2016年高考文科数学全国1卷(附答案)

____ 学号：________ - - - - - - - 绝密★启用前

5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学 全国I卷

（全卷共10页）

(适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北)

注意事项：

1，则该椭圆的离心率为( ) 41123A． B． C． D．

323416．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应

64短轴长的

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。 1．

的函数为( ) __-_ 2． 答

卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 _ _-_ 3． 回

答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。_ __线如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在__封__密答题卡上，写在本试卷上无效。

_ _ 4． 考

试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 _-： 名- 第I卷

姓 - 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只

- 有一项是符合题目要求的。

-班 1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )

_-_ _ _-_ A．{1,3}

B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}

_ _-年 2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )

_-_ _ __线A．-3 B．-2 C．2 D． 3 __封 3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一

密_ _ _-个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不_ _ _-在同一花坛的概率是( )

_ _ _-_ _ A．1_-_ 3 B．12 C．23 D．56

_ _-_ _ 4．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c.已知a5,c2,cosA2_-_ 3，

_ ：- 则b=( ) 校 -学 -A．

2 B．

3 C．2 D．3

- 1 - A．y=2sin(2x+4) B．y=2sin(2x+3)

C．y=2sin(2x–

4) D．y=2sin(2x–

3)

7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂

直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是( )

A．17π B．18π C．20π D．28π

8．若a>b>0，0A．logaccb 9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( )

y y y y 1 1 1 1 -O 2 x -O 2 x -O 2 x -O 2 x A. B. C. D. 10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，

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则输出x，y的值满足( ) 开始 A．y=2x B．y=3x

输入x,y,n C．y=4x D．y=5x

n=n+1 xxn1 2,yny 否 x2+y2≥36? 是 输出x,y 结束

11．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，α∩平面

ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( )

A．32 B．22 C．313 D．3 12．若函数f(x)x-13sin2xasinx在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )

A．[-1,1] B．[-1,13] C．[-13,13] D．[-1,-13] 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答，第22~24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x= .

14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π34)=5，则tan(θ-π4)= . 15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=

23，则圆C的面积为 .

16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产

一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件

- 3 -

产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共

70分.

17.（本题满分12分）

已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=13，anbn+1+bn+1=nbn.

(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.

18.（本题满分12分）

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在

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平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G. (Ⅰ)证明G是AB的中点；

(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说

明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．

P A E C

G D B

19.（本小题满分12分）

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有- 5 -

一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：

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y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H. (Ⅰ)求

OHON；

(Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

- 7 -

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，

12OA为半径作圆.

(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

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xacost在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参

y1asint数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像； (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.

曲线C2：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线

C1与C2的公共点都在C3上，求a.

24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

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2016年普通高等学校招生全国统一考试

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文科数学 全国I卷 参考答案

一、选择题：

1.B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C 11.A 12.C 二、填空题： 13．23 14．43 15．4 16．216000 三、解答题：

17．解：（Ⅰ）由已知a1b2b2b1,由b11,b213，得a12．

所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1． （Ⅱ）由（Ⅰ）和abnbn1bn1nbn，得

n1b1，因此数列bn是首项为n31，公比为13的等比数列．

11记数列b项和为Sn，则Sn3n31n前n． 11223n1318．解：（Ⅰ）因为顶点P在平面内ABC的正投影为点D，所以PD平面ABC，

进而PDAB， 因为

D在平面PAB内的正投影为点E，所以DE平面PAB，进而

DEAB，

所以AB平面PDE，又PG平面PDE，故ABPG． 又由已知PAPB，从而G是AB的中点．

（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，

F即为E在平面PAC内的正投影．

理由如下：由已知可得PBPA,PBPC，

- 11 -

又EF//PB,EFPA,EFPC

从而EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影． 连结CG，因为顶点P在平面内ABC的正投影为点D， 所以D为正三角形ABC的中心．

由（Ⅰ）知G是AB的中点，所以D在CG上，故CD23CG． 由已知PC平面PAB，DE平面PAB，所以DE//PC，因此

PE213PG,DE3PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2,PE22．

在等腰直角三角形

PEF中，EFPF2，所以四面体PDEF的体积

V131222423．

19．解：（Ⅰ）当x19时，y3800；当x19时，

y3800500x19500x5700．

所以y关于x的函数解析式为：y3800,x19,xN500x5700,x19,xN．

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（Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7， 故n的最小值为19.

（Ⅲ）若每台机器在购机的同时都够买19个易损零件，

100台机器中有70台在购买零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，

因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

11003800704300204800104000， 若每台机器在购机的同时都够买20个易损零件，

则这100台机器中有90台在购买零件上的费用为4000元，10台的费用为4500元，

因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：

1100400090450010，4 050比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

20．解：（Ⅰ）由已知得M0,t,Pt2,t，

2p又N为M关于点P的对称点，故Nt2p,t，ON的方程为pytx，

y22px整理得：px22t2x0，解得x2t2代入10,x2p，

因此N2t2p,2t．

所以N为OH的中点，即：

OHON2．

- 13 -

（Ⅱ）直线MH与C除H以外，没有其它公共点．理由如下：

直线MH的方程为ytp2tx，即

x2tpyt 代入y22px整理得：y24ty4t20，解得y1y22t（或求0也

可）．

即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点．

21．解：（Ⅰ）fxx1ex2ax1x1ex2a

（ⅰ）设a0，则当

x,1时，fx0；当x1,时，

fx0．

所以

fx在,1单调递减，在1,单调递增．

（ⅱ）设a0，则fx0得x1,或xln2a．

①若ae2，则fxx1eex，

所以fx在,单调递增． ②若ae2，则ln2a1，

故当x,ln2a1,时，fx0；当xln2a,1时，

fx0．

所以

fx在,ln2a与1,单调递增，在ln2a,1单调递减．

③若ae2，则ln2a1， 故当x,1ln2a,时，fx0；当x1,ln2a时，

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fx0．

所以

所以OEAB,AOE60

1AO， 2fx在,1与ln2a,单调递增，在1,ln2a单调递减．

fx在,1单调递减，在1,

在RtAOE中，OE（Ⅱ）（ⅰ）设a0，则由（Ⅰ）知，即O到直线AB的距离等于O的半径， 单调递增． 又

f1e,f2a，取b满足b0且blna2，

则fbab2ab12a2b232b0， 所以

fx有两个零点．

（ⅱ）设a0，则

fxx2ex，所以fx只有一个零点．

（ⅲ）设a0，若ae2，则由（Ⅰ）知，fx在1,单调递增，又当x1时，fx0，

故

fx不存在两个零点；

若ae2，则由（Ⅰ）知，fx在ln2a,单调递增．又当x1时，fx0，

故

fx不存在两个零点，

综上，a的取值范围是

0,．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）设E是AB的中点，连结OE． 因为OAOB,AOB120,

- 15 - 所以直线AB与

O相切．

（Ⅱ）因为OA2OD，所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心， 设O是A,B,C,D四点所在圆的圆心，作直线OO．

由已知的O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB．

同理可证，OOCD，所以AB//CD． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）消去参数t得到C21的普通方程x2y1a2．故C1是以

0,1

为圆心，a为半径的圆．

将xcos,ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为

22sin1a20．

（Ⅱ）曲线C的公共点的极坐标满足方程组: 221,C24cos2sin1a0.

若0，由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得

16cos28sincos0，

从而1a20，解得a1（舍去），a1． a1时，极点也为C1,C2的公共点，在C3上．

所以a1．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

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x4,x1,解：（Ⅰ）fx3x2,1x32,

3x4,x2,yfx的图像如图所示．

（Ⅱ）由函数fx的表达式及图像，

当fx1时，可得x1，或x3； 当fx1时，可得x13，或x5．

故

fx1的解集为x1x3；fx1的解集为xx13,或x5．

所以fx1的

解集为

xx13或1x3或x5． - 17 -



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