 23, 24, 25, 38, 39, 40, 41, 54, 55; 56, 57}; (c)集中分布·.ill = {24; 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39。从图中可以看 出，当时变信道还存在多径，也即还具有频率选择性的特性时，导频分布对估计算法的影响就与平 衰落情况有所不同。正如本章中所分析的一样，对于第一种估计算法来说，等间隔的导频分布是三 种方案中最优的，而对于第二种估计算法来说，分组且每组等间隔分布的导频序列则是最优的选择。 另外，由于第一种估计算法中需要用导频估计的参数比第二种算法少，因此在导频数相同的情况下， 其性能要优于第二种算法。但在高信噪比时，由于这种算法出现了误差平台，因此其性能又将逊于 第二种估计算法。 公丁 图6.5双选择性信道下两种估计算法在三种不同导频分布方案下的MSE性能 6. 6. 3导频取值对估计算法的影响 在6.4.2节中我们分析过，对于MIMO OFDM系统，相应于第一种估计算法最优的导频序列是 均匀分布的相位正交导频序列。下面的仿真就将这个推导出的最优导频序列与随机取值的导频序列 进行比较。假定MIMO系统的发送天线数和接收天线数分别为从=2和从=4。仿真中最优导频序 列和随机导频序列都为均匀分布，也即.llil = } 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61 } 0 图6.7和6.8分别给出第一种估计算法在两种导频序列下的MSE和WER性能。从图中可以看 出，由于最小化了白噪声引起的估计均方误差，优化过的导频序列要优于随机取值的导频序列，例 如它在MSE和USER=10-}上分别有约2 dB和1 dB的性能提高。 第六章MIMO oFOM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 鬓 15 SNR(dB) 图6.6双选择性信道下两种估计算法在三种不同导频分布方案下的WER性能 100 卜万「卜二 宋粼二知粼二一乡粼二 抓流忘次橄遥然共_ _一冬一 卜一”旅一划 龚，·一 ;.诩.如令.书 季囊 退.呷八、，岁.呷八、畏岁.雌、 企索 冬 random oPtimal 价牙分肠一同从只 岁。乳八、四” 留气租研狱丫邵 么汀 确笼 喇︸ 山︸︸ 曰︷· 喇︸ 谓一︸ 书 洲叫侧 一州抽 即呀公 一﹃﹃ 扣抽 下冬，爪怪 一一︸ 一﹃朴 妙。卜。 头行 一分、资爪一分、添价一分 分 卜、 界 ·价，，，丈，，，汽介孚杆 丁扩 山的乏 一 丫尸称 10习L 0 2 4 6 8 jo jZ SNR(dR) j4 j6 18 20 图67第一种估计算法在采用如下不同导频序列时的M SE性能:随机取值的导频序列、本章推 导 出的最优导频序列。 73 东南大学博士学位论文 SNR(dB) 图6.8第一种估计算法在采用如下不同导频序列时的WER性能:随机取值的导频序列:本章推导 出的最优导频序列。 6. 6. 4 MIMO系统中两种所提估计算法的性能比较 假定MIMO系统的发送天线数和接收天线数分别为从=2和戈=4。图6.9和图6.10分别给出 所提两种估计算法的MSE和WER性能曲线。两种估计算法都采用相应其最优的导频序列，也即第 一种算法采用等I}隔分布的相位正交导频序列./v`methodl= lla. }} 90. 1}, 17} 2;1} Z}z }9}. 33} 37} 41} 4}} }9} 53, 57, 61}，而第二种算法则采用分组分布的导频序列，}me、二=}6, 7, 8, 9, 22, 23, 24, 25, 38, 39, 40, 41, 54, 55, 56; 57}。信道理想已知时的曲线也在图6.10中给出以作为参考。从图中可以看出，与SISO 系统不同，MIMO系统中的天线间干扰严重影响了第二种算法的估计性能，致使其与第一种估计算 法性能上有着较明显的差异。另外，通过和理想情况进行比较后可以看出，第一种估计算法在时变 情况下是十分有效的。 6. 7本章小结 本章对MIMO OFDM系统中的时变信道估计进行了研究，在相对多谱勒频率小于0.1的时变环 境下，把线性模型引入到信道估计中，也即把一个OFDM符号间隔内的信道时域响应建模成一个线 性函数。在该线性模型的基础上，本章提出了两种时变信道估计算法。两种算法各有利弊，前一种 在估计上会有一个符号的延迟，后一种虽然没有延迟但估计效果不如前一种，因此应根据实际需要 来确定采用何种算法。另外，本章还依据使估计均方误差最小的准则，分析并推导了相应于这两种 估计算法最优的导频序列。可以证明，在具有时间和频率双选择性的信道下，相应于第一种估计算 法最优的导频序列是均匀分布且相位正交的序列，而相应于第二种估计算法最优的则是分组分布且 每组等间隔的随机导频序列。 第六章MIMO OFDM系统中基于分段线性模型的时变信道估计及相应导频序列的设计 山的芝 凡﹂产长幸 抽 诬 硕 下 扮 必 必 狱 珍 碍沂诀 灿 脚 肠 灿 诬 报 卜泽矛t a }o }z SNR(dB) 图6.9本章所提两种时变信道估计算法的MSE性能比较 叱山﹄李 二 令 」 一 }s SNR(dB) 图6.1}本章所提两种时变信道估计算法的WER性能比较 75 东南大学博士学位论文 第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应 最优导频序列的设计 7. 1引言 上一章的分析和仿真结果显示，对于相对多谱勒频率小于0.1的时变环境，可以假定信道在一 个OFDM符号间隔内的变化是线性的，也即可以用一个线性函数来对信道时域冲击响应进行建模。 由于线性函数的重构只需用到其斜率和参考点值，因此对信道时域响应进行线性建模后，我们就只 用估计出信道变化的斜率和某一个时刻上的信道时域响应即可，整个符号间隔内其他剩余时刻上的 信道响应可以随之通过模型得到。这种对时变信道建模，然后通过估计模型系数的算法可以大大降 低信道估计问题的难度。但上述基于分段线性模型的估计算法对于信道时变性很强的环境则不再适 用，例如当相对多谱勒频率大于0.1时，由于信道在一个OFDM符号间隔内线性变化的假设不再成 立，因此再对信道进行线性建模是不符合实际情况的。这时，重新对快时变信道进行一个合适地建 模是十分必要的。 到目前为止，国际上已经有许多文献提出了时变信道的建模方法，其中Jakes模型因其能很好地 近似由多谱勒引起的信道变化而被普遍用于时变信道的建模中，但由于Jakes模型中所含的参数太 多，因此不可避免的给信道估计带来了很大的困难。近年来，在蜂窝无线通信应用中，确定的基扩 展模型受到了较多的关注，尤其在那些传播路径是由少数强反射体形成且路径时延变化是由移动台 运动引起的情况时[[11s],[116]o G B. Giannakis等人率先在文献[117]中推导了时间和频率双选择性信 道的基扩展模型，并基于此提出了一种时变信道的盲估计算法。在基扩展模型中，由于时变的信道 抽头系数被表示成由若干时变的基函数(例如复指数函数)和相应于该基函数时不变的加权系数的 混叠形式，因此只需通过估计一段时间内不随时间变化的加权系数即可得到时变信道的响应估计。 这种有限的参数化扩展形式在很大程度上简化了快时变信道估计问题的复杂性。与Jakes模型相比， 由于基扩展模型只包含较少的参数，且又能很好地拟合Jakes模型，因此后来被较多地应用于快时变 环境下信道的估计、系统的容量分析等各个方面[lls}一[[12z] 本章基于上述基扩展模型，给出了快时变环境下的OFDM系统模型，并在此基础上提出了相应 的信道估计算法。由于基函数的形式是确定的，因此算法只需要根据导频估计出当前符号间隔内所 有基函数的加权系数即可。而对于所要估计的信道时域响应，则可以通过模型得到。与此同时，在 所提信道估计算法的基础上，本章还依据使信道估计均方误差最小的准则，推导了相应于估计算法 最优的导频序列(包括最优的导频取值和最优的导频分布)。可以证明，最优导频序列是由一些相邻 的等间隔等能量的导频子序列构成，并且每个子序列中对应位置的导频之间满足一定的相位关系。 本章的安排如下: 利用基扩展模型对时变信道进行建模。 基于基扩展模型给出相应快时变环境下的OFDM系统模型。 提出快时变信道估计算法，并依据估计均方误差最小的准则推导了相应于估计算法最优 的导频序列。 第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应最优导频序列的设计 给出仿真结果. 为本章的结论。 月/月/ 7.2基扩展信道模型 这一小节将给出本章所使用的时变信道模型。定义h (t; T)为时变信道的冲击响应(包括发送和 接收滤波器)，H(f, z)为h (t z)的傅立叶变换，则当}TI > Tma、或}J] > fma、时，我们有囚(人训二Oo 这里，Tma、和fma、分别为信道的最大时延扩展和最大多谱勒扩展。若考虑有K个子载波且采样间隔为 TS的OFDM系统，则可以将第:个OFDM符号间隔内的信道冲击响应h (t a)，其中Z- E [1^KTg, (1^ + 1)KTsl，表示成由若干个复指数基的加权和，也即此时等效的离散时间基带信道模型可以表示成[11s] Q h(n;l)=艺“、(l)ej27t(g-Q/2)n/K g=0 (7.1) 其中索引值n表示当前符号间隔内第n个采样时刻，0<-n<-K-1; 0<-l<-L-1; L一「Zmax IT,]为等 效的最大信道抽头数;Q一2 Ffmax KTa]为模型的基函数个数;hg(l)为第l个信道抽头上第q个复指数 基的加权系数，它是零均值且方差为可，，的复高斯随机变量。从式(7.1)可以看出，当对一个OFDM 符号间隔内的时变信道冲击响应进行基扩展建模后，待估的信道参数由原来的KxL个减少到现在的 (Q+1)xL个，也即所有的复指数基加权系数hg(O这样一来，只要估计出这((Q+1)L个系数就可通 过式(7.1)得到所有时刻上信道冲击响应的估计，从而可以大大降低信道估计的难度。 7.3基于基扩展模型下的OFDM系统模型 同论文的第五章一样，在接收端，接收到的时域信号经过FFT变换后，子载波m上的信号可以 表示为 Y (M)=G(m, m)X (m) +艺G(m,k)X(k)+W (M) (7.2) k=O,ktm 、一一一一一一一一一一~一 丁c丁 其中m=0,1,...,K-1; X(m)为子载波m上的发送信号;W(m)是均值为零且方差为嵘的高斯白 噪声。上式等号右边的第二项代表了由信道时变性引起的ICI，其中G (m, k)的表达式为 K-1 l,-1 G(m,k，一iK蕙菩h(n; l)ej 2)rn(k-m)/Ke-j 2nkl/K (7.3) 由于信道时域冲击响应h(n;l)可以表示成基扩展的形式，因此将式(7.1)代入上式后G(m,k) 可以重 写为如下形式 K-1 1,-1 G(m,k，一KYY善h9 (l)ej2)rn(g-Q/2+k-m)/Ke-j2nlk/K (7.4) 从上式可以很容易看出，只有当9一Ql2 + k一mEZ时，G(m, k)才不为零。由于0<_m,k<_K一1, 东南大学博士学位论文 L--l艺间0， /十l -- 因此可以将式(7.4)进一步写为 G(m,k) h9 (l)e-;znzkiK，k=(m一、+Q l 2) mod K otherwise. (7.5) 上式意味着对于给定的m，每一个qE }0,...,Q}都对应于一个kE }0,...,K一1}使得G(m, k)#0。若定 义矩阵G，其第m行第k列的元素为G(m, k)，则式(7.5)也意味着矩阵G的每一行都只包含Q+1 个非零元素，其中每一个非零元素都对应一个指数基。由此，若定义矩阵G第m行中非零元素的位 置为 畔=(m一q+Q l 2) mod K (7.6) 则在基扩展信道模型下，接收信号最终可表示成 Y (M)=X (M)艺hQ1z(l)e-'(z)rlN>zm Q厂z.-i_\\ +善一X(k9)yh9(l)e-'(zn1N)}kq'J+W(m) (7.7)t=o gzQiz 注意当q一Q/2时，kQiz一mo 7.4快时变信道估计算法及相应的最优导频序列设计 上一节给出了将信道建模成基扩展形式后OFDM系统的接收信号模型，本节将基于该模型提出 一种快时变信道估计算法，然后依据使所提算法估计均方误差最小的准则，推导相应于算法最优的 导频序列。 7.4.1快时变信道估计算法 如前所述，要得到一个OFDM符号间隔内时变信道的冲击响应h(n;l)，我们只需估计出该符号间 隔内(Q+1)L个基扩展模型的系数气。即可。因此，为了利用导频进行估计，首先要将接收信号表 示成这些系数的函数形式。 定义巩是由在倍的标准KxK维DFT矩阵F的前L列组成的KxL维的子矩阵，且令 F m) =「 1， .， e-'2nm(L-I)IK]表示FT的第m行，则式(7.7)可重写为 Q Y (M)=X(m)F, (m)h.12+艺X(km)F,(k )h9+W (M) 9=0 gzQi2 (7.8) =艺X (k9 )FL衅)h9+W (M) 其中h。一[[h,,(0), ..., hg(L一1)lT是与第q个基函数相关的Lxl维系数向量。进一步，若将所有的基系 数放在一个向量中，也即定义(Q+1)Lxl维向量 第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应最优导频序列的设计 h=[ Tho，...,h垂IT (7.9) 则式(7.8)又可表示为 Y(m)一[X(ko )FL (ko ) - .·X (kQ )FL (kQ) ] h+W(m) (7.10) 从上式可以看出，这里第m个子载波上的接收信号Y(m)不仅受到了该子载波上发送信号X(m)(也即 X(峪2))的影响，而且也受到了其它Q个发送信号的影响。因此若要利用子载波m上的接收信号来 估计h，则一共需要知道Q+1个子载波{k9 )暴。上的发送信号。 假定用来估计h的接收信号共有P个，且其所在的子载波位置分别为m(1),„，m(P)，则由式 (7.10)可以得到P个线性方程，写成矩阵形式有 Y(m(1)) Y(m(P)) X(ko ('))FL(ko (')) X(衅}P}FT(衅(P)) „X(k}('))FL(k}(')) h+ W(m(l)) W(m(P)) (7.11) „X(心P) )FL(心P) 从式(7.11)可以看出，要得到h的估计，需要知道所有相关的发送信号，也即{X (k到P) )I丁一，，C} E 10, ..., QI。这就意味着当接收端利用P个接收信号进行估计时，发送端要发送M= (Q +1 )P个导频。 前面已经提到，m(川与峪一夕是相等的，因此实际当中首先给定的是{锣P) 1P2 I p=1，也即对应于第Q/2 个基函数的所有导频的位置，这样，对于所要利用的P个接收信号和其它基函数所对应的导频来说， 其位置m(川和{k笋P) I乍、可以根据式(7.6)确定。 通过 定义PxL维矩阵巩=[列(叮cu列(叮 ), ..., X (kg (P) )]T，其中qE }0,1,...,Q)，可以将(7.11) (P) )]T和Pxl维的列向 又。一[X (kg (l> 写成一个更紧凑的形式 Y一[diag f Xo}Fo,...,diag f XQI刘“+W (7.12) =Ah+W 其中I'一「Y(m(1)), ..., Y(m(P))]l和W一「W(m(1)), ..., W(m(P))]l.均为Pxl维向量; A = [diag}Xo)Fo,..., diag}XQ )凡]为Px(Q+1)L维矩阵。不难看出，导频序列实际上是由Q+1个相 邻且等长度的子序列构成，每一个子序列对应一个q, qE }0,1,...,Q)。若定义X和x分别为导频序 列和导频所在子载波位置集合，则有又一j T'..., j}T ]T和x'= Ixo,...,x'QI，其中x9一{叮“)，„，9}为 子序列X、中导频子载波的位置集合。 由式(7.12)可以得到复指数基系数h的LS估计为 石=AtY (7.13) =h+ATVW 为了保证Px(Q+1)L维矩阵A为列满秩，这里要求P >_ (Q +1)L，也即导频数M > (Q + 1)2L。当估 计出h后，一个符号间隔内的时变信道的冲击响应h(n;O即可通过式(7.1)得到。 东南大学博士学位论文 7.4.2最优导频序列的设计 上一节给出了复指数基加权系数的LS估计，这一小节则将针对该估计的均方误差，推导使其 能够达到最小的最优导频序列，也即最优的导频取值和最优的导频分布。 同第三章类似，在推导最优导频分布之前，首先写出估计h时的MSE表达式。由式(7.13)不 难得到此时的估计均方误差为 MSE_一上一E (Q+1)L =一上一E (Q+1)L 1 =—tr (Q+1)L !ili一“门 }A'W 21 (A卞E{WWH}A卞H (7.14) _6W2 (Q+1)L trI (AHA)一‘) 对(7.14)中给出的MSE形式在前面凡章推导最优导频时都出现过，这里只简单重述一下能使MSE 达到最小的条件，也即当AHA一P I(Q+1)z,时MSE达到最小，其中P为一固定值。接下去，本章就 将根据这一约束条件推导最优的导频序列。 将AHA重写为 (7.15) ﹁||||||||||||引 Q，，Q 0„ B O 0„ B BQ,o BQ 厂||||||||||||L -- A H A 其中Bq.:代表AHA中第(q, s)个维数为L X L的子矩阵，其表达式如下 B9,:一‘Hd9‘二{X9 }H diag f (}FS (7.16) 其中q,sE }D,...,Q)。如前所述，要获得最小的MSE，要求AHA一P I(Q+1)z,，这就意味着要求Bq,:满 足 if q=s if q#s (7.17) L止 rX 宁厂0 /十飞 -- B 由Bg.:的定义可以知道，上式实际上是给出了导频序列中两个子序列(相同或不同)间必须满足的 约束条件。在上一节中已经提到，每一个子序列都对应一个q，因此式(7.17)实际上也是给出了不 同基所对应的导频序列之间必须满足的约束条件。 下面首先考察每个子序列自身应该满足的条件，也即式(7.17)的第一部分，q=s。若定义P9 P为 第kmcP9)个子载波上导频的发送功率，则有 第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应最优导频序列的设计 Bq,。一J- F Hdiag{[ 'PIq diag }[ q，一P ] TPq}Fq一。: (7.18) 在对上式中间部分的矩阵乘法进行运算后，可以得到如下2L一1个方程 PqP=1一(2nlK)} k, -(P)一{0,P 咨= ，咨= 1一L,„，一1，1，„，L一1 0 (7.19) 不难看出，这里P为子序列的发送功率，由于有Q+1个子序列，因此系统中导频序列总的发送功率 为Pt.t., _ (Q + 1)P。当导频序列可以采用任意分布时(与第三章不同)，P个均匀分布且每个导频发 送功率为P/P的序列就可以满足(7.19)，也即当且仅当l'qp -P/P和km(P) = kq q + (P一1)KIP时，方 程组成立，其中气。10, ..., KIP一1}为某一偏移量[67].[68]。这里要求导频数P能够整除K，由于在实 际系统中，FFT的点数K通常为2的幂次方，因此P也应为2的幂次方。考虑到P>(Q+1)L，所以 应选择P使其满足P=2 [1092 ((Q+1)L)1，这也是在均匀分布的条件下每个子序列所能采用的最少导频数。 由于每个q都对应一个这样长为P的序列，因此系统所采用的最少导频数为M=(Q+1)P个。综上 所述，要使式(7.17)第一部分中给出的条件得到满足，每个q所对应的子序列中导频必须是均匀分 布的，且每个导频的发送功率都为尹/Po 接下来再看两个不同导频子序列间需要满足的约束条件，也即式(7.17)的第二部分，q}s。由 Bq,:的表达式，不难得到其第((r, t)个元素为 [B q.s'r.，一艺X * (krn(P) )X (krn(P) )ej (2n(Kq s)一:(一。一(2)TIK)/二(一 P=1 一p -PPe_ioq(P)9·JP ejgm(P)一(2n/K)(, kq (P)一km(P)) (7.20) 一p河何 JBm(P-pP }P . e q,sq r)一(2n/K)(, kq (P)一k,-(P)) 其中Bq (P) = Bm(P) - Bq (P)定义为导频X(kqm(P))和X (kq (P))之间的相位差。假定每个导频子序列本身均 已满足(7.19)，也即(7.17)的第一部分，则所有的导频都具有相同的发送功率，从而式件20)可 进一步写为 [Bq.sIr.，一(:/:)艺ejo-,(p ) .ej(2)rlK)(rkq(一二(一) P=1 (7.21) 若定义与，:一q一、，则由式(7.6)中k9的定义可以得到k9一衅=一气，:或一气，:士K， 因此式件21) 可进一步写为 LBq,s,r,t= (:/:)艺e ejo-,(p ).。j(2n/K)(e(一)、:‘·)一。，:) P=1 (尹/p)。一(2)T(K)toq,s艺e ej(Bq,sP)+(2),IK)(一)、:‘·)) (7.22) 显然，要求式(7.17)中第二部分成立，也即要求[[Bq,sIr,t -0，就意味着下式必须成立 东南大学博士学位论文 e ej1I g-(P) +(2,,/Al)(一‘)kq (P)_0 (7.23) p艺月 其中r,tE }0,...,L一1) , q, s, E }0,...,Q}且q#s。由复指数函数的性质不难得到，只有当且仅当裂尸 满足 烈P)=(2对)kq‘尸) /jK -(P) (7.24) 其中声E 7G \\ J 1-L, . . . , L-1}时，式(7.23)才能成立。这就给出了属于不同子序列但影响着相同接收 信号的发送导频之间应满足的相位关系。 综上所述，最优导频序列的设计可按照如下步骤进行设计: 1)给定导频序列的发送功率Plotai。由前面的分析可知，此时每个子序列的发送功率为 P=Pt.w / (Q+1)。 2)给定导频数P - 2/1082 ((Q+1)L)1以及一个均匀的导频分布{m(1), ..., m(P)l，例如可以取 m(川=p+州P, p=1,...,P。然后将其作为基q = Q/2所对应子序列中的导频数和导频分布 踢/z。当确定了P和乓/z后，估计时所利用的接收信号数目及位置也就随之确定了。 3)根据式(7.6)计算出其他子序列的导频位置集合戈一{k9 ('),...,k罗P),其中、E }0,1,...,Q) , q # Ql2。由此就可以得到最优导频序列的分布为x'= Ixo, ... , xQI- 4)选择任一长为P的序列作为基q = Ql2所对应的子序列XQiz。定义其中导频X(昭引)的相位为 BQPI z，则其他子序列又。中导频X(畔(P))的相位必须为BQ,z + (2习K)m(p)#q，其中属满足以下 两个条件:(1)戊。z\\11一L,„，L一11; (2)对于dq,sE }o,...,Q)\\}Q/2}且q#、，有戊- 戊。Z\\j1一L, ..., L一11。一种可能的作法是取戊一(q一Q12) L。最后令所有子序列的幅度为 沂万。由此就得到了最优导频序列中每个导频的取值，也即最优的导频序列为 又=LXT'...,XT]T0。 根据前面的分析可以得到结论:最优的导频序列是由一些相邻的等间隔等能量的子序列构成， 每个子序列对应的导频之间满足一定的相位关系。事实上，从另一个角度来看，最优导频序 列也可 以认为是由一些均匀分布的导频组构成，每组里的导频之间满足一定的相位关系。从这一点上来说， 该结论与第五章中得到的类似，这就意味着在估计时变且频选信道时，倘若算法是联合若干个发送 的导频一起进行估计，则分组且每组等间隔分布的导频序列是最优的选择。 第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应最优导频序列的设计 7. 5仿真结果及讨论 本章的仿真考虑子载波数为K一128的QPSK-OFDM系统，系统的载波频率为fo一5 GHz，采 样间隔为界一10.5 Ns，移动台的最大速率vma、一160 km/hr。根据这些参数可以得到信道最大多谱勒 频偏为,/max ^ 740.74 llz，从而可得到Q一2。在根据基扩展模型产生信道时，所有基的加权系数气⑦ 均为独立、标准的复高斯随机变量。假定信道的多径强度分布为必(灼二。-o.l也，多谱勒功率谱为 、)一扮厂广仁、则咖的方差定义为6q.z -}}(IT.rJs(}/(KT}}) l0，otherwise y'=(}z}q }}lTs)S(R'}}KTs)}}一，代表归一化因子·仿真中采用信道时域响应估计的均方误差 和误比特率(BER)作为系统的性能指标，其中MSE的定义如下; h(nl，一“(n;l)门 !21 E L--l艺间 侧艺咧 l-K -L MSE= 图7.1给出了本章所提出的信道估计算法的BER性能，估计中所采用的导频序列即为文中7.4.2 节所推导的最优导频序列。仿真中所用的总导频数为M= 48(这也是在给定系统参数下进行估计所 需要的最少导频数)，其中每个子序列的导频数为P一16，目对应于q=Ql2的导频位置集合为x'Q}z 一}2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98, 106, 114, 122。图7.1还给出了信道理想已知时的 BER曲线以作为参考。从图中可以看到，本章所提的信道估计算法在快时变环境下是十分有效的(这 里系统的相对多谱勒频偏已高达约0.996 ) o SNR(dB) 图7.1所提信道估计算法的BER性能 东南大学博士学位论文 为了测试导频序列对所提信道估计算法的影响，下面的仿真中选择了两种导频序列进行 比较: 种是导频值为等能量的随机值;另一种是按文中方法推导得到的最优导频值(与图}.1仿真中所 用的一样)。需要注意的是这里比较的两种导频序列有着相同的导频分布，也即均为}_ }1} 2} 3} 9a 10, ll, 17; 18, 19, 25, 26; 27, 33, 34, 35; 41, 42, 43, 49; 50, 51, 65, 66; 6'7, 73, 74,'75, 81, }2, $3, 89, 90, 91, 97, 98, 99, 105, 106, 107, 113, 114 ,115, 121, 122, 123。图7.2和7:3分别给出了所提算法在两种导频 序列下的MSE和BER性能。从图中可以看出，采用文中所推导的最优导频序列进行信道估计时的 性能要明显优于采用随机导频序列进行估计时的性能。例如，它在MSE上的性能改进约为6.SdB, 而在BER二10-2时的性能改进约为7.SdB o SNR(dB) 图7.2所提算法在采用如下两种导频序列时的MSE性能:本章推导的最优导频序列:与最优序列 的分布相同但取值随机的导频序列。 7. 6本章小结 利用基扩展的形式对时变信道进行建模是若干信道建模方法中的一种，由于它能很好地拟合信 道的经典模型Jakes模型，且只包含较少的建模参数，从而受到了较多的关注，因此也被应用于信道 估计等各个方面。本章基于信道纂扩展模型，给出子映时变环境下的OFDM系统模型，并在此基础 上提出了一种利用导频序列的时变信道估计算法。同时，为了获得最小的估计均方误差，论文还推 导了相应于估计算法的最优导频序列，包括最优的导频取值和导频分布。可以证明，最优的导频序 列是由若干相令区的导频子序列构成，其中子序列的个数与基扩展模型中的基个数相同;每个子序列 都是等能量且均匀分布的，不同的子序列相应导频之间满足一定的相位关系。仿真结果表明了所提 信道估计算法在快时变环境下的有效性。另外，与随机导频序列相比，采用所推导的最优导频序列 进行信道估计将获得更好的系统性能。 第七章OFDM系统中基于基扩展模型的快时变信道估计及相应最优导频序列的设计 100 少 狱络 }仓optimal a‘勺‘「日日aom 衫牲咐，呀 誉 了万 明﹃折一﹃ 帕喊内扮:峪沐咫︸了奋 冲约泛淤洲织争仁 沁 一︵ 毋人南l裹呈线狡刃协龚椒 丫汀沐川1谁箭J二之 穿吩。﹄ 从。知币 之八 十︸︸ 价 耐朴一 一︸ 岛 \"7 书粉眨仁经黔艺 l y f于 10' 默岌:架最:韶: { 衍份彭护经黔 { 济 +一一洲二一件牛邵丫 _件折_二旅_林 .只以澎同件扭未f_ 如丫同件南{f同泛评于流 .--一..遗 志蕊份兮邵六 、 又 州一。 一︸一\\ 汗班一 叱 w 田 侣f 二‘ 一一一一 羞_ ︸ 兹 点 ︸ 六石︸卜矛盯川认蛇冲 于 点 粉 1U} 一戮 曰呻和户夕甲门一”呻 叫片 小_成+沐_‘_ 禅、、 中-一沁户和喊一冲汐臼份仰吹中-一沁 霆” 舔??。万 粼弃卯犷 卜肠___ 皇 _一 _奋_ 一今诬触下宝沐 夔 一犷_ 蒸 派共砚 级服灿必咋从共，背触级服灿必 1}}L U 5 1U 15 SNR(dB) zo 2s 30 图7.2所提算法在采用如下两种导频序列时的BER性能:本章推导的最优导频序列;与最优序列 的分布相同但取值随机的导频序列。 85 东南大学博士学位论文 第八章结论 信道估计是OFDM系统中的关键技术之一，特别是对于MIMO-OFDM系统或者是时变环境， 准确的信道估计显得尤为重要。本论文就针对SISO/MIMO OFDM系统中的信道估计及相应最优导 频序列的设计问题展开了研究，现将研究工作总结如下。 8. 1已取得的研究成果 研究了MIMO OFDM系统中信道时域响应最小二乘估计算法，对于估计中可能出现的方程欠定 问题提出了一种改进的估计算法，也即结合前后若干个发送的训练序列一起进行估计。当可以 得到待估信道响应的若干个估计时，算法还给出了这些估计值之间的组合方式。 2.研究了当考虑虚拟子载波影响时，OFDM系统中最优导频序列的设计问题。由于在某些情况下， 虚拟子载波的存在会使导频序列分布不均匀，因此传统最优的均匀分布导频序列不再可用。论 文依据使MIMO OFDM系统中信道时域响应LS估计的均方误差达到最小的准则，推导了导频 非均匀分布下的最优导频序列。从推导过程中可以发现，此时最优导频序列的设计在数学上可 以等效为一个约束不等式组的求解，所以论文随后给出了三种求解该约束不等式组的算法，分 别是:(l)求解等效的约束规划问题;(2)求解等效的无约束优化问题;(3)利用Smith正交化 来直接求解。三种求解算法的复杂度依次降低，特别是所提的求解算法(3)具有较高的计算效率， 但它只适用于系统采用最少导频数的情况。 3.针对宽带通信系统中的稀疏信道，提出了一种基于参数化信道模型的最大似然信道估计算法。 由于稀疏信道的参数个数要小于等效的离散信道冲击响应的个数，因此使用参数化信道估计方 法能降低信道估计的维数，提高估计的精度。在信道路径数与路径时延的初始估计部分，所提 算法沿用文献「98」中的MDL准则和ESPRIT方法，而对于之后路径时延的跟踪和路径增益的 估计，则通过最大似然估计获得。对于复杂的多参数最大似然优化问题的求解，论文利用SAGE 算法将其分解为一系列低复杂度的最大似然优化问题，通过迭代求解，最终获得信道路径时延 和路径增益的最大似然估计。对于每一次迭代中的两参数最大似然估计问题，所提算法分别采 用一种基于牛顿法的快速最大似然算法和一种简单的求和平均方法来对路径时延和路径增益进 行估计。与基于非参数化信道模型的估计算法相比，基于参数化信道模型的算法能有效提高信 道估计的性能。另外，与已有的基于参数化模型的估计算法「98」相比，所提算法在性能和计算 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容