05.(简)电磁学 第五章 电容 电场的能量(2003)

1.构成：两金属极板，其间充以电介质。 2.指标：电容量 耐压

二、电容(量)(capacity)

1.定义：电容器带电量与其电压之比

QC =V ·电容决定于电容器本身的结构(极板的形 状、尺寸及极板间的电介质情况)和所带 电量无关。 ·单位：法(F) 2.计算

步骤：

设Q  D  E  V  C [ SDdS=Q] [D=E] [V=abEdl] [C=Q /V] [例1]求如下球形电容器的电容。 R3 -Q

R2 Q

r2 R1 r  r 1 高斯面

[注：图中各界面(电介质与电介质、电介

质与金属极板)紧密接触] 解:·设内、外极板分别带电Q、-Q ·求D：在电介质1中画高斯面，有 S D1dS = Q 由对称性分析可得 D1(4r) = Q

2

Q

D= 21 4r

， (R1 r R2)

电介质2中，同理有

Q D2= 2 4r

电介质1中

， (R2 r R3)

·求E：由 D = E有

E1=

Q

40r1r

2

， (R1 r R2)

电介质2中，同理有

E2=

由

Q

40r2r

2

， (R2 r R3)

此题中E1、E2也可如下得出，

Q

Ef = 4r2

0

及 E= Ef

r

·求V：

R2 R3

V =  E1dl +  E2dl R2 R1

将E1、E2代入可得

Q 1 1 1 1 1 1

[ (- )] - ) + ( V =

 r2R2 R3 40r1R1 R2

·求C： 由C = Q/ V 有 C =

40

1 ( 1 - 1 ) + 1 ( 1 - 1 ) r1 R1 R2 r2 R2 R3

讨论：

(1)电容器中充电介质的好处

·若 r1 = r2 = r ，即球形电容器中充满同 种电介质 有

40rR1R3

C = R - R

31

= rC0

其中C0为真空球形电容器的电容 40R1R3

C0 =

R3 - R1

可见

C = rC0 >C0

电容器中充电介质的好处： 增大电容量； 还可提高耐压。

(2)电介质的击穿

·若电介质中的场强很大，电介质分子的正 负电荷有可能被拉开而变成可自由移动的电荷。大量自由电荷的产生，使电介质 的绝缘性能破坏而成为导体—电介质的 击穿(electric breakdown of dielectric)。

·介电强度：电介质可承受的最大场强。

·电容器上所加电压较大时，有可能被击 穿。可根据电介质的介电强度计算电容器 的耐压。计算时要注意什么地方的场强最 大，那里最危险。

(3)孤立导体的电容

·对于孤立导体，可认为它和无限远处的另 一导体组成电容器。

·对一在空气中的半径为R的孤立导体球， 可认为它和一半径无限大的同心导体球面组成一电容器。由球形电容器的结果可 得其电容为： C = 40R

[例2]圆柱形电容器电容的计算 (见相关教材例)

三、电容器的串并联(略) 1.串联：等效电容

1 = 1 + 1 + 1 + … C C1 C2 C3 C1C2

C =

C1+ C2

·若仅有两个电容器串联

2.并联：等效电容

C = C1 + C2+ C3+… 思考：(1)如电容器两极板电量不等，怎样计 算电容量？

(2) 如考虑电容器的边缘效应，电容量怎样变 化(与不考虑边缘效应时相比)？

§2 电容器储能 电场的能量 一、电容器储能

·当电容器带电后，同时也储存了能量。 ·因静电能和具体带电方式无关，以下面方 法给电容器带电：

dq q + dq Q 2dq q 0 E … …

0 -q -(q +dq) -dq -2dq -Q t = 0 t = t

以平板电容器为例，其电容量为C。 ·自t = 0开始，每次自下极板把微量电荷dq移至上极板，电容器间电场逐渐加大， 除第一次外，每次移动外力都要克服静电 力作功。

·至t时刻，电容器已带电q，此时若再移 动dq，外力作功为 dA = dq = (q/C)dq

最后，使电容器带电Q ，则外力作功共

2Q 为

C 2C

外力作的功全部储存在电容器中。

QQq

A =  0 d A  0 ( )d q = =

电容器储能 Q 2

还可有

W = 2C

Q QV CV 2

W = 2C = =

2 2

2 注意:大电容千万不能摸(指极板处)！！！ 应用：(1)照相机闪光灯 (2)心脏起搏器

心脏起搏器(利用电容器储存的能量)

演示：闪光灯

二、电场的能量

电容器的能量是储存在电容器的电场中。 1.平板电容器情形

·电容 C = 0rS

d

2220rSEd CV ·储能 W = 2 = 2d

2

0rE = ( )V体

2 2

 E

= ( )V 体

2

式中  E 为电场的单位体积中的能量。

2

2

·引入电场能量密度：电场单位体积中的能 量。

DE Ee =2=2 2 2.一般情形

 =DEe2 W =  ed体 (对全部电场体积积分)

三、能量问题的计算 1.能量的计算 (1)对电容器 ·由储能公式

2Q QV CV 2

W = = =

2 2C 2

·由场能公式 W =  ed体

(2)对非电容器

由场能公式 W =  ed体

[例]求均匀带电球面电场的能量。

dV体 Q

R dr

· r

解:·离中心r处的场强

Q

E = 240r

·电场能量密度

22

Q 0E

e = = 24320 r 2

·在电场空间取球壳状体积元 d体= 4r 2dr ·电场能量 W =  e d体

Q2 2 )4r dr

24 320 r

Q2

= 8R

0



= R ( 2.能量变化的计算 (1)引起能量变化的原因 ·电容器结构情况的变化，如 -Q  Q Q

-Q

初态 末态

·电容器中电介质情况的变化，如 Q Q

r 

-Q -Q

初态 末态 ·电容器连接情况的变化，如 Q 0 Q



- Q 0

-Q

末态 初态

(2)变化过程中的保持条件

·变化过程中保持电容器的电量不变

(电容器充电后和电源断开)；

·变化过程中保持电容器的电压不变

(电容器始终和电源相联)。

[例1] 带电Q的平板电容器板间距为d，现 用力缓慢地拉动下极板，使板间距变为 2d，求

(1)电容器能量的变化； (2)外力所作的功。 Q S Q

d F电  - Q 2d F外

-Q

初态 末态

解：(1)电容器能量的变化

2 Q2 Q

- W = W末 -W初 =

2C末 2C初

21 1 - ] = Q[ 0S 0S

2( ) 2( )

d 2d

222 Qd Qd Qd

= S - 2S = 2S > 0

000

(2)外力作功

练习：如电容器始终与一个端电压为V的电 源相连，板间距由d2d，再作此题。

[例2] 求两电容器并联前后，电容器组的能 量变化(设每个电容器的电容量为C0)。 Q 0



-Q

0

初态

末态

Q -Q

A = Fd = Fd = Q(E)d

外外电上

Qd Q

= Q( ) d = > 0

2S

20S 0

2

可见，是外力作功使电容器能量增加。

解： 22

Q Q

W = W -W 末初= -

2C末 2C初

222

- Q Q Q

- = = 4C < 0

2C 02(2C) 00 能量哪儿去了？

§3相互作用能 静电能 一、点电荷系的相互作用能

点电荷系的相互作用能(interaction energy)：把各点电荷由所在位置分散至相 距无穷远的过程中电场力作的功。 1.两个点电荷情形：

W2 U21  1   q1 q2

= q2(2) E1dl = q2U21

U21为q1的电场在q2所在处的电势。



互= (2)q2E1dl

W互= q1U12

同理：

写成对称形式：

1 W互= (q1U12 + q2U21 ) 2

q2 先   作功q(U+ U2.三个点电荷情形

2

21

23)

 q1

W互= q2 (U21 + U23 ) + q3 U31

 q3

后

作功q3U31



1 W互= (q2 U21 + q1 U12 ) 2

1 1 + (q2 U23 + q3 U32 ) + (q3 U31+ q1 U13)

2 2

1 1

= q1 ( U12 + U13 ) + q2 ( U21 + U23 )

2 2

+ 1 ( q3U31 + U32 ) 2

1 = (q1 U1 + q2 U2 + q3 U3)

2

3.推广至一般点电荷系

1 W互=  qiUi2 i

Ui：除qi外，其余点电荷在qi所在处的电势。

二、连续带电体的静电能

静电能(electrostatic energy)：把带电体的 电荷无限分割并分散到彼此相距无穷远 时，电场力作的功。

对一连续带电体，可设想把带电体分成无限多个电荷元，它的静电能是指把所有电 荷元从现有的聚集状态彼此分散到无穷远时，电场力作的功。 1.体电荷分布(体电荷密度)

Q

U qi ·

·把带电体分为许多小体积元 i，

每个体积元带电量为 qi =  i 把它们看作点电荷。

·由点电荷组相互作用能公式有 1

W相 = 2  qiUi

1 = 2   iUi

令体积元 i 0 ，得

1W = 2  Ud体 由于令i0 ，已将电荷无限分小，这 样得出的无限分小电荷间的相互作用能即是体系的静电能了。

2.线电荷分布(线电荷密度 )

1W = 2  Udl 3.面电荷分布(面电荷密度)

1W = 2  UdS [例1]求一半径为R带电量为Q的均匀带电 球体的静电(势)能。

解：[方法一]利用连续带电体静电能公式。 ·把球体分为无限多个无限薄的同心球壳， 每个球壳看作是体系中的一个带电体。

Q

R RR R

dr ·rdq ·由高斯定理可求出球内外r处的电场

Q r

E内= 340R

Q

E外= 240r

·球内r处的电势(是体系内所有电荷产生 的)

R

U = rE内dr +RE外dr

2

3Q Q r

= - 80R3 + 80R

·由连续带电体静电能公式，球体的静电能

1 为 W   U d 

= 2

(对球体积分)

其中

Q Q

 = = 4 3V R

3

将U、 代入有 3Q2

1 ( )

W = 4 5R

0

[方法二]利用场能公式。 W = e内d体 + e外d体

第一项：对球内电场空间积分

第二项：对球外电场空间积分所得结果同前(请自己作)。

[例2] 估算电子的经典半径，设Wm0c， 电荷均匀分布于电子表面。

111e22WUdqUem0c2e2240re21e15  re1.410m240m0c22re U e

·若将电子看作均匀带电球体，则

3e3e W ，re2540re540m0c

= 1.6810 m

-15

22·由于目前对电子的内部结构和运动情况尚不清楚，把电子看成均匀带电球面或球体都是设想，上面算出的re并不能真实反映电子的几何线度。1980.7.11丁肇中在北京报告他领导的小组的实验结果为

re1018m 。

(第5章结束)